В геометрии пирамида — это многогранник, образованный соединением многоугольного основания и точки, называемой вершиной . Каждое ребро основания и вершина образуют треугольник, называемый боковой гранью . Это коническое тело с многоугольным основанием. Многие типы пирамид можно найти, определив форму оснований или отрезав вершину. Его можно обобщить до более высокого измерения, известного как гиперпирамида . Все пирамиды являются самодвойственными .
Слово «пирамида» происходит от древнегреческого термина «πυραμίς» (pyramis), который обозначал пирамидальную структуру и тип пшеничной лепешки. [1] [2] Термин происходит от греческих «πυρ» (pyr, «огонь») и «άμις» (amis, «сосуд»), что подчеркивает заостренный, похожий на пламя вид формы. [3]
В византийском греческом языке термин эволюционировал в «πυραμίδα» (pyramída), продолжая обозначать пирамидальные структуры. [4] Греческий термин «πυραμίς» был заимствован в латынь как «pyramis». Термин «πυραμίδα» повлиял на эволюцию слова в «pyramid» в английском и других языках. [5] [6]
Пирамида — это многогранник, который может быть образован путем соединения многоугольного основания и точки, называемой вершиной . Каждое ребро основания и вершина образуют равнобедренный треугольник, называемый боковой гранью . [7] Ребра, соединенные от вершин многоугольного основания до вершины, называются боковыми ребрами . [8] Исторически определение пирамиды было описано многими математиками в древние времена. Евклид в своих «Началах» определил пирамиду как объемную фигуру, построенную из одной плоскости в одну точку. Контекст его определения был неясным, пока Герон Александрийский не определил ее как фигуру, соединив точку с многоугольным основанием. [9]
Призматоид определяется как многогранник, вершины которого лежат на двух параллельных плоскостях, а боковые грани — треугольники, трапеции и параллелограммы . [ 10] Пирамиды классифицируются как призматоиды. [11]
Правильная пирамида — это пирамида, основание которой описано около окружности, а высота пирамиды пересекается в центре окружности. [12] Эту пирамиду можно классифицировать на основе правильности ее оснований. Пирамида с правильным многоугольником в качестве основания называется правильной пирамидой . [13] Пирамида с n - сторонним правильным основанием имеет n + 1 вершину, n + 1 грань и 2 n ребер. [14] Такая пирамида имеет равнобедренные треугольники в качестве своих граней, с ее симметрией C n v , симметрией порядка 2 n : пирамиды симметричны, поскольку они вращаются вокруг своей оси симметрии (прямой, проходящей через вершину и центроид основания), и они зеркально симметричны относительно любой перпендикулярной плоскости, проходящей через биссектрису основания. [15] [16] Примерами являются квадратная пирамида и пятиугольная пирамида , пирамида с четырьмя и пятью треугольными гранями с квадратным и пятиугольным основанием соответственно; они классифицируются как первое и второе тело Джонсона, если их правильные грани и ребра равны по длине, а их симметрии равны C 4v порядка 8 и C 5v порядка 10 соответственно. [17] [18] Тетраэдр или треугольная пирамида — это пример, который имеет четыре равносторонних треугольника со всеми ребрами одинаковой длины, и одно из них считается основанием. Поскольку грани правильные , это пример Платонового тела и дельтаэдра , и он имеет тетраэдрическую симметрию . [19] [20] Пирамида с основанием в виде круга известна как конус . [21] Пирамиды обладают свойством самодвойственности , то есть их двойственные вершины совпадают с вершинами, соответствующими ребрам, и наоборот. [22] Их скелет может быть представлен в виде графа колеса . [23]
Правильная пирамида может также иметь основание в виде неправильного многоугольника. Примерами являются пирамиды с прямоугольником и ромбом в качестве оснований. Эти две пирамиды имеют симметрию C 2v порядка 4.
Тип пирамид может быть получен многими способами. Базовая регулярность основания пирамиды может быть классифицирована на основе типа многоугольника, и одним из примеров является пирамида с правильным звездчатым многоугольником в качестве ее основания, известная какЗвездная пирамида . [24] Пирамида, отсеченная плоскостью, называетсяусеченная пирамида ; если плоскость усечения параллельна основанию пирамиды, она называется усеченной .
Площадь поверхности — это общая площадь граней каждого многогранника. В случае пирамиды площадь ее поверхности равна сумме площади треугольников и площади многоугольного основания.
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Учитывая, что это площадь основания и это высота пирамиды. Математически объем пирамиды равен: [25] Объем пирамиды был записан еще в Древнем Египте, где они вычислили объем квадратного усеченного конуса , предполагая, что они знали объем квадратной пирамиды. [26] Формула объема для общей пирамиды была открыта индийским математиком Арьябхатой , где он процитировал в своей Арьябхатии , что объем пирамиды неправильно является половиной произведения площади основания на высоту. [27]
Гиперпирамида является обобщением пирамиды в n - мерном пространстве. В случае пирамиды соединяются все вершины основания, многоугольника на плоскости, с точкой вне плоскости, которая является вершиной . Высота пирамиды - это расстояние вершины от плоскости. Эта конструкция обобщается до n измерений. Основание становится ( n − 1) - многогранником в ( n − 1) - мерной гиперплоскости. Точка, называемая вершиной, находится вне гиперплоскости и соединяется со всеми вершинами многогранника, а расстояние вершины от гиперплоскости называется высотой. [28]
n - мерный объем n - мерной гиперпирамиды можно вычислить следующим образом: Здесь V n обозначает n - мерный объем гиперпирамиды. A обозначает ( n − 1) - мерный объем основания, а h - высоту, то есть расстояние между вершиной и ( n − 1) - мерной гиперплоскостью , содержащей основание A. [28 ]