Кубооктаэдр – это многогранник с 8 треугольными гранями и 6 квадратными гранями. Кубооктаэдр имеет 12 одинаковых вершин , в каждой из которых сходятся по 2 треугольника и 2 квадрата, и 24 одинаковых ребра , каждое из которых отделяет треугольник от квадрата. По сути, это квазиправильный многогранник , то есть архимедово тело , которое является не только транзитивным по вершинам , но и транзитивным по ребрам . [1] Он радиально равносторонний.
Его двойственный многогранник — ромбдодекаэдр .
Кубооктаэдр, вероятно, был известен Платону : «Определения Герона» цитируют слова Архимеда о том, что Платон знал твердое тело, состоящее из 8 треугольников и 6 квадратов. [2]
Кубооктаэдр имеет четыре специальные ортогональные проекции с центрами на вершине, ребре и двух типах граней: треугольную и квадратную . Последние два соответствуют плоскостям Кокстера B 2 и A 2 . На косых проекциях показаны квадрат и шестиугольник, проходящие через центр кубооктаэдра.
.png/1280px-Euler_diagram_with_14_cells_and_multicrossing_(spherical_polyhedron).png)
Кубооктаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.
Декартовы координаты вершин кубооктаэдра (с длиной ребра √ 2 ) с центром в начале координат [4] :
Альтернативный набор координат может быть создан в 4-мерном пространстве как 12 перестановок:
Эта конструкция существует как одна из 16 ортантных граней кантеллированной 16-клеточной структуры .
12 вершин кубооктаэдра могут представлять корневые векторы простой группы Ли A 3 . С добавлением 6 вершин октаэдра эти вершины представляют собой 18 корневых векторов простой группы Ли B 3 .
Площадь A и объем V кубооктаэдра с длиной ребра a равны:
Кубооктаэдр можно разрезать на 6 квадратных пирамид и 8 тетраэдров , сходящихся в центральной точке. Это расчленение выражается в тетраэдро-октаэдрических сотах , где пары квадратных пирамид объединяются в октаэдры .
Кубооктаэдр можно разрезать на два треугольных купола общим шестиугольником , проходящим через центр кубооктаэдра. [a] Если эти два треугольных купола скручены так, что треугольники и квадраты совпадают, образуется тело Джонсона J 27 , треугольный ортобикупол .
В кубооктаэдре длинный радиус (от центра до вершины) равен длине ребра; таким образом, его длинный диаметр (от вершины до противоположной вершины) равен двум длинам ребра. Его центр подобен вершине пирамиды: на расстоянии одного ребра от всех остальных вершин. (В случае кубооктаэдра центр на самом деле является вершиной 6 квадратных и 8 треугольных пирамид). Эта радиальная равносторонняя симметрия является свойством лишь нескольких однородных многогранников , включая двумерный шестиугольник , трехмерный кубоктаэдр и четырехмерный 24-ячеечный и 8-ячеечный (тессеракт) . Радиально равносторонние многогранники - это те, которые с их длинными радиусами могут быть построены из равносторонних треугольников, которые пересекаются в центре многогранника, каждый из которых дает два радиуса и ребро. Следовательно, все внутренние элементы, которые встречаются в центре этих многогранников, имеют внутренние грани равностороннего треугольника, как при разрезе кубооктаэдра на 6 квадратных пирамид и 8 тетраэдров.
Каждый из этих радиально равносторонних многогранников также встречается как ячейки характерной мозаики, заполняющей пространство : мозаика из правильных шестиугольников, выпрямленные кубические соты (чередующиеся кубооктаэдры и октаэдры), соты из 24 ячеек и тессерактические соты соответственно. Каждая тесселяция имеет двойную тесселяцию ; центры ячеек в мозаике являются вершинами ячеек в двойной мозаике. Самая плотная из известных регулярных упаковок сфер в двух, трех и четырех измерениях использует центры ячеек одной из этих мозаик в качестве центров сфер.
Кубооктаэдр обладает октаэдрической симметрией . Его первая звездчатая форма представляет собой соединение куба и его двойного октаэдра , причем вершины кубооктаэдра расположены в середине ребер каждого из них .
Кубооктаэдр можно получить, взяв экваториальное сечение четырехмерного 24- или 16-ячеечного . Шестиугольник или квадрат можно получить, взяв экваториальное сечение кубооктаэдра.
Кубооктаэдр — это выпрямленный куб , а также выпрямленный октаэдр .
Это также согнутый тетраэдр . Благодаря этой конструкции ему дается символ Витхоффа : 3 3 | 2 .
Косое сгибание тетраэдра дает твердое тело с гранями, параллельными граням кубооктаэдра, а именно восемь треугольников двух размеров и шесть прямоугольников. Хотя его края неравны, это тело остается вершинно-однородным : тело имеет полную тетраэдрическую группу симметрии , и его вершины эквивалентны относительно этой группы.
