Теорема о монотонной сходимости

Теоремы о сходимости ограниченных монотонных последовательностей

В математической области вещественного анализа теорема о монотонной сходимости — это любая из ряда связанных теорем, доказывающих хорошее поведение сходимости монотонных последовательностей , т. е. последовательностей, которые не возрастают или не убывающие . В своей простейшей форме она гласит, что неубывающая ограниченная сверху последовательность действительных чисел сходится к своей наименьшей верхней границе, своему супремуму . Аналогично, невозрастающая ограниченная снизу последовательность сходится к своей наибольшей нижней границе, своему инфимуму . В частности, бесконечные суммы неотрицательных чисел сходятся к супремуму частичных сумм тогда и только тогда, когда частичные суммы ограничены. ${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq ...\leq K}$

Для сумм неотрицательных возрастающих последовательностей это означает, что взятие суммы и супремума можно поменять местами. ${\displaystyle 0\leq a_{i,1}\leq a_{i,2}\leq \cdots }$

В более продвинутой математике теорема о монотонной сходимости обычно относится к фундаментальному результату в теории меры, принадлежащему Лебегу и Беппо Леви , который гласит, что для последовательностей неотрицательных измеримых функций , возрастающих по точкам, взятие интеграла и супремума можно поменять местами, при этом результат будет конечным, если хотя бы один из них конечен. ${\displaystyle 0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \cdots }$

Сходимость монотонной последовательности действительных чисел

Любая ограниченная сверху монотонно неубывающая последовательность действительных чисел сходится по действительным числам, поскольку супремум существует и является действительным числом. Предложение не применимо к рациональным числам, поскольку супремум последовательности рациональных чисел может быть иррациональным.

Предложение

(A) Для неубывающей и ограниченной сверху последовательности действительных чисел

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq ...\leq K<\infty ,}$

предел существует и равен своему супремуму : ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n}a_{n}\leq K.}$

(B) Для невозрастающей и ограниченной снизу последовательности действительных чисел

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots \geq L>-\infty ,}$

предел существует и равен своему инфимуму : ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\inf _{n}a_{n}\geq L}$.

Доказательство

Пусть будет множеством значений . По предположению, непусто и ограничено сверху . По свойству наименьшей верхней границы действительных чисел существует и . Теперь для каждого существует такое, что , так как в противном случае является строго меньшей верхней границей , что противоречит определению супремума . Тогда, поскольку не убывает, и является верхней границей, для каждого имеем ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\textstyle c=\sup _{n}\{a_{n}\}}$ ${\displaystyle c\leq K}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle c\geq a_{N}>c-\varepsilon }$ ${\displaystyle c-\varepsilon }$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle |c-a_{n}|=c-a_{n}\leq c-a_{N}=|c-a_{N}|<\varepsilon .}$

Отсюда, по определению . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=c=\sup _{n}a_{n}}$

Доказательство части (Б) аналогично или следует из (А) путем рассмотрения . ${\displaystyle \{-a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

Теорема

Если — монотонная последовательность действительных чисел , т.е. если для каждого или для каждого , то эта последовательность имеет конечный предел тогда и только тогда, когда последовательность ограничена . ^[1] ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

Доказательство

• Направление «Если»: Доказательство следует непосредственно из предложения.
• Направление «Только если»: По (ε, δ)-определению предела каждая последовательность с конечным пределом обязательно ограничена. ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle L}$

Сходимость монотонного ряда

Существует вариант предложения выше, в котором мы допускаем неограниченные последовательности в расширенных действительных числах, действительных числах с и добавленными. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}$

В расширенных действительных числах каждый набор имеет супремум (соотв. инфимум ), который, конечно, может быть (соотв. ), если набор неограничен. Важное применение расширенных действительных чисел заключается в том, что любой набор неотрицательных чисел имеет хорошо определенный порядок суммирования, независимый от суммы ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle a_{i}\geq 0,i\in I}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup _{J\subset I,\ |J|<\infty }\sum _{j\in J}a_{j}\in {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}$

где верхние расширенные неотрицательные действительные числа. Для ряда неотрицательных чисел ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}=[0,\infty ]\subset {\bar {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}a_{i}=\sup _{k}\sum _{i=1}^{k}a_{i}=\sup _{J\subset \mathbb {N} ,|J|<\infty }\sum _{j\in J}a_{j}=\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i},}$

так что эта сумма совпадает с суммой ряда, если оба определены. В частности, сумма ряда неотрицательных чисел не зависит от порядка суммирования.

Монотонная сходимость неотрицательных сумм

Пусть — последовательность неотрицательных действительных чисел, индексированных натуральными числами и . Предположим, что для всех . Тогда ^{[2] : 168} ${\displaystyle a_{i,k}\geq 0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{i,k}\leq a_{i,k+1}}$ ${\displaystyle i,k}$

${\displaystyle \sup _{k}\sum _{i}a_{i,k}=\sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}\in {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}.}$

Доказательство

Так как у нас так . ${\displaystyle a_{i,k}\leq \sup _{k}a_{i,k}}$ ${\displaystyle \sum _{i}a_{i,k}\leq \sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}}$ ${\displaystyle \sup _{k}\sum _{i}a_{i,k}\leq \sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}}$

И наоборот, мы можем поменять местами sup и sum для конечных сумм, вернувшись к предельному определению, и, следовательно , . ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\sup _{k}a_{i,k}=\sup _{k}\sum _{i=1}^{N}a_{i,k}\leq \sup _{k}\sum _{i=1}^{\infty }a_{i,k}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\sup _{k}a_{i,k}\leq \sup _{k}\sum _{i=1}^{\infty }a_{i,k}}$

Примеры

Матрицы

Теорема утверждает, что если у вас есть бесконечная матрица неотрицательных действительных чисел, такая, что строки слабо возрастают и каждая из них ограничена, где границы суммируемы , то для каждого столбца неубывающие суммы столбцов ограничены, следовательно, сходятся, а предел сумм столбцов равен сумме «предельного столбца», которая поэлементно является супремумом по строке. ${\displaystyle a_{i,k}\geq 0}$ ${\displaystyle a_{i,k}\leq K_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i}K_{i}<\infty }$ ${\displaystyle \sum _{i}a_{i,k}\leq \sum K_{i}}$ ${\displaystyle \sup _{k}a_{i,k}}$

е

Рассмотрим расширение

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}{\frac {1}{k^{i}}}}$

Теперь установлено

${\displaystyle a_{i,k}={\binom {k}{i}}{\frac {1}{k^{i}}}={\frac {1}{i!}}\cdot {\frac {k}{k}}\cdot {\frac {k-1}{k}}\cdot \cdots {\frac {k-i+1}{k}}.}$

для и для , затем с и ${\displaystyle i\leq k}$ ${\displaystyle a_{i,k}=0}$ ${\displaystyle i>k}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i,k}\leq a_{i,k+1}}$ ${\displaystyle \sup _{k}a_{i,k}={\frac {1}{i!}}<\infty }$

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i,k}}$.

Правая часть представляет собой неубывающую последовательность по , поэтому ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}=\sup _{k}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i,k}=\sum _{i=0}^{\infty }\sup _{k}a_{i,k}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i!}}=e}$.

Лемма Беппо Леви

Следующий результат является обобщением теоремы о монотонной сходимости неотрицательных сумм, приведенной выше, на случай теории меры. Это краеугольный камень теории меры и интегрирования со многими приложениями, и имеет лемму Фату и теорему о доминируемой сходимости как прямое следствие. Это принадлежит Беппо Леви , который доказал небольшое обобщение в 1906 году более раннего результата Анри Лебега . ^{[3] [4]}

Пусть обозначает -алгебру борелевских множеств на верхних расширенных неотрицательных действительных числах . По определению содержит множество и все борелевские подмножества ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}}$ ${\displaystyle \{+\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}.}$

Теорема (теорема о монотонной сходимости для неотрицательных измеримых функций)

Пусть будет пространством меры , и измеримым множеством. Пусть будет поточечно неубывающей последовательностью - измеримых неотрицательных функций, т.е. каждая функция является -измеримой и для любого и любого , ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle X\in \Sigma }$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$ ${\displaystyle f_{k}:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$ ${\displaystyle {k\geq 1}}$ ${\displaystyle {x\in X}}$

${\displaystyle 0\leq \ldots \leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\leq \ldots \leq \infty .}$

Тогда поточечный супремум

${\displaystyle \sup _{k}f_{k}:x\mapsto \sup _{k}f_{k}(x)}$

является измеримой функцией и ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$

${\displaystyle \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}\sup _{k}f_{k}\,d\mu .}$

Замечание 1. Интегралы и супремумы могут быть конечными или бесконечными, но левая часть конечна тогда и только тогда, когда конечна правая часть.

Замечание 2. В условиях теоремы

1. ${\displaystyle \textstyle \lim _{k\to \infty }f_{k}(x)=\sup _{k}f_{k}(x)=\limsup _{k\to \infty }f_{k}(x)=\liminf _{k\to \infty }f_{k}(x)}$
2. ${\displaystyle \textstyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\liminf _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\limsup _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Заметим, что вторая цепочка равенств следует из монотонности интеграла (лемма 2 ниже). Таким образом, мы можем также записать заключение теоремы в виде

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}(x)\,d\mu (x)=\int _{X}\lim _{k\to \infty }f_{k}(x)\,d\mu (x)}$

с молчаливым пониманием того, что пределы могут быть бесконечными.

Замечание 3. Теорема остается верной, если ее предположения выполняются -почти всюду. Другими словами, достаточно, чтобы существовало нулевое множество , такое, что последовательность не убывает для каждого Чтобы увидеть, почему это верно, начнем с наблюдения, что разрешение последовательности точечно не убывать почти всюду приводит к тому, что ее точечный предел становится неопределенным на некотором нулевом множестве . На этом нулевом множестве может быть тогда определено произвольно, например, как ноль, или любым другим способом, который сохраняет измеримость. Чтобы увидеть, почему это не повлияет на результат теоремы, отметим, что поскольку у нас есть, для каждого ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ ${\displaystyle {x\in X\setminus N}.}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mu (N)=0},}$ ${\displaystyle k,}$

${\displaystyle \int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X\setminus N}f_{k}\,d\mu }$и ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X\setminus N}f\,d\mu ,}$

при условии, что является -измеримым. ^{[5] : раздел 21.38} (Эти равенства непосредственно следуют из определения интеграла Лебега для неотрицательной функции). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$

Замечание 4. Приведенное ниже доказательство не использует никаких свойств интеграла Лебега, кроме установленных здесь. Таким образом, теорема может быть использована для доказательства других основных свойств, таких как линейность, относящихся к интегрированию Лебега.

Доказательство

Это доказательство не опирается на лемму Фату ; однако мы объясняем, как можно использовать эту лемму. Те, кто не заинтересован в этой независимости доказательства, могут пропустить промежуточные результаты ниже.

Промежуточные результаты

Нам нужны три основные леммы. В доказательстве ниже мы применяем монотонное свойство интеграла Лебега только к неотрицательным функциям. А именно (см. замечание 4),

Монотонность интеграла Лебега

Лемма 1. Пусть функции -измеримы . ${\displaystyle f,g:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$

• Если везде на то ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .}$

• Если и тогда ${\displaystyle X_{1},X_{2}\in \Sigma }$ ${\displaystyle X_{1}\subseteq X_{2},}$

${\displaystyle \int _{X_{1}}f\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .}$

Доказательство. Обозначим через множество простых -измеримых функций таких, что всюду на ${\displaystyle \operatorname {SF} (h)}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq h}$ ${\displaystyle X.}$

1. Так как мы имеем , следовательно, ${\displaystyle f\leq g,}$ ${\displaystyle \operatorname {SF} (f)\subseteq \operatorname {SF} (g),}$

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}g\,d\mu .}$

2. Функции , где — индикаторная функция , легко видеть, что они измеримы и . Теперь применим 1 . ${\displaystyle f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}},f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{2}},}$ ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{X_{i}}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{2}}}$

Интеграл Лебега как мера

Лемма 2. Пусть — измеримое пространство. Рассмотрим простую — измеримую неотрицательную функцию . Для измеримого подмножества определим ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle s:\Omega \to {\mathbb {R} _{\geq 0}}}$ ${\displaystyle S\in \Sigma }$

${\displaystyle \nu _{s}(S)=\int _{S}s\,d\mu .}$

Затем следует мера . ${\displaystyle \nu _{s}}$ ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$

доказательство (лемма 2)

Напишите с и измеримыми множествами . Тогда ${\displaystyle s=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{k}},}$ ${\displaystyle c_{k}\in {\mathbb {R} }_{\geq 0}}$ ${\displaystyle A_{k}\in \Sigma }$

${\displaystyle \nu _{s}(S)=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\mu (S\cap A_{k}).}$

Поскольку конечные положительные линейные комбинации счетно-аддитивных функций множеств являются счетно-аддитивными, для доказательства счетной аддитивности достаточно доказать, что функция множеств, определенная с помощью , является счетно-аддитивной для всех . Но это следует непосредственно из счетной аддитивности . ${\displaystyle \nu _{s}}$ ${\displaystyle \nu _{A}(S)=\mu (A\cap S)}$ ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu }$

Непрерывность снизу

Лемма 3. Пусть — мера, причем , где ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S=\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}}$

${\displaystyle S_{1}\subseteq \cdots \subseteq S_{i}\subseteq S_{i+1}\subseteq \cdots \subseteq S}$

- неубывающая цепь, все множества которой -измеримы. Тогда ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (S)=\sup _{i}\mu (S_{i}).}$

доказательство (лемма 3)

Зададим , то разложим в счетное дизъюнктное объединение измеримых множеств и аналогично в конечное дизъюнктное объединение. Следовательно , ​​и поэтому . ${\displaystyle S_{0}=\emptyset }$ ${\displaystyle S=\coprod _{1\leq i}S_{i}\setminus S_{i-1}}$ ${\displaystyle S_{k}=\coprod _{1\leq i\leq k}S_{i}\setminus S_{i-1}}$ ${\displaystyle \mu (S_{k})=\sum _{i=1}^{k}\mu (S_{i}\setminus S_{i-1})}$ ${\displaystyle \mu (S)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (S_{i}\setminus S_{i-1})}$ ${\displaystyle \mu (S)=\sup _{k}\mu (S_{k})}$

Доказательство теоремы

Набор . Обозначим через множество простых -измеримых функций таких, что на . ${\displaystyle f=\sup _{k}f_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {SF} (f)}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq f}$ ${\displaystyle X}$

Шаг 1. Функция измерима , а интеграл хорошо определен (хотя, возможно, бесконечен) ^{[5] : раздел 21.3} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{X}f\,d\mu }$

Из получаем . Следовательно, нам нужно показать, что является -измеримым. Чтобы увидеть это, достаточно доказать, что является -измеримым для всех , поскольку интервалы порождают алгебру сигма Бореля на расширенных неотрицательных действительных числах путем дополнения и взятия счетных пересечений, дополнений и счетных объединений. ${\displaystyle 0\leq f_{k}(x)\leq \infty }$ ${\displaystyle 0\leq f(x)\leq \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$ ${\displaystyle f^{-1}([0,t])}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle 0\leq t\leq \infty }$ ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$

