Резольвентная кубическая

График полиномиальной функции x ⁴ + x ³ – x ² – 7 x /4 – 1/2 (зеленый цвет) вместе с графиком ее резольвентной кубики R ₄ ( y ) (красный цвет). Также видны корни обоих многочленов.

В алгебре резольвентная кубика — это один из нескольких различных, хотя и связанных, кубических многочленов , определенных из монического многочлена четвертой степени :

${\displaystyle P(x)=x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.}$

В каждом случае:

• Коэффициенты резольвентной кубики можно получить из коэффициентов P ( x ) , используя только суммы, вычитания и умножения.
• Знание корней резольвентной кубики P ( x ) полезно для нахождения корней самого P ( x ) . Отсюда и название «резольвентная кубическая».
• Полином P ( x ) имеет кратный корень тогда и только тогда, когда его резольвентная кубика имеет кратный корень.

Определения

Предположим, что коэффициенты P ( x ) принадлежат полю k , характеристика которого отличается от  2 . Другими словами, мы работаем в области, в которой 1 + 1 ≠ 0 . Всякий раз, когда упоминаются корни P ( x ) , они принадлежат некоторому расширению K из k , такому, что P ( x ) разлагается на линейные множители в K [ x ] . Если k — поле Q рациональных чисел, то K может быть полем C комплексных чисел или полем Q алгебраических чисел .

В некоторых случаях понятие резольвентной кубики определяется только тогда, когда P ( x ) является квартикой в ​​депрессивной форме, то есть когда a ₃  = 0 .

Обратите внимание, что четвертое и пятое определения ниже также имеют смысл и что связь между этими резольвентными кубиками и P ( x ) все еще сохраняется, если характеристика k равна  2 .

Первое определение

Предположим, что P ( x ) — депрессивная квартика, то есть a ₃ = 0 . Возможное определение резольвентной кубики P ( x ) следующее: ^[1]

${\displaystyle R_{1}(y)=8y^{3}+8a_{2}y^{2}+(2{a_{2}}^{2}-8a_{0})y-{a_{1}}^{2}.}$

Происхождение этого определения лежит в применении метода Феррари для поиска корней P ( x ) . Если быть более точным:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}+a_{2}x^{2}=-a_{1}x-a_{0}\\&\Longleftrightarrow \left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}\right)^{2}=-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}.\end{aligned}}}$

Добавьте новое неизвестное y к x ²  +  a _2/2 . Теперь у вас есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}+y\right)^{2}&=-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+2x^{2}y+a_{2}y+y^{2}\\&=2yx^{2}-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}.\end{aligned}}}$

Если это выражение является квадратом, то оно может быть только квадратом

${\displaystyle {\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y}}}}.}$

Но равенство

${\displaystyle \left({\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y}}}}\right)^{2}=2yx^{2}-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}}$

эквивалентно

${\displaystyle {\frac {{a_{1}}^{2}}{8y}}=-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}{\text{,}}}$

и это то же самое, что утверждение, что R ₁ ( y )  = 0.

Если y ₀ является корнем R ₁ ( y ) , то следствием вычислений, сделанных выше, является то, что корни P ( x ) являются корнями многочлена

${\displaystyle x^{2}-{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}+{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}}$

вместе с корнями многочлена

${\displaystyle x^{2}+{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}.}$

Конечно, это не имеет смысла, если y ₀ = 0 , но поскольку постоянный член R ₁ ( y ) равен – a ₁ ² , 0 является корнем R ₁ ( y ) тогда и только тогда, когда a ₁ = 0 и в этом случае корни P ( x ) можно найти по квадратичной формуле .

Второе определение

Другое возможное определение ^[1] (по-прежнему предполагая, что P ( x ) — депрессивная квартика) таково:

${\displaystyle R_{2}(y)=8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{0}y+4a_{2}a_{0}-{a_{1}}^{2}}$

Происхождение этого определения аналогично предыдущему. На этот раз мы начнем с:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}=-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}\\&\Longleftrightarrow (x^{2}+y)^{2}=-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}+2yx^{2}+y^{2}\end{aligned}}}$

и вычисление, подобное предыдущему, показывает, что это последнее выражение является квадратом тогда и только тогда, когда

