Лемма о неподвижной точке для нормальных функций

Математический результат по ординалам

Лемма о неподвижной точке для нормальных функций — это основной результат аксиоматической теории множеств, утверждающий, что любая нормальная функция имеет произвольно большие неподвижные точки (Levy 1979: p. 117). Впервые она была доказана Освальдом Вебленом в 1908 году.

Предыстория и официальное заявление

Обычная функция — это классовая функция из класса Ord порядковых чисел в себя такую, что: ${\displaystyle f}$

• ${\displaystyle f}$строго возрастает : всякий раз, когда . ${\displaystyle f(\alpha )<f(\beta )}$ ${\displaystyle \alpha <\beta }$
• ${\displaystyle f}$является непрерывным : для каждого предельного ординала (т.е. не является ни нулем, ни последующим элементом), . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f(\lambda )=\sup\{f(\alpha ):\alpha <\lambda \}}$

Можно показать, что если является нормальным, то коммутирует с супремумом ; для любого непустого множества ординалов, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle f(\sup A)=\sup f(A)=\sup\{f(\alpha ):\alpha \in A\}}$.

Действительно, если — последовательный ординал, то — элемент и равенство следует из возрастающего свойства . Если — предельный ординал, то равенство следует из непрерывного свойства . ${\displaystyle \sup A}$ ${\displaystyle \sup A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sup A}$ ${\displaystyle f}$

Неподвижная точка нормальной функции — это ординал такой, что . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle f(\beta )=\beta }$

Лемма о неподвижной точке утверждает, что класс неподвижных точек любой нормальной функции непуст и фактически неограничен: для любого ординала существует ординал такой, что и . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ ${\displaystyle f(\beta )=\beta }$

Непрерывность нормальной функции подразумевает, что класс неподвижных точек замкнут (супремум любого подмножества класса неподвижных точек снова является неподвижной точкой). Таким образом, лемма о неподвижной точке эквивалентна утверждению, что неподвижные точки нормальной функции образуют замкнутый и неограниченный класс.

Доказательство

Первый шаг доказательства — проверить, что для всех ординалов и что коммутирует с супремами. Учитывая эти результаты, индуктивно определим возрастающую последовательность, установив , и для . Пусть , поэтому . Более того, поскольку коммутирует с супремами, ${\displaystyle f(\gamma )\geq \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \langle \alpha _{n}\rangle _{n<\omega }}$ ${\displaystyle \alpha _{0}=\alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{n+1}=f(\alpha _{n})}$ ${\displaystyle n\in \omega }$ ${\displaystyle \beta =\sup _{n<\omega }\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(\beta )=f(\sup _{n<\omega }\alpha _{n})}$

${\displaystyle \qquad =\sup _{n<\omega }f(\alpha _{n})}$

${\displaystyle \qquad =\sup _{n<\omega }\alpha _{n+1}}$

${\displaystyle \qquad =\beta }$

Последнее равенство следует из того, что последовательность возрастает. ${\displaystyle \langle \alpha _{n}\rangle _{n}}$ ${\displaystyle \square }$

Кстати, можно показать, что найденная таким образом точка является наименьшей фиксированной точкой, большей или равной . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

Пример заявки

Функция f  : Ord → Ord, f ( α ) = ω _α является нормальной (см. начальный ординал ). Таким образом, существует ординал θ такой, что θ = ω _θ . Фактически, лемма показывает, что существует замкнутый, неограниченный класс таких θ .

Ссылки

• Леви, А. (1979). Основная теория множеств . Springer. ISBN 978-0-387-08417-6. Переиздано, Довер, 2002.
• Веблен, О. (1908). «Непрерывно возрастающие функции конечных и трансфинитных ординалов». Trans. Amer. Math. Soc . 9 (3): 280–292. doi : 10.2307/1988605 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1988605. Доступно через JSTOR.