Теперь, поскольку является неубывающей последовательностью, тогда и только тогда, когда для всех . Поскольку мы уже знаем, что и заключаем, что ${\displaystyle f_{k}(x)}$ ${\displaystyle f(x)=\sup _{k}f_{k}(x)\leq t}$ ${\displaystyle f_{k}(x)\leq t}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle f_{k}\geq 0}$

${\displaystyle f^{-1}([0,t])=\bigcap _{k}f_{k}^{-1}([0,t]).}$

Следовательно, является измеримым множеством, являющимся счетным пересечением измеримых множеств . ${\displaystyle f^{-1}([0,t])}$ ${\displaystyle f_{k}^{-1}([0,t])}$

Поскольку интеграл хорошо определен (но, возможно, бесконечен), как ${\displaystyle f\geq 0}$

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in SF(f)}\int _{X}s\,d\mu }$.

Шаг 2. Имеем неравенство

${\displaystyle \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f\,d\mu }$

Это эквивалентно тому, что для всех что непосредственно следует из и «монотонности интеграла» (лемма 1). ${\displaystyle \int _{X}f_{k}(x)\,d\mu \leq \int _{X}f(x)\,d\mu }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f_{k}(x)\leq f(x)}$

шаг 3 Имеем обратное неравенство

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$.

По определению интеграла как супремума шаг 3 эквивалентен

${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$

для каждого . Возникает соблазн доказать для достаточно большого , но это не работает, например, если само по себе простое и . Однако мы можем получить себе "эпсилон пространства" для маневра и избежать этой проблемы. Шаг 3 также эквивалентен ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$ ${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \int _{X}f_{k}\,d\mu }$ ${\displaystyle k>K_{s}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{k}<f}$

${\displaystyle (1-\varepsilon )\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}(1-\varepsilon )s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$

для каждой простой функции и везде , где для равенства мы использовали, что левая часть неравенства является конечной суммой. Это мы докажем. ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1}$

Дано и , определить ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1}$

${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }=\{x\in X\mid (1-\varepsilon )s(x)\leq f_{k}(x)\}\subseteq X.}$

Мы утверждаем, что множества обладают следующими свойствами: ${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }}$

1. ${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }}$-измеримо . ${\displaystyle \Sigma }$
2. ${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }\subseteq B_{k+1}^{s,\varepsilon }}$
3. ${\displaystyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,\varepsilon }}$

Принимая это утверждение, по определению и «монотонности интеграла Лебега» (лемма 1) имеем ${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }}$

${\displaystyle \int _{B_{k}^{s,\varepsilon }}(1-\varepsilon )s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,\varepsilon }}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Отсюда по «интегралу Лебега простой функции как меры» (лемма 2) и «непрерывности снизу» (лемма 3) получаем:

${\displaystyle \sup _{k}\int _{B_{k}^{s,\varepsilon }}(1-\varepsilon )s\,d\mu =\int _{X}(1-\varepsilon )s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

что мы и намеревались доказать. Таким образом, осталось доказать утверждение.

Ad 1: Запишите , для неотрицательных констант и измеримых множеств , которые мы можем предположить попарно непересекающимися и с объединением . Тогда для мы имеем тогда и только тогда, когда так ${\displaystyle s=\sum _{1\leq i\leq m}c_{i}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}}}$ ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle A_{i}\in \Sigma }$ ${\displaystyle \textstyle X=\coprod _{i=1}^{m}A_{i}}$ ${\displaystyle x\in A_{i}}$ ${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)\leq f_{k}(x)}$ ${\displaystyle f_{k}(x)\in [(1-\varepsilon )c_{i},\,\infty ],}$

${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }=\coprod _{i=1}^{m}{\Bigl (}f_{k}^{-1}{\Bigl (}[(1-\varepsilon )c_{i},\infty ]{\Bigr )}\cap A_{i}{\Bigr )}}$

