последовательность Рисса

В математике последовательность векторов ( x _n ) в гильбертовом пространстве называется последовательностью Рисса, если существуют константы такие, что ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle 0<c\leq C<+\infty }$

${\displaystyle c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}x_{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)}$

для всех последовательностей скаляров ( a _n ) в пространстве ℓ p ℓ ² . Последовательность Рисса называется базисом Рисса, если

${\displaystyle {\overline {\mathop {\rm {span}} (x_{n})}}=H}$.

В качестве альтернативы можно определить базис Рисса как семейство вида , где — ортонормированный базис для и — ограниченный биективный оператор. Следовательно, базисы Рисса не обязательно должны быть ортонормированными, т.е. они являются обобщением ортонормированных базисов. ^[1] ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }=\left\{Ue_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left\{e_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U:H\rightarrow H}$

Критерий Пэли-Винера

Пусть будет ортонормированным базисом для гильбертова пространства и пусть будет «близко» к в том смысле, что ${\displaystyle \{e_{n}\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle \{e_{n}\}}$

${\displaystyle \left\|\sum a_{i}(e_{i}-x_{i})\right\|\leq \lambda {\sqrt {\sum |a_{i}|^{2}}}}$

для некоторых констант , , и произвольных скаляров . Тогда является базисом Рисса для . ^{[2] [3]} ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 0\leq \lambda <1}$ ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}}$ ${\displaystyle (n=1,2,3,\dotsc )}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle H}$

Теоремы

Если H — конечномерное пространство, то каждый базис H является базисом Рисса.

Пусть в пространстве L p L ² ( R ) пусть ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{n}(x)=\varphi (x-n)}$

и пусть обозначает преобразование Фурье от . Определим константы c и C с помощью . Тогда следующие выражения эквивалентны: ${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$ ${\displaystyle {\varphi }}$ ${\displaystyle 0<c\leq C<+\infty }$

${\displaystyle 1.\quad \forall (a_{n})\in \ell ^{2},\ \ c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)}$

${\displaystyle 2.\quad c\leq \sum _{n}\left|{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi n)\right|^{2}\leq C}$

Первое из вышеприведенных условий — это определение для ( ), чтобы сформировать базис Рисса для пространства, которое он охватывает . ${\displaystyle {\varphi _{n}}}$

Смотрите также

• Ортонормированный базис
• Гильбертово пространство
• Рамка векторного пространства

Примечания

1. Антуан и Балаж 2012.
2. Янг 2001, стр. 35.
3. Пейли и Винер 1934, стр. 100.

Ссылки

• Antoine, J.-P.; Balazs, P. (2012). «Рамки, полурамки и шкалы Гильберта». Численный функциональный анализ и оптимизация . 33 (7–9). arXiv : 1203.0506 . doi :10.1080/01630563.2012.682128. ISSN  0163-0563.
• Кристенсен, Оле (2001), «Рамки, базисы Рисса и дискретные разложения Габора/вейвлетов» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 38 (3): 273–291, doi : 10.1090/S0273-0979-01-00903-X
• Малла, Стефан (2008), Вейвлет-тур по обработке сигналов: разреженный путь (PDF) (3-е изд.), стр. 46–47, ISBN 9780123743701
• Paley, Raymond EAC ; Wiener, Norbert (1934). Преобразования Фурье в комплексной области . Providence, RI: American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1019-4.
• Янг, Роберт М. (2001). Введение в негармонические ряды Фурье, пересмотренное издание, 93. Academic Press. ISBN 978-0-12-772955-8.

В этой статье использованы материалы из последовательности Рисса на PlanetMath , лицензированной по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License . В этой статье использованы материалы из базы Рисса на PlanetMath , лицензированной по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .