Алмазный кубический

Полюсная фигура в стереографической проекции алмазной решетки, показывающая 3-кратную симметрию вдоль направления [111]

В кристаллографии кубическая кристаллическая структура алмаза представляет собой повторяющийся узор из 8 атомов, который некоторые материалы могут принимать при затвердевании. Хотя первым известным примером был алмаз , другие элементы в группе 14 также принимают эту структуру, включая α-олово , полупроводники кремний и германий , а также сплавы кремния и германия в любой пропорции. Существуют также кристаллы, такие как высокотемпературная форма кристобалита , которые имеют похожую структуру, с одним видом атомов (например, кремний в кристобалите) в позициях атомов углерода в алмазе, но с другим видом атомов (например, кислород) на полпути между ними (см. Категория: Минералы в пространственной группе 227 ).

Хотя эту структуру часто называют алмазной решеткой , она не является решеткой в техническом смысле этого слова, используемого в математике.

Кристаллографическая структура

Кубическая структура алмаза находится в пространственной группе Fd 3 m (пространственная группа 227), которая следует гранецентрированной кубической решетке Браве . Решетка описывает повторяющийся узор; для кубических кристаллов алмаза эта решетка «украшена» мотивом из двух тетраэдрически связанных атомов в каждой примитивной ячейке , разделенных ⁠ 1/4⁠ ширины элементарной ячейки в каждом измерении. ^[1] Алмазную решетку можно рассматривать как пару пересекающихся гранецентрированных кубических решеток, каждая из которых разделена ⁠1/4⁠ ширины элементарной ячейки в каждом измерении. Многие полупроводниковые соединения, такие как арсенид галлия , β- карбид кремния и антимонид индия , принимают аналогичную структуру цинковой обманки , где каждый атом имеет ближайших соседей из другого элемента. Пространственная группа цинковой обманки — F 4 3m, но многие из ее структурных свойств весьма похожи на структуру алмаза. ^[2]

Коэффициент упаковки атомов кубической структуры алмаза (доля пространства, которая будет заполнена сферами, центрированными на вершинах структуры и максимально большими без перекрытия) ^[3] значительно меньше (что указывает на менее плотную структуру), чем коэффициенты упаковки для гранецентрированных и объемноцентрированных кубических решеток . ^[4] Структуры цинковой обманки имеют более высокие коэффициенты упаковки, чем 0,34, в зависимости от относительных размеров их двух составляющих атомов. ${\tfrac {\pi {\sqrt {3}}}{16}}\approx 0,34,$

Расстояния до первого, второго, третьего, четвертого и пятого ближайших соседей в единицах постоянной кубической решетки равны соответственно. ${\tfrac {\sqrt {3}}{4}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {11}}{4}},1,{\tfrac {\sqrt {19}}{4}},$

Математическая структура

Математически, точкам кубической структуры алмаза можно задать координаты как подмножество трехмерной целочисленной решетки , используя кубическую элементарную ячейку размером четыре единицы. С этими координатами точки структуры имеют координаты $(x, y, z),$ удовлетворяющие уравнениям ^[5] ${\begin{aligned}x=y&=z\ ({\text{mod }}\ 2),\\x+y+z&=0{\text{ или }}1\ ({\text{mod }}\ 4).\end{aligned}}$

Существует восемь точек ( по модулю 4), удовлетворяющих этим условиям:

(0,0,0), (0,2,2), (2,0,2), (2,2,0),

(3,3,3), (3,1,1), (1,3,1), (1,1,3)

Все остальные точки в структуре могут быть получены путем добавления кратных четырем к координатам $x, y, z$ этих восьми точек. Соседние точки в этой структуре находятся на расстоянии ⁠ ⁠ ${\sqrt {3}}$ друг от друга в целочисленной решетке; ребра ромбовидной структуры лежат вдоль диагоналей тела кубов целочисленной решетки. Эту структуру можно масштабировать до кубической элементарной ячейки, которая представляет собой некоторое число $a$ единиц в поперечнике, умножив все координаты на $⁠$ $а / 4 ⁠$ .

В качестве альтернативы каждая точка кубической структуры алмаза может быть задана четырехмерными целочисленными координатами, сумма которых равна либо нулю, либо единице. Две точки являются соседними в структуре алмаза тогда и только тогда, когда их четырехмерные координаты отличаются на единицу в одной координате. Общая разность значений координат между любыми двумя точками (их четырехмерное манхэттенское расстояние ) дает количество ребер на кратчайшем пути между ними в структуре алмаза. Четыре ближайших соседа каждой точки могут быть получены в этой системе координат путем добавления одного к каждой из четырех координат или путем вычитания одного из каждой из четырех координат, соответственно, поскольку сумма координат равна нулю или единице. Эти четырехмерные координаты могут быть преобразованы в трехмерные координаты по формуле ^[5]^[6] Поскольку структура алмаза образует сохраняющее расстояние подмножество четырехмерной целочисленной решетки, она является частичным кубом . ^[6] $(a,b,c,d)\to (a+bcd,\ a-b+cd,\ -a+b+cd).$

Еще одна координация алмазного кубика включает удаление некоторых ребер из трехмерного графа сетки. В этой координации, которая имеет искаженную геометрию стандартной алмазной кубической структуры, но имеет ту же топологическую структуру, вершины алмазного кубика представлены всеми возможными точками трехмерной сетки, а ребра алмазного кубика представлены подмножеством ребер трехмерной сетки. ^[7]