Ребра кубооктаэдра образуют четыре правильных шестиугольника . Если кубооктаэдр разрезать в плоскости одного из этих шестиугольников, каждая половина представляет собой треугольный купол , одно из тел Джонсона ; Таким образом, сам кубооктаэдр также можно назвать треугольным гиробикуполом , самым простым из серии (кроме гиробифастигия или «дигонального гиробикупола»). Если половинки соединить вместе с поворотом так, что треугольники встречаются с треугольниками, а квадраты с квадратами, в результате получится еще одно тело Джонсона, треугольный ортобикупола , также называемый антикубооктаэдром.
Оба треугольных бикупола играют важную роль в упаковке сфер . Расстояние от центра тела до его вершин равно длине его ребра. Каждая центральная сфера может иметь до двенадцати соседей, и в гранецентрированной кубической решетке они занимают позиции вершин кубооктаэдра. В гексагональной плотноупакованной решетке они соответствуют углам треугольного ортобикупола. В обоих случаях центральная сфера занимает положение центра твердого тела.
Кубооктаэдры появляются в виде ячеек в трёх выпуклых однородных сотах и в девяти выпуклых однородных четырёхмерных многогранниках .
Объем кубооктаэдра равен5/6объема объемлющего куба и5/8окружающего октаэдра.
Поскольку он радиально равносторонний, центр кубооктаэдра находится на расстоянии одного ребра от 12 вершин.
Кубооктаэдр разделяет свои ребра и расположение вершин с двумя невыпуклыми однородными многогранниками : кубогемиоктаэдром (имеющим общие квадратные грани) и октагемиоктаэдром (имеющим общие треугольные грани), оба имеют четыре шестиугольника. Он также служит согнутым тетраэдром , будучи выпрямленным тетраэдром .
Кубооктаэдр 2-покрывает тетраполушестигексаэдр , [5] который соответственно имеет такую же абстрактную фигуру вершины ( два треугольника и два квадрата: 3.4.3.4) и половину вершин, ребер и граней. (Фактическая фигура вершины тетрагемишестиэдра равна 3,4. 3/2.4, са/2фактор из-за креста.)
Если интерпретировать кубооктаэдр как каркас из жестких плоских граней, соединенных по краям шарнирами, кубооктаэдр представляет собой жесткую структуру, как и все выпуклые многогранники, по теореме Коши . Однако, когда грани удаляются, оставляя только жесткие ребра, соединенные гибкими соединениями в вершинах, в результате получается не жесткая система (в отличие от многогранников, все грани которых представляют собой треугольники, к которым применима теорема Коши, несмотря на отсутствие граней).
Добавление центральной вершины, соединенной жесткими ребрами со всеми остальными вершинами, подразделяет кубооктаэдр на квадратные пирамиды и тетраэдры, соединяющиеся в центральной вершине. В отличие от самого кубооктаэдра, полученная система ребер и соединений является жесткой и является частью ферменной структуры бесконечного октета .
Кубооктаэдр — один из семейства однородных многогранников, родственных кубу и правильному октаэдру.
Кубооктаэдр также имеет тетраэдрическую симметрию с двумя цветами треугольников.
Кубооктаэдр существует в последовательности симметрий квазиправильных многогранников и мозаик с конфигурациями вершин (3. n ) 2 , идущих от мозаик сферы к евклидовой плоскости и к гиперболической плоскости. При симметрии орбифолдной записи * n 32 все эти мозаики не построены внутри фундаментальной области симметрии с образующими точками в прямоугольном углу области. [6] [7]
Этот многогранник топологически связан как часть последовательности сочлененных многогранников с фигурой вершины (3.4.n.4 ) и продолжается как мозаика гиперболической плоскости . Эти вершинно-транзитивные фигуры обладают (* n 32) отражательной симметрией .
Кубооктаэдр можно разложить на правильный октаэдр и восемь неправильных, но равных октаэдров в форме выпуклой оболочки куба с удаленными двумя противоположными вершинами. Это разложение кубооктаэдра соответствует параллельной проекции 24-х ячеек в три измерения. В рамках этой проекции кубооктаэдр образует оболочку проекции, которую можно разложить на шесть квадратных граней, правильный октаэдр и восемь неправильных октаэдров. Эти элементы соответствуют изображениям шести октаэдрических ячеек в 24-ячейке, ближайшей и самой дальней ячеек с точки зрения 4D и оставшихся восьми пар ячеек соответственно.
В математической области теории графов кубооктаэдрический граф — это график вершин и ребер кубооктаэдра, одного из архимедовых тел . Его также можно построить как линейный график куба. Он имеет 12 вершин и 24 ребра, локально линеен и является архимедовым графом четвертой степени . [8]
