Курносый куб

Архимедово тело с 38 гранями

В геометрии плосконосый куб , или плосконосый кубооктаэдр , является архимедовым телом с 38 гранями: 6 квадратами и 32 равносторонними треугольниками . Он имеет 60 ребер и 24 вершины . Кеплер впервые назвал его на латыни как cubus simus в 1619 году в своих Harmonices Mundi . ^[1] HSM Coxeter , отметив, что он может быть получен в равной степени из октаэдра, как и куб, назвал его плосконосым кубооктаэдром , с вертикальным расширенным символом Шлефли и представляющим собой чередование усеченного кубооктаэдра , который имеет символ Шлефли . ${\displaystyle s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ ${\displaystyle t\scriptstyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$

Строительство

Плосконосый куб можно получить, взяв шесть граней куба, вытянув их наружу так, чтобы они больше не соприкасались, а затем слегка повернув каждую из них вокруг центра (все по часовой стрелке или все против часовой стрелки) до тех пор, пока пространство между ними не будет заполнено равносторонними треугольниками . ^[2]

Процесс построения плосконосого куба ромбокубооктаэдром

Плосконосый куб также может быть построен из ромбокубооктаэдра . Он начинался с закручивания его квадратной грани (синего цвета), что позволяло его треугольникам (красного цвета) автоматически закручиваться в противоположных направлениях, образуя другие квадратные грани (белого цвета), которые были перекошены четырехугольниками, которые можно было заполнить двумя равносторонними треугольниками. ^[3]

Плосконосый куб также может быть получен из усеченного кубооктаэдра с помощью процесса чередования . 24 вершины усеченного кубооктаэдра образуют многогранник, топологически эквивалентный плосконосому кубу; остальные 24 образуют его зеркальное отражение. Полученный многогранник является вершинно-транзитивным , но не однородным.

Равномерное чередование усеченного кубооктаэдра

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин плосконосого куба — это все четные перестановки с четным числом знаков плюс, а также все нечетные перестановки с нечетным числом знаков плюс, где — постоянная трибоначчи . ^{[4] Взятие четных перестановок с} нечетным числом знаков плюс и нечетных перестановок с четным числом знаков плюс дает другой плосконосый куб, зеркальное изображение. Взяв их вместе, получаем соединение двух плосконосых кубов . $${\displaystyle \left(\pm 1,\pm {\frac {1}{t}},\pm t\right),}$$ ${\displaystyle t\approx 1.83929}$

Длина ребер этого плосконосого куба равна , что удовлетворяет уравнению и может быть записано как Чтобы получить плосконосый куб с единичной длиной ребра, разделите все приведенные выше координаты на значение α, указанное выше. ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2+4t-2t^{2}}}}$ $${\displaystyle \alpha ^{6}-4\alpha ^{4}+16\alpha ^{2}-32=0,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\sqrt {{\frac {4}{3}}-{\frac {16}{3\beta }}+{\frac {2\beta }{3}}}}\approx 1.609\,72\\\beta &={\sqrt[{3}]{26+6{\sqrt {33}}}}.\end{aligned}}}$$

Характеристики

3D модель курносого куба

Для плосконосого куба с длиной ребра площадь его поверхности и объем равны: ^[5] ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(6+8{\sqrt {3}}\right)a^{2}&\approx 19.856a^{2}\\V&={\frac {8t+6}{3{\sqrt {2(t^{2}-3)}}}}a^{3}&\approx 7.889a^{3}.\end{aligned}}}$$

Плосконосый куб является архимедовым телом , то есть это высокосимметричный и полуправильный многогранник, и две или более различных правильных многоугольных граней встречаются в вершине. ^[6] Он хиральный , то есть при зеркальном отражении возникают две различные формы . Поэтому плосконосый куб имеет вращательную октаэдрическую симметрию . ^{[7] [8]} Многоугольные грани, которые встречаются для каждой вершины, представляют собой четыре равносторонних треугольника и один квадрат, а вершинная фигура плосконосого куба — . Двойственный многогранник плосконосого куба — пентагональный икоситетраэдр , каталонское тело . ^[9] ${\displaystyle \mathrm {O} }$ ${\displaystyle 3^{4}\cdot 4}$

График

График плосконосого куба

Скелет плосконосого куба можно представить в виде графа с 24 вершинами и 60 ребрами, архимедова графа . ^[10]

Ссылки

1. Конвей, Джон Х.; Берджил, Хайди; Гудман-Штрасс, Хаим (2008). Симметрии вещей. CRC Press . стр. 287. ISBN 978-1-4398-6489-0.
2. Холм, А. (2010). Геометрия: наше культурное наследие. Springer . doi :10.1007/978-3-642-14441-7. ISBN 978-3-642-14441-7.
3. Конвей, Бургель и Гудман-Страсс (2008), стр. 287–288.
4. Коллинз, Джулиан (2019). Числа в минутах. Hachette. стр. 36–37. ISBN 978-1-78747-730-8.
5. Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
6. Diudea, MV (2018). Многослойные полиэдральные кластеры. Springer . стр. 39. doi :10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN 978-3-319-64123-2.
7. Koca, M.; Koca, NO (2013). «Группы Коксетера, кватернионы, симметрии многогранников и 4D-политопов». Математическая физика: Труды 13-й региональной конференции, Анталья, Турция, 27–31 октября 2010 г. World Scientific. стр. 49.
8. Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники. Cambridge University Press . стр. 386. ISBN 978-0-521-55432-9.
9. Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: путеводитель по дизайну. Dover Publications, Inc. стр. 85. ISBN 978-0-486-23729-9.
10. Рид, Р. К.; Уилсон, Р. Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269

• Джаятилаке, Удайя (март 2005 г.). «Вычисления на гранях и вершинах правильных многогранников». Mathematical Gazette . 89 (514): 76–81. doi :10.1017/S0025557200176818. S2CID  125675814.
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Раздел 3-9)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Плосконосый куб» («Архимедово тело») на сайте MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. "Курчавый кубический граф". MathWorld .
• Клитцинг, Ричард. «Трехмерные выпуклые однородные многогранники s3s4s - snic».
• Однородные многогранники
• Виртуальная реальность Многогранники Энциклопедия многогранников
• Редактируемая печатная развертка куба Snub Cube с интерактивным 3D-видом