Круглый треугольник

Треугольник с дугообразными краями

Круглые треугольники с комбинацией выпуклых и вогнутых краев.

В геометрии круговой треугольник — это треугольник с дугами окружности .

Примеры

Пересечение трех круговых дисков образует выпуклый круговой треугольник. Например, треугольник Рёло является частным случаем этой конструкции, где три диска центрированы в вершинах равностороннего треугольника с радиусом, равным длине стороны треугольника. Однако не каждый выпуклый круговой треугольник образуется как пересечение дисков таким образом.

Круговой роговой треугольник имеет все внутренние углы, равные нулю. ^[1] Один из способов формирования некоторых из этих треугольников — разместить три окружности, внешне касающиеся друг друга парами; тогда центральная треугольная область, окруженная этими окружностями, является роговым треугольником. Однако другие роговые треугольники, такие как арбелос (с тремя коллинеарными вершинами и тремя полуокружностями в качестве сторон), являются внутренними по отношению к одной из трех касательных окружностей, которые его образуют, а не внешними по отношению ко всем трем. ^[2]

Кардиоида Бошковича и одна из ее периметрально-биссектрисных линий

Кардиоидоподобный круговой треугольник , найденный Роджером Джозефом Босковичем, имеет три вершины, равномерно распределенные на линии, два равных полукруга с одной стороны линии и третий полукруг с радиусом в два раза больше с другой стороны линии. Две внешние вершины имеют внутренний угол , а средняя вершина имеет внутренний угол . Он обладает любопытным свойством, что все линии, проходящие через среднюю вершину, делят его периметр пополам. ^[3] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Другие круговые треугольники могут иметь смесь выпуклых и вогнутых дуговых рёбер.

Характеристика углов

Три заданных угла , и в интервале образуют внутренние углы кругового треугольника (без самопересечений) тогда и только тогда, когда они подчиняются системе неравенств Все круговые треугольники с одинаковыми внутренними углами эквивалентны друг другу относительно преобразований Мёбиуса . ^[4] ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \theta _{3}}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}-2\pi &<\theta _{1}+\theta _{2}-\theta _{3}<2\pi \\-2\pi &<\theta _{1}+\theta _{3}-\theta _{2}<2\pi \\-2\pi &<\theta _{2}+\theta _{3}-\theta _{1}<2\pi .\end{aligned}}}$$

Изопериметрия

Круговые треугольники дают решение изопериметрической задачи , в которой ищется кривая минимальной длины, которая охватывает три заданные точки и имеет заданную площадь. Когда площадь по крайней мере такая же, как описанная окружность точек, решением является любой круг этой области, окружающий точки. Для меньших площадей оптимальной кривой будет круговой треугольник с тремя точками в качестве вершин и с круговыми дугами равного радиуса в качестве сторон, вплоть до области, в которой один из трех внутренних углов такого треугольника достигает нуля. Ниже этой области кривая вырождается в круговой треугольник с «усиками», прямыми отрезками, идущими от его вершин к одной или нескольким заданным точкам. В пределе, когда площадь стремится к нулю, круговой треугольник сжимается к точке Ферма заданных трех точек. ^[5]

Смотрите также

• Круг Харта , круг, связанный с определенными круговыми треугольниками
• Гиперболический треугольник — треугольник, имеющий прямые стороны в гиперболической геометрии, но изображаемый как круговой в некоторых моделях гиперболической геометрии.
• Луна и Линза , двусторонние фигуры, ограниченные дугами окружностей
• Синус-тройной-угол круг
• Трилистник — круглый треугольник, выступающий наружу из трех вершин, используемый в архитектуре.

Ссылки

1. Каснер, Эдвард ; Калиш, Айда (1944), «Геометрия кругового рогового треугольника», National Mathematics Magazine , 18 : 299–304, doi :10.2307/3030080, JSTOR  3030080, MR  0010442
2. Боас, Гарольд П. (2006), «Размышления об арбелосе» (PDF) , American Mathematical Monthly , 113 (3): 236–249, doi :10.2307/27641891, JSTOR  27641891, MR  2204487.
3. Банчофф, Томас ; Гиблин, Питер (1994), «О геометрии кусочно-круговых кривых», The American Mathematical Monthly , 101 (5): 403–416, doi :10.2307/2974900, JSTOR  2974900, MR  1272938
4. Эппштейн, Дэвид ; Фришберг, Дэниел; Осегуеда, Марта К. (июнь 2023 г.), «Углы многоугольников дуг и рисунки кактусов по Ломбарди», Computational Geometry , 112 : 101982, arXiv : 2107.03615 , doi : 10.1016/j.comgeo.2023.101982
5. Курант, Ричард ; Роббинс, Герберт (1996), Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд.), Oxford University Press, стр. 378–379