${\displaystyle 8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{0}y+4a_{2}a_{0}-{a_{1}}^{2}=0{\text{.}}}$

Простое вычисление показывает, что

${\displaystyle R_{2}\left(y+{\frac {a_{2}}{2}}\right)=R_{1}(y).}$

Третье определение

Другое возможное определение ^{[2] [3]} (снова предполагая, что P ( x ) — депрессивная квартика) таково:

${\displaystyle R_{3}(y)=y^{3}+2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{0})y-{a_{1}}^{2}{\text{.}}}$

Происхождение этого определения лежит в другом методе решения уравнений четвертой степени, а именно в методе Декарта . Если вы попытаетесь найти корни P ( x ) , выразив его в виде произведения двух монических квадратичных многочленов x ²  +  αx  +  β и x ²  –  αx  +  γ , то

${\displaystyle P(x)=(x^{2}+\alpha x+\beta )(x^{2}-\alpha x+\gamma )\Longleftrightarrow \left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=a_{2}\\\alpha (-\beta +\gamma )=a_{1}\\\beta \gamma =a_{0}.\end{array}}\right.}$

Если существует решение этой системы с α  ≠ 0 (обратите внимание, что если a ₁  ≠ 0 , то это автоматически верно для любого решения), предыдущая система эквивалентна

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma =a_{2}+\alpha ^{2}\\-\beta +\gamma ={\frac {a_{1}}{\alpha }}\\\beta \gamma =a_{0}.\end{array}}\right.}$

Следствием первых двух уравнений является то, что тогда

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}-{\frac {a_{1}}{\alpha }}\right)}$

и

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}+{\frac {a_{1}}{\alpha }}\right).}$

После замены в третьем уравнении β и γ на эти значения получим, что

${\displaystyle \left(a_{2}+\alpha ^{2}\right)^{2}-{\frac {{a_{1}}^{2}}{\alpha ^{2}}}=4a_{0}{\text{,}}}$

и это эквивалентно утверждению, что α ² является корнем R ₃ ( y ) . Итак, еще раз, знание корней R ₃ ( y ) помогает определить корни P ( x ) .

Обратите внимание, что

${\displaystyle R_{3}(y)=R_{1}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}}$

Четвертое определение

Еще одно возможное определение: ^[4]

${\displaystyle R_{4}(y)=y^{3}-a_{2}y^{2}+(a_{1}a_{3}-4a_{0})y+4a_{0}a_{2}-{a_{1}}^{2}-a_{0}{a_{3}}^{2}.}$

_В самом деле , _если корнями P ( x ) являются α1 _, α2 , α3 и _α4 , то

${\displaystyle R_{4}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}}$

факт следует из формул Виета . Другими словами, R ₄ ( y ) является моническим многочленом, корни которого составляют α ₁ α ₂ + α ₃ α ₄ , α ₁ α ₃ + α ₂ α ₄ и α ₁ α ₄ + α ₂ α ₃ .

Это легко увидеть

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4})=(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}}$

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{,}}}$

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{.}}}$

Следовательно, P ( x ) имеет кратный корень тогда и только тогда, когда _R4 ( y ) имеет кратный корень. Точнее, P ( x ) и R4 ( y ) имеют один _и тот же дискриминант .

Следует отметить, что если P ( x ) является депрессивным полиномом, то

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{4}(y)&=y^{3}-a_{2}y^{2}-4a_{0}y+4a_{0}a_{2}-{a_{1}}^{2}\\&=R_{2}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{aligned}}}$

Пятое определение

Еще одно определение: ^{[5] [6]}

${\displaystyle R_{5}(y)=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}+a_{3}a_{1}-4a_{0})y+{a_{1}}^{2}-a_{3}a_{2}a_{1}+{a_{3}}^{2}a_{0}{\text{.}}}$

_{Если ,} как указано _выше , корнями P ( x ) являются α1 _, α2 , α3 и α4 _, то

${\displaystyle R_{5}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}}$

опять же как следствие формул Виеты . Другими словами, R ₅ ( y ) — это монический многочлен, корни которого: ( α ₁ + α ₂ )( α ₃ + α ₄ ) , ( α ₁ + α ₃ )( α ₂ + α ₄ ) и ( α ₁ + α ₄ )( α ₂ + α ₃ ) .

