В математике диагональная кубическая поверхность Клебша или икосаэдрическая кубическая поверхность Клейна — неособая кубическая поверхность , изученная Клебшем (1871) и Кляйном (1873), все 27 исключительных линий которой могут быть определены над действительными числами. Термин икосаэдрическая поверхность Клейна может относиться либо к этой поверхности, либо к ее раздутию в 10 точках Эккардта .
Поверхность Клебша — это набор точек ( x0 : x1 : x2 : x3 : x4 ) из P4 , удовлетворяющих уравнениям
Исключение x 0 показывает, что он также изоморфен поверхности
в Р 3 .
Группой симметрии поверхности Клебша является симметрическая группа S 5 порядка 120, действующая перестановками координат (в P 4 ). С точностью до изоморфизма поверхность Клебша является единственной кубической поверхностью с этой группой автоморфизмов.
27 исключительных строк:
Поверхность имеет 10 точек Эккардта, где пересекаются 3 линии, заданные точкой (1: −1: 0: 0: 0) и ее сопряженными при перестановках. Хирцебрух (1976) показал, что поверхность, полученная раздутием поверхности Клебша в ее 10 точках Эккардта, является гильбертовой модулярной поверхностью главной конгруэнтной подгруппы уровня 2 гильбертовой модулярной группы поля Q ( √ 5 ). Фактор модулярной группы Гильберта по ее конгруэнц-подгруппе уровня 2 изоморфен знакопеременной группе порядка 60 в 5 точках.
Как и все неособые кубические поверхности, кубику Клебша можно получить раздутием проективной плоскости в 6 точках. Кляйн (1873) описал эти моменты следующим образом. Если проективная плоскость отождествляется с набором линий, проходящих через начало координат в трехмерном векторном пространстве, содержащем икосаэдр с центром в начале координат, то 6 точек соответствуют 6 линиям, проходящим через 12 вершин икосаэдра. Точки Эккардта соответствуют 10 линиям, проходящим через центры 20 граней.
