Круглый комплект

Основной пучок волокон

В математике круговой расслоение — это расслоение , в котором слоем является круг . ${\displaystyle S^{1}}$

Расслоения ориентированных окружностей также известны как главные U (1)-расслоения или, что то же самое, как главные SO (2)-расслоения. В физике пучки кругов являются естественной геометрической обстановкой электромагнетизма . Расслоение кругов является частным случаем расслоения сфер .

Как 3-многообразия

Расслоения кругов над поверхностями являются важным примером 3-многообразий . Более общий класс 3-многообразий — это расслоения Зейферта , которые можно рассматривать как своего рода «сингулярное» расслоение окружностей или как расслоение окружностей над двумерным орбифолдом .

Связь с электродинамикой

Уравнения Максвелла соответствуют электромагнитному полю, представленному 2 -формой F , когомологичным нулю, т.е. точным . В частности, всегда существует 1-форма A , электромагнитный четырехпотенциал (т. е. аффинная связность ), такая, что ${\displaystyle \pi ^{\!*}F}$

${\displaystyle \pi ^{*}F=dA.}$

Учитывая расслоение окружностей P над M и его проекцию

${\displaystyle \pi :P\to M}$

существует гомоморфизм

${\displaystyle \pi ^{*}:H^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(P,\mathbb {Z} )}$

где откат . _ Каждому гомоморфизму соответствует монополь Дирака ; целочисленные группы когомологий соответствуют квантованию электрического заряда . Эффект Ааронова -Бома можно понимать как голономию связи на связанном линейном расслоении, описывающем волновую функцию электрона. По сути, эффект Ааронова-Бома не является квантово-механическим эффектом (вопреки распространенному мнению), поскольку при построении пучков волокон или соединений не требуется и не требуется квантование. ${\displaystyle \pi ^{*}}$

Примеры

• Расслоение Хопфа является примером нетривиального расслоения окружностей.
• Единичное касательное расслоение к поверхности является еще одним примером расслоения окружностей.
• Единичное касательное расслоение неориентируемой поверхности — это расслоение окружностей, не являющееся главным расслоением. Только ориентируемые поверхности имеют касательные расслоения с главной единицей. ${\displaystyle U(1)}$
• Другой метод построения пучков кругов — использование комплексного линейного расслоения и взятие связанного с ним пучка сферы (в данном случае круга). Поскольку это расслоение имеет ориентацию, индуцированную из, мы имеем, что оно является главным -расслоением. ^[1] Более того, характеристические классы из теории Черна-Вейля -расслоения согласуются с характеристическими классами . ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle L}$
• Например, рассмотрим анализ сложной плоской кривой . Поскольку и характеристические классы возвращаются нетривиально, мы получаем, что линейное расслоение, связанное с пучком, имеет класс Черна . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{x^{n}+y^{n}+z^{n}}}\right)}$ ${\displaystyle H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(a)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(a)\otimes {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}=a\in H^{2}(X)}$

Классификация

Классы изоморфизма главных -расслоений над многообразием M находятся во взаимно однозначном соответствии с классами гомотопий отображений , где называется классифицирующим пространством для U(1) . Обратите внимание, что это бесконечномерное комплексное проективное пространство и что это пример пространства Эйленберга – Маклейна. Такие расслоения классифицируются элементом второй целочисленной группы когомологий M , поскольку ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle M\to BU(1)}$ ${\displaystyle BU(1)}$ ${\displaystyle BU(1)=\mathbb {C} P^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2).}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle [M,BU(1)]\equiv [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\equiv H^{2}(M)}$.

Этот изоморфизм реализуется классом Эйлера ; эквивалентно, это первый класс Чженя гладкого комплексного линейного расслоения (по существу, потому что окружность гомотопически эквивалентна комплексной плоскости с удаленным началом координат; и поэтому комплексное линейное расслоение с удаленным нулевым сечением гомотопически эквивалентно круговому расслоению .) ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

Расслоение кругов является главным расслоением тогда и только тогда, когда связанное с ним отображение является нуль-гомотопным, что верно тогда и только тогда, когда расслоение послойно ориентируемо. Таким образом, в более общем случае, когда расслоение окружностей над M может быть неориентируемым, классы изоморфизма находятся во взаимно однозначном соответствии с гомотопическими классами отображений . Это следует из расширения групп, , где . ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle M\to B\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle M\to BO_{2}}$ ${\displaystyle SO_{2}\to O_{2}\to \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle SO_{2}\equiv U(1)}$

Комплексы Делинь

Приведенная выше классификация применима только к пучкам кругов в целом; соответствующая классификация гладких расслоений окружностей или, скажем, расслоений окружностей с аффинной связностью требует более сложной теории когомологий. Результаты включают в себя то, что гладкие расслоения окружностей классифицируются вторыми когомологиями Делиня ; Круговые расслоения с аффинной связностью классифицируются с помощью while классифицирует линейные расслоения gerbes . ${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} (2))}$ ${\displaystyle H_{D}^{3}(M,\mathbb {Z} )}$

Смотрите также

• Последовательность Ванга

Рекомендации

1. «Является ли каждый пучок ориентируемых кругов принципиальным? - MathOverflow» .

• Черн, Шиинг-шэнь (1977), «Пучки кругов», Конспект лекций по математике , вып. 597/1977, Springer Berlin/Heidelberg, стр. 114–131, doi : 10.1007/BFb0085351, ISBN. 978-3-540-08345-0.