Это легко увидеть

${\displaystyle (\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})=-(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}}$

${\displaystyle (\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{,}}}$

${\displaystyle (\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{.}}}$

Поэтому, как и в случае с R ₄ ( y ) , P ( x ) имеет кратный корень тогда и только тогда, когда R ₅ ( y ) имеет кратный корень. Точнее, P ( x ) и R5 ( y ) имеют один и тот же дискриминант _. Это также является следствием того факта, что R ₅ ( y  +  a ₂ )  =  - R ₄ ( - y ) .

Обратите внимание, что если P ( x ) является депрессивным полиномом, то

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{5}(y)&=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{0})y+{a_{1}}^{2}\\&=-R_{3}(-y)\\&=-R_{1}\left(-{\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{aligned}}}$

Приложения

Решение уравнений четвертой степени

Выше было объяснено, как R1(y) , R2(y) и R3(y) можно использовать для нахождения корней P ( x ) , если этот многочлен подавлен. В общем случае нужно просто найти корни пониженного многочлена P ( x  −  a ₃ /4) . Для каждого корня  x ₀ этого многочлена x ₀  −  a ₃ /4 является корнем  P ( x ) .

Факторизация полиномов четвертой степени

Если полином четвертой степени P ( x ) приводим в k [ x ] , то он является произведением двух квадратичных многочленов или произведением линейного многочлена на кубический многочлен. Эта вторая возможность возникает тогда и только тогда, когда P ( x ) имеет корень из  k . Чтобы определить, может ли P ( x ) быть выражено как произведение двух квадратичных многочленов, предположим для простоты, что P ( x ) является депрессивным многочленом. Затем выше было видно, что если резольвентная кубика R ₃ ( y ) имеет ненулевой корень вида α ² для некоторого α  ∈  k , то такое разложение существует.

Это можно использовать, чтобы доказать, что в R [ x ] каждый многочлен четвертой степени без вещественных корней может быть выражен как произведение двух квадратичных многочленов. Пусть P ( x ) будет таким полиномом. Без ограничения общности можно считать , что P ( x ) является моническим. Мы также можем без ограничения общности предположить, что это приведенный многочлен, потому что P ( x ) можно выразить как произведение двух квадратичных многочленов тогда и только тогда, когда P ( x  −  a ₃ /4) может и этот многочлен является приведенным многочленом. один. Тогда р ₃ ( y )  знак равно  y ³  + 2 а ₂ y ²  + ( а ₂ ²  - 4 а ₀ ) y  -  а ₁ ² . Есть два случая:

• Если a ₁  ≠ 0 , то R ₃ (0)  =  − a ₁ ²  < 0 . Поскольку R ₃ ( y ) > 0 , если y достаточно велико, то по теореме о промежуточном значении R ₃ ( y ) имеет корень y ₀ с y ₀  > 0 . Итак, мы можем _взять α  =  √y0 .
• Если а ₁  знак равно  0 , то р ₃ ( y )  знак равно  y ³  + 2 а ₂ y ²  + ( а ₂ ²  - 4 а ₀ ) y . Корни этого многочлена равны  0 , а корни квадратного многочлена  y ²  + 2 a ₂ y  +  a ₂ ²  - 4 a ₀ . Если a ₂ ²  − 4 a ₀  < 0 , то произведение двух корней этого многочлена меньше  0 и, следовательно, он имеет корень больше  0 (который оказывается − a ₂  + 2 √ a ₀ ), и мы может принять α как квадратный корень из этого корня. В противном случае a ₂ ²  − 4 a ₀  ≥ 0 и тогда

${\displaystyle P(x)=\left(x^{2}+{\frac {a_{2}+{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{0}}}}{2}}\right)\left(x^{2}+{\frac {a_{2}-{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{0}}}}{2}}\right){\text{.}}}$

В более общем смысле, если k — действительное замкнутое поле , то каждый многочлен четвертой степени без корней из k может быть выражен как произведение двух квадратичных многочленов из k [ x ] . Действительно, это утверждение может быть выражено в логике первого порядка , и любое такое утверждение, справедливое для R , также справедливо для любого вещественного замкнутого поля.

