Лемма Картана (потенциальная теория)

Математическая лемма

В теории потенциала , разделе математики , лемма Картана , названная в честь Анри Картана , является границей меры и сложности множества, на котором логарифмический ньютонов потенциал мал.

Утверждение леммы

Следующее утверждение можно найти в книге Левина. ^[1]

Пусть µ — конечная положительная борелевская мера на комплексной плоскости C такая, что µ ( C ) =  n . Пусть u ( z ) будет логарифмическим потенциалом  µ :

${\displaystyle u(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {C} }\log |z-\zeta |\,d\mu (\zeta )}$

Для любого H  ∈ (0, 1) существуют диски радиуса r _i такие, что

${\displaystyle \sum _{i}r_{i}<5H}$

и

${\displaystyle u(z)\geq {\frac {n}{2\pi }}\log {\frac {H}{e}}}$

для всех z вне объединения этих дисков.

Примечания

1. Б.Я. Левин, Лекции о целых функциях