Лемма Бхаскары

Математическая лемма

Лемма Бхаскары — это тождество, используемое в качестве леммы в методе чакравала . Она гласит, что:

${\displaystyle \,Nx^{2}+k=y^{2}\implies \,N\left({\frac {mx+y}{k}}\right)^{2}+{\frac {m^{2}-N}{k}}=\left({\frac {my+Nx}{k}}\right)^{2}}$

для целых чисел и ненулевых целых чисел . ${\displaystyle m,\,x,\,y,\,N,}$ ${\displaystyle k}$

Доказательство

Доказательство следует из простых алгебраических преобразований следующим образом: умножаем обе части уравнения на , прибавляем , разлагаем на множители и делим на . ${\displaystyle m^{2}-N}$ ${\displaystyle N^{2}x^{2}+2Nmxy+Ny^{2}}$ ${\displaystyle k^{2}}$

${\displaystyle \,Nx^{2}+k=y^{2}\implies Nm^{2}x^{2}-N^{2}x^{2}+k(m^{2}-N)=m^{2}y^{2}-Ny^{2}}$

${\displaystyle \implies Nm^{2}x^{2}+2Nmxy+Ny^{2}+k(m^{2}-N)=m^{2}y^{2}+2Nmxy+N^{2}x^{2}}$

${\displaystyle \implies N(mx+y)^{2}+k(m^{2}-N)=(my+Nx)^{2}}$

${\displaystyle \implies \,N\left({\frac {mx+y}{k}}\right)^{2}+{\frac {m^{2}-N}{k}}=\left({\frac {my+Nx}{k}}\right)^{2}.}$

Пока ни один из них не равен нулю, следствие действует в обоих направлениях. (Лемма верна как для действительных или комплексных чисел, так и для целых чисел.) ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m^{2}-N}$

Ссылки

• К.О. Селениус, «Обоснование процесса чакравалы Джаядевы и Бхаскары II», Historia Mathematica , 2 (1975), 167–184.
• CO Selenius, Kettenbruch theoretische Erklarung der zyklischen Methode zur Losung der Bhaskara-Pell-Gleichung , Acta Acad. Або. Математика. Физ. 23 (10) (1963).
• Джордж Гевергезе Джозеф, «Хребет павлина: неевропейские корни математики» (1975).

Внешние ссылки

• Введение в чакравалу