Подобный подход можно использовать, чтобы получить алгоритм ^[2] для определения того, является ли полином четвертой степени P ( x ) ∈  Q [ x ] приводимым, и, если да, то как его выразить в виде произведения полиномов меньшей степени . Опять же, мы предположим, что  P ( x ) моник и депрессия. Тогда  P ( x ) приводимо тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий:

• Многочлен P ( x ) имеет рациональный корень (это можно определить с помощью теоремы о рациональном корне ).
• Резольвентная кубика  R ₃ ( y ) имеет корень вида α ² для некоторого ненулевого рационального числа  α (опять же, это можно определить с помощью теоремы о рациональном корне ).
• Число a ₂ ²  − 4 a ₀ является квадратом рационального числа и a ₁  =  0 .

Действительно:

• Если P ( x ) имеет рациональный корень r , то P ( x ) является произведением x  −  r на кубический многочлен от Q [ x ] , который может быть определен полиномиальным делением в столбик или правилом Руффини .
• Если существует рациональное число  α  ≠ 0 такое, что α ² является корнем  R ₃ ( y ) , выше было показано, как выразить  P ( x ) как произведение двух квадратных многочленов из Q [ x ] .
• Наконец, если выполнено третье условие и если δ  ∈  Q таково, что δ ²  = a ₂ ²  − 4 a ₀ , то P ( x )  =  ( x ²  + ( a ₂  +  δ )/2)( x ²  + ( а ₂  -  δ )/2) . 

Группы Галуа неприводимых многочленов четвертой степени

Резольвентная куба неприводимого многочлена четвертой степени P ( x ) может использоваться для определения его группы Галуа G ; то есть группа Галуа поля расщепления P ( x ) . Пусть  m — степень над k поля расщепления резольвентной кубики (это может быть либо R ₄ ( y ), либо R ₅ ( y ) ; у них одинаковое поле расщепления). Тогда группа  G является подгруппой симметрической группы S ₄ . Точнее: ^[4]

• Если m = 1 (т. е. если резольвентные кубические факторы разлагаются на линейные множители по  k ), то  G — это группа { e , (12)(34), (13)(24), (14)(23) }.
• Если m = 2 (т. е. если резольвентная кубика имеет один и до кратности только один корень из  k ), то для определения  G можно определить, является ли P ( x ) по-прежнему неприводимым после присоединения к полю k корни резольвентной кубики. Если нет, то G — циклическая группа порядка 4  ; точнее, это одна из трех циклических подгрупп группы  S ₄ , порожденная любым из ее шести 4 -циклов. Если она еще неприводима, то _{G — одна из трех подгрупп группы S4} порядка 8  , каждая  из которых изоморфна группе диэдра порядка  8 .
• Если m = 3 , то G — знакопеременная группа A ₄ .
• Если m = 6 , то G — вся _группа S4 .

Смотрите также

• Резольвента (теория Галуа)

Рекомендации

1. Тиньоль, Жан-Пьер (2016), «Уравнения четвертой степени», Теория алгебраических уравнений Галуа (2-е изд.), World Scientific , ISBN 978-981-4704-69-4, Збл  1333.12001
2. Брукфилд, Г. (2007), «Факторизация полиномов четвертой степени: утраченное искусство» (PDF) , Mathematics Magazine , 80 (1): 67–70, doi : 10.1080/0025570X.2007.11953453, JSTOR  27642994, S2CID  53375377, Zbl  1227.97040, заархивировано из оригинала (PDF) 21 февраля 2015 г.
3. Хартсхорн, Робин (1997), «Задачи построения и расширения полей: кубические уравнения и уравнения четвертой степени», Геометрия: Евклид и за его пределами , Springer-Verlag , ISBN 0-387-98650-2, Збл  0954.51001
4. Каплански, Ирвинг (1972), «Поля: кубические и четвертичные уравнения», Поля и кольца , Чикагские лекции по математике (2-е изд.), University of Chicago Press , ISBN 0-226-42451-0,  1001,16500 Збл
5. Ротман, Джозеф (1998), «Группы Галуа квадратичных, кубических и квартических чисел», Теория Галуа (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 0-387-98541-7, Збл  0924.12001
6. ван дер Варден, Бартель Леендерт (1991), «Теория Галуа: уравнения второй, третьей и четвертой степеней», Алгебра , том. 1 (7-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 0-387-97424-5, Збл  0724.12001