Лемма Шепарда

Лемма Шепарда является важным результатом в микроэкономике , имеющим приложения в теории фирмы и в потребительском выборе . ^[1] Лемма утверждает , что если кривые безразличия функции расходов или издержек являются выпуклыми , то точка минимизации издержек данного товара ( ) с ценой является уникальной. Идея состоит в том, что потребитель купит уникальное идеальное количество каждого товара, чтобы минимизировать цену для получения определенного уровня полезности, учитывая цену товара на рынке . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Лемма названа в честь Рональда Шепарда , который дал доказательство с использованием формулы расстояния в своей книге «Теория затрат и производственных функций» (Princeton University Press, 1953). Эквивалентный результат в контексте теории потребления был впервые получен Лайонелом У. Маккензи в 1957 году. ^[2] Он утверждает, что частные производные функции расходов по отношению к ценам товаров равны функциям спроса Хикса на соответствующие товары. Аналогичные результаты уже были получены Джоном Хиксом (1939) и Полом Самуэльсоном (1947).

Определение

В теории потребления лемма Шепарда утверждает, что спрос на конкретный товар при заданном уровне полезности и заданных ценах равен производной функции расходов по цене соответствующего товара: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)={\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{i}}}}$

где — спрос на товар по Хиксу , — функция расходов , и обе функции выражены в терминах цен ( вектор ) и полезности . ${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle e(\mathbf {p} ,u)}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle u}$

Аналогично, в теории фирмы лемма дает похожую формулировку для условного спроса на фактор для каждого входного фактора: производная функции затрат по цене фактора: ${\displaystyle c(\mathbf {w} ,y)}$

${\displaystyle x_{i}(\mathbf {w} ,y)={\frac {\partial c(\mathbf {w} ,y)}{\partial w_{i}}}}$

где — условный спрос на факторы производства , — функция затрат, и обе функции выражены в терминах цен факторов производства ( вектор ) и выпуска . ${\displaystyle x_{i}(\mathbf {w} ,y)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle c(\mathbf {w} ,y)}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle y}$

Хотя первоначальное доказательство Шепарда использовало формулу расстояния, современные доказательства леммы Шепарда используют теорему об огибающей . ^[3]

Доказательство для дифференцируемого случая

Доказательство приведено для случая двух благ для простоты записи. Функция расходов — это функция ценности задачи ограниченной оптимизации, характеризуемая следующим лагранжианом: ${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\lambda (u-U(x_{1},x_{2}))}$

По теореме об огибающей производные функции ценности по параметру равны: ${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)}$ ${\displaystyle p_{1}}$

${\displaystyle {\frac {\partial e}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial p_{1}}}=x_{1}^{h}}$

где - минимизатор (т.е. функция спроса Хикса на товар 1). Это завершает доказательство. ${\displaystyle x_{1}^{h}}$

Приложение

Лемма Шепарда дает связь между функциями расходов (или стоимости) и хиксовским спросом. Лемму можно переформулировать как тождество Роя , которое дает связь между косвенной функцией полезности и соответствующей маршалловской функцией спроса .

Смотрите также

• Лемма Хотеллинга
• Выпуклые предпочтения

Ссылки

1. Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (третье изд.). Нью-Йорк: Norton. С. 74–75. ISBN 0-393-95735-7.
2. Маккензи, Лайонел (1957). «Теория спроса без индекса полезности». Обзор экономических исследований . 24 (3): 185–189. JSTOR  2296067.
3. Силберберг, Юджин (1978). Структура экономики. McGraw-Hill. С. 199-200. ISBN 0-07-057453-7.

Дальнейшее чтение

• Бивис, Брайан; Доббс, Ян М. (1990). «Введение в теорию двойственности». Теория оптимизации и устойчивости для экономического анализа . Нью-Йорк: Cambridge University Press. С. 117–133. ISBN 0-521-33605-8.