Круговой закон

В теории вероятностей , а точнее в изучении случайных матриц , круговой закон касается распределения собственных значений случайной матрицы размера n × n с независимыми и одинаково распределенными элементами в пределе n → ∞ .

В нем утверждается, что для любой последовательности случайных матриц размера n × n , элементы которой являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами , все со средним значением, равным нулю, и дисперсией, равной 1/ n , предельное спектральное распределение является равномерным распределением по единичному кругу.

Ансамбли Ginibre

Комплексный ансамбль Жинибра определяется как для , при этом все его элементы выбираются IID из стандартного нормального распределения . ${\displaystyle X={\frac {1}{\sqrt {2}}}Z_{1}+{\frac {i}{\sqrt {2}}}Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1},Z_{2}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

Реальный ансамбль Ginibre определяется как . ${\displaystyle X=Z_{1}}$

Собственные значения

Собственные значения распределены согласно ^[1] ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \rho _{n}\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)={\frac {1}{\pi ^{n}\prod _{k=1}^{n}k!}}\exp \left(-\sum _{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|^{2}\right)\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|z_{j}-z_{k}\right|^{2}}$$

График действительной и мнимой частей (масштабированных по sqrt(1000)) собственных значений матрицы размером 1000x1000 с независимыми стандартными нормальными элементами.

Глобальное право

Пусть будет последовательностью, выбранной из комплексного ансамбля Жинибра. Пусть обозначают собственные значения . Определим эмпирическую спектральную меру как ${\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},1\leq j\leq n}$ ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}$ ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}$

${\displaystyle \mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}(A)=n^{-1}\#\{j\leq n:\lambda _{j}\in A\}~,\quad A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {C} ).}$

Тогда почти наверняка (т.е. с вероятностью единица) последовательность мер сходится по распределению к равномерной мере на единичном круге. ${\displaystyle \displaystyle \mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}}$

Статистика по краям

Пусть будет выбрано из действительного или комплексного ансамбля, и пусть будет абсолютным значением его максимального собственного значения: Для статистики ребер имеем следующую теорему: ^[2] ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle \rho (G_{n})}$ $${\displaystyle \rho (G_{n}):=\max _{j}|\lambda _{j}|}$$

Статистика края ансамбля Жинибра  —  Для и как и выше, с вероятностью единица, ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle \rho \left(G_{n}\right)}$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)=1}$$

Более того, если и то сходится по распределению к закону Гумбеля , т.е. вероятностной мере на с кумулятивной функцией распределения . ${\displaystyle \gamma _{n}=\log \left({\frac {n}{2\pi }}\right)-2\log(\log(n))}$ $${\displaystyle Y_{n}:={\sqrt {4n\gamma _{n}}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)-1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}\right),}$$ ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F_{\mathrm {Gum} }(x)=e^{-e^{-x}}}$

Эта теорема уточняет круговой закон ансамбля Жинибра. На словах круговой закон гласит, что спектр почти наверняка равномерно падает на единичный диск. а теорема о реберной статистике утверждает, что радиус почти единичного диска составляет около , и колеблется в масштабе , согласно закону Гумбеля. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}G_{n}}$ ${\displaystyle 1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4n\gamma _{n}}}}}$

История

Для случайных матриц с гауссовым распределением элементов ( ансамбли Жинибра ) круговой закон был установлен в 1960-х годах Жаном Жинибром . ^[3] В 1980-х годах Вячеслав Гирко представил ^[4] подход, который позволил установить круговой закон для более общих распределений. Дальнейший прогресс был достигнут ^[5] Чжидун Баем, который установил круговой закон при определенных предположениях о гладкости распределения.

Предположения были еще больше смягчены в работах Теренса Тао и Ван Х. Ву , ^[6] Гуанмина Паня и Ван Чжоу, ^[7] а также Фридриха Гётце и Александра Тихомирова. ^[8] Наконец, в 2010 году Тао и Ву доказали ^[9] круговой закон при минимальных предположениях, указанных выше.

Результат кругового закона был расширен в 1985 году Гирко ^[10] до эллиптического закона для ансамблей матриц с фиксированным количеством корреляции между элементами выше и ниже диагонали. Эллиптический и круговой законы были далее обобщены Асейтуно, Роджерсом и Шомерусом до закона гипотрохоид, который включает корреляции более высокого порядка. ^[11]

Смотрите также

• Распределение полукруга Вигнера

Ссылки

1. Меккес, Элизабет (08.01.2021). «Собственные значения случайных матриц». arXiv : 2101.02928 [math.PR].
2. Райдер, Б. (28.03.2003). «Предельная теорема на краю неэрмитового случайного матричного ансамбля». Журнал физики A: Mathematical and General . 36 (12): 3401–3409. Bibcode : 2003JPhA...36.3401R. doi : 10.1088/0305-4470/36/12/331. ISSN  0305-4470.
3. Жинибр, Жан (1965). «Статистические ансамбли комплексных, кватернионных и действительных матриц». J. Math. Phys . 6 (3): 440–449. Bibcode :1965JMP.....6..440G. doi :10.1063/1.1704292. MR  0173726.
4. Гирко, В.Л. (1984). «Циркулярный закон». Теория вероятностей и ее применения . 29 (4): 669–679.
5. Бай, ЗД (1997). «Круговой закон». Annals of Probability . 25 (1): 494–529. doi : 10.1214/aop/1024404298 . MR  1428519.
6. Тао, Т.; Ву, В.Х. (2008). «Случайные матрицы: круговой закон». Коммун. Созерцание Математика . 10 (2): 261–307. arXiv : 0708.2895 . дои : 10.1142/s0219199708002788. MR  2409368. S2CID  15888373.
7. Pan, G.; Zhou, W. (2010). «Круговой закон, экстремальные сингулярные значения и теория потенциала». J. Multivariate Anal . 101 (3): 645–656. arXiv : 0705.3773 . doi : 10.1016/j.jmva.2009.08.005. S2CID  7475359.
8. Гётце, Ф.; Тихомиров, А. (2010). «Круговой закон для случайных матриц». Annals of Probability . 38 (4): 1444–1491. arXiv : 0709.3995 . doi : 10.1214/09-aop522. MR  2663633. S2CID  1290255.
9. Тао, Теренс ; Ву, Ван (2010). «Случайные матрицы: универсальность ОУР и круговой закон». Анналы вероятности . 38 (5). приложение Манджунатха Кришнапура: 2023–2065 гг. arXiv : 0807.4898 . дои : 10.1214/10-AOP534. MR  2722794. S2CID  15769353.
10. Гирко, В.Л. (1985). «Эллиптический закон». Теория вероятностей и ее применения . 30 : 640–651.
11. Aceituno, PV; Rogers, T.; Schomerus, H. (2019). «Универсальный гипотрохоидический закон для случайных матриц с циклическими корреляциями». Physical Review E. 100 ( 1): 010302. arXiv : 1812.07055 . Bibcode : 2019PhRvE.100a0302A. doi : 10.1103/PhysRevE.100.010302. PMID  31499759. S2CID  119325369.