который измерим, поскольку измеримы. ${\displaystyle f_{k}}$

Объявление 2: Ибо у нас так ${\displaystyle x\in B_{k}^{s,\varepsilon }}$ ${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)\leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)}$ ${\displaystyle x\in B_{k+1}^{s,\varepsilon }.}$

Объявление 3: Исправить . Если то , следовательно . В противном случае и так для достаточно большого , следовательно . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s(x)=0}$ ${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)=0\leq f_{1}(x)}$ ${\displaystyle x\in B_{1}^{s,\varepsilon }}$ ${\displaystyle s(x)>0}$ ${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)<s(x)\leq f(x)=\sup _{k}f(x)}$ ${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)<f_{N_{x}}(x)}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x\in B_{N_{x}}^{s,\varepsilon }}$

Доказательство теоремы о монотонной сходимости завершено.

Ослабление предположения о монотонности

При аналогичных гипотезах теоремы Беппо Леви можно ослабить гипотезу монотонности. ^[6] Как и прежде, пусть будет мерным пространством и . Опять же, будет последовательностью - измеримых неотрицательных функций . Однако мы не предполагаем, что они являются поточечно неубывающими. Вместо этого мы предполагаем, что сходится для почти каждого , мы определяем как поточечный предел , и мы дополнительно предполагаем, что поточечно почти всюду для всех . Тогда является -измеримым, и существует, и ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle X\in \Sigma }$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle (\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle f_{k}:X\to [0,+\infty ]}$ ${\textstyle \{f_{k}(x)\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f_{k}\leq f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\textstyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu }$ $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu .}$$

Доказательство основано на лемме Фату

Доказательство также может быть основано на лемме Фату вместо прямого доказательства, как выше, поскольку лемма Фату может быть доказана независимо от теоремы о монотонной сходимости. Однако теорема о монотонной сходимости в некотором смысле более примитивна, чем лемма Фату. Она легко следует из теоремы о монотонной сходимости, и доказательство леммы Фату похоже и, возможно, немного менее естественно, чем доказательство выше.

Как и прежде, измеримость следует из того факта, что почти всюду. Тогда перестановка пределов и интегралов является простым следствием леммы Фату. По лемме Фату, и тогда, поскольку (монотонность), Следовательно ${\textstyle f=\sup _{k}f_{k}=\lim _{k\to \infty }f_{k}=\liminf _{k\to \infty }f_{k}}$ $${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}\liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu }$$ ${\displaystyle \int f_{k}\,d\mu \leq \int f_{k+1}\,d\mu \leq \int fd\mu }$ $${\displaystyle \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \limsup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f\,d\mu .}$$ $${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\liminf _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\limsup _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$$

Смотрите также

• Бесконечный ряд
• Теорема о доминируемой сходимости

Примечания

1. Обобщение этой теоремы было дано Бибби, Джоном (1974). «Аксиоматизации среднего и дальнейшее обобщение монотонных последовательностей». Glasgow Mathematical Journal . 15 (1): 63–65. doi : 10.1017/S0017089500002135 .
2. См., например, Yeh, J. (2006). Real Analysis: Theory of Measure and Integration . Hackensack, NJ: World Scientific. ISBN 981-256-653-8.
3. Рудин, Уолтер (1974). Действительный и комплексный анализ (ред. TMH). Mc Craw-Hill. стр. 22.
4. Шаппахер, Норберт ; Шуф, Рене (1996), «Беппо Леви и арифметика эллиптических кривых» (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 18 (1): 60, doi :10.1007/bf03024818, MR  1381581, S2CID  125072148, Zbl  0849.01036
5. См., например, Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего: Academic Press. ISBN 0-12-622760-8.
6. coudy (https://mathoverflow.net/users/6129/coudy), Знаете ли вы важные теоремы, которые остаются неизвестными?, URL (версия: 2018-06-05): https://mathoverflow.net/q/296540