Алмазную кубическую решетку иногда называют «алмазной решеткой», но математически она решеткой не является : например, не существует трансляционной симметрии , которая переводит точку (0,0,0) в точку (3,3,3). Однако это все еще высокосимметричная структура: любая инцидентная пара вершины и ребра может быть преобразована в любую другую инцидентную пару с помощью конгруэнтности евклидова пространства . Более того, алмазный кристалл как сеть в пространстве обладает сильным изотропным свойством. ^[8] А именно, для любых двух вершин $x, y$ кристаллической сетки и для любого упорядочения ребер, смежных с $x,$ и любого упорядочения ребер, смежных с $y$ , существует сохраняющая сеть конгруэнтность, переводящая $x$ в $y$ и каждое $x$ -ребро в аналогично упорядоченное $y$ -ребро. Другой (гипотетический) кристалл с этим свойством — граф Лавеса (также называемый кристаллом K ₄ , (10,3)-a или алмазным близнецом). ^[9]

Механические свойства

Прочность на сжатие и твердость алмаза и различных других материалов, таких как нитрид бора [ ^10] (который имеет тесно связанную структуру цинковой обманки ), приписываются кубической структуре алмаза.

Аналогично, ферменные системы, которые следуют ромбовидной кубической геометрии, обладают высокой способностью выдерживать сжатие за счет минимизации свободной длины отдельных стоек . ^[11] Ромбовидная кубическая геометрия также рассматривалась с целью обеспечения структурной жесткости ^[12]^[13], хотя конструкции, состоящие из скелетных треугольников , такие как октетная ферма , оказались более эффективными для этой цели.

Смотрите также

Аллотропы углерода – материалы, состоящие только из углерода
Кристаллография – научное изучение кристаллических структур
Граф Лавеса – периодический пространственный граф
Усеченные тетраэдрические соты триакиса – Заполняющая пространство мозаика

Ссылки

^ Кобаши, Кодзи (2005), "2.1 Структура алмаза", Алмазные пленки: химическое осаждение из паровой фазы для ориентированного и гетероэпитаксиального роста , Elsevier, стр. 9, ISBN 978-0-08-044723-0.
^ Виберг, Эгон; Виберг, Нильс; Холлеман, Арнольд Фредерик (2001), Неорганическая химия , Academic Press, стр. 1300, ISBN 978-0-12-352651-9.
^ Аскеланд, Дональд Р.; Фуле, Прадип Прабхакар (2006), «Пример 3-15: Определение коэффициента упаковки для алмазного кубического кремния», Наука и инженерия материалов , Cengage Learning, стр. 82, ISBN 978-0-534-55396-8.
^ Новиков, Владимир (2003), Краткий словарь по материаловедению: Структура и характеристика поликристаллических материалов , CRC Press, стр. 9, ISBN 978-0-8493-0970-0.
^ ab Nagy, Benedek; Strand, Robin (2009), "Последовательности соседей в ромбовидной сетке – алгоритмы с четырьмя соседями", Combinatorial Image Analysis: 13th International Workshop, IWCIA 2009, Playa Del Carmen, Мексика, 24–27 ноября 2009 г., Proceedings , Lecture Notes in Computer Science , т. 5852, Springer-Verlag, стр. 109–121, Bibcode : 2009LNCS.5852..109N, doi : 10.1007/978-3-642-10210-3_9, ISBN 978-3-642-10210-3.
^ ab Eppstein, David (2009), "Isometric Diamond Subgraphs", в Tollis, Ioannis G.; Patrignani, Maurizio (ред.), Graph Drawing: 16th International Symposium, GD 2008, Heraklion, Crete, Greece, September 21–24, 2008, Revised Papers , Lecture Notes in Computer Science, vol. 5417, Springer-Verlag, pp. 384–389, arXiv : 0807.2218 , doi : 10.1007/978-3-642-00219-9_37, ISBN 978-3-642-00219-9, S2CID 14066610.
^ Пархами, Б.; Квай, Динг-Мин (2001), «Унифицированная формулировка сотовых и ромбовидных сетей», IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems , 12 (1): 74–80, doi :10.1109/71.899940.
^ Сунады, Тошикадзу (2012), Топологическая кристаллография - с видом на дискретный геометрический анализ- , Springer, ISBN 978-4-431-54176-9
^ Сунады, Тошикадзу (2008), «Кристаллы, которые природа могла бы не создать», Notices of the AMS , 55 : 208–215
^ Бланк, В.; Попов, М.; Пивоваров, Г.; Львова, Н. и др. (1998). «Сверхтвердые и сверхтвердые фазы фуллерита C60: сравнение с алмазом по твердости и износу». Diamond and Related Materials 7 (2–5): 427. [1]
^ Лоример, А. «Бриллиантовая кубическая ферма», Interior World: Design & Detail, т. 121, 2013, стр. 80–81
^ Р. Крафт. Конструкция, США, Патенты США, US3139959, 1964 [2]
^ Гилман, Дж. Тетраэдральная ферма, США, Патенты США, US4446666, 1981 [3]

Внешние ссылки

Медиа, связанные с Diamond cubic на Wikimedia Commons
Программное обеспечение для построения самоизбегающих случайных блужданий на кубической решетке алмаза