Символ бесконечности

Математический символ, представляющий бесконечность.

Символ бесконечности ( ∞ ) — математический символ , представляющий концепцию бесконечности . Этот символ также называется лемнискатой, ^[1] по аналогии с лемнискатными кривыми, изучаемыми в алгебраической геометрии , ^[2] или «ленивой восьмеркой», в терминологии клеймения скота . ^[3]

Этот символ был впервые использован математически Джоном Уоллисом в 17 веке, хотя у него более долгая история других применений. В математике он часто относится к бесконечным процессам ( потенциальная бесконечность ), а не к бесконечным значениям ( реальная бесконечность ). Он имеет и другие связанные технические значения, такие как использование долговечной бумаги в переплетном деле , и использовался из-за его символического значения бесконечности в современной мистике и литературе. Это распространенный элемент графического дизайна , например, в корпоративных логотипах, а также в более старых дизайнах, таких как флаг метисов .

Как сам символ бесконечности, так и несколько его вариаций доступны в различных кодировках символов .

История

Лемниската была распространенным декоративным мотивом с древних времен; например, ее часто можно увидеть на гребнях эпохи викингов . ^[4]

Английскому математику Джону Уоллису приписывают введение символа бесконечности с его математическим значением в 1655 году в его De sectionibus conicis . ^{[5] [6] [7]} Уоллис не объяснил свой выбор этого символа. Было высказано предположение, что это вариант формы римской цифры , но какая именно римская цифра неясна. Одна теория предполагает, что символ бесконечности был основан на цифре для 100 миллионов, которая напоминала тот же символ, заключенный в прямоугольную рамку. ^[8] Другая предполагает, что вместо этого он был основан на обозначении CIↃ, используемом для представления 1000. ^[9] Вместо римской цифры, он может быть альтернативно получен из варианта ω , строчной формы омеги , последней буквы в греческом алфавите . ^[9]

Возможно, в некоторых случаях из-за типографских ограничений другие символы, напоминающие знак бесконечности, использовались для того же значения. ^[7] Одна работа Леонарда Эйлера была набрана открытой формой букв, больше напоминающей отраженную и боковую букву S, чем лемнискату (что-то вродеС), ^[10] и даже «O–O» использовалось в качестве замены самого символа бесконечности. ^[7]

Использование

Математика

В математике символ бесконечности обычно используется для обозначения потенциальной бесконечности . ^[11] Например, в математических выражениях с суммированием и пределами , таких как

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2^{x}-1}{2^{x-1}}}=2,}$$

Знак бесконечности обычно интерпретируется как означающий, что переменная произвольно увеличивается в направлении бесконечности, а не фактически принимает бесконечное значение, хотя возможны и другие интерпретации. ^[12]

При количественном определении актуальной бесконечности , бесконечных сущностей, рассматриваемых как объекты per se, обычно используются другие обозначения. Например, ( алеф-ноль ) обозначает кардинальное число , представляющее размер множества натуральных чисел , а ( омега ) обозначает наименьшее порядковое число , которое больше всех натуральных чисел. ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \omega }$

Символ бесконечности может также использоваться для представления точки на бесконечности , особенно когда рассматривается только одна такая точка. Это использование включает, в частности, бесконечную точку проективной прямой , ^[13] и точку, добавленную к топологическому пространству для формирования его одноточечной компактификации . ^[14]

Другие технические применения

Вид сбоку на объектив камеры, на индикаторе фокусного расстояния изображен символ бесконечности

В областях, отличных от математики, символ бесконечности может иметь и другие связанные значения. Например, он использовался в переплетном деле для обозначения того, что книга напечатана на бескислотной бумаге и, следовательно, будет долговечной. ^[15] На камерах и их объективах символ бесконечности указывает на то, что фокусное расстояние объектива установлено на бесконечное расстояние , и является «вероятно, одним из старейших символов, используемых на камерах». ^[16]

Символизм и литературное использование

Символ бесконечности появляется на нескольких картах колоды Таро Райдера-Уэйта . ^[17]

В современном мистицизме символ бесконечности стал отождествляться с вариацией уробороса , древнего изображения змеи, поедающей свой собственный хвост, которое также стало символом бесконечности, и уроборос иногда изображается в форме восьмерки, чтобы отразить эту идентификацию, а не в его более традиционной круглой форме. ^[18]

В работах Владимира Набокова , включая «Дар» и «Бледный огонь» , восьмёрка символически используется для обозначения ленты Мёбиуса и бесконечности, как в случае с описаниями в этих книгах форм следов велосипедных шин и очертаний полузабытых людей. Стихотворение Набокова, в честь которого он назвал « Бледный огонь» , явно отсылает к «чуду лемнискаты». ^[19] Другие авторы, чьи произведения используют эту форму с её символическим значением бесконечности , включают Джеймса Джойса в «Улиссе ^{» [20]} и Дэвида Фостера Уоллеса в «Бесконечной шутке ^{» [21]} .

Графический дизайн

Хорошо известная форма и значение символа бесконечности сделали его распространенным типографическим элементом графического дизайна . Например, флаг метисов , используемый канадскими метисами с начала 19 века, основан на этом символе. ^[22] Были выдвинуты различные теории относительно значения символа на этом флаге, включая надежду на бесконечное будущее для культуры метисов и ее смешение европейских и коренных традиций , ^{[23] [24]} но также вызывающие в памяти геометрические формы метисских танцев, ^[25] , кельтские узлы , ^[26] или язык жестов коренных народов равнин . ^[27]

Радужный символ бесконечности также используется движением за права людей с аутизмом как способ символизировать бесконечное разнообразие людей в движении и человеческого познания. ^[28] Компания Bakelite использовала этот символ в своем корпоративном логотипе, чтобы обозначить широкий спектр разнообразных применений синтетического материала, который она производила. [ ^29] Версии этого символа использовались в других товарных знаках, корпоративных логотипах и эмблемах, включая Fujitsu , ^[30] Cell Press , ^[31] и чемпионата мира по футболу FIFA 2022. ^[32]

Кодирование

Символ в нескольких шрифтах ${\displaystyle \infty }$

Символ кодируется в Unicode как U+221E ∞ INFINITY ^[33] и в LaTeX как : . ^[34] Обведенная кружком версия кодируется для использования в качестве символа для бескислотной бумаги . \infty ${\displaystyle \infty }$

Набор символов Unicode также включает несколько вариантных форм символа бесконечности, которые реже встречаются в шрифтах в блоке « Разные математические символы-B» . ^[45]

Смотрите также

• Число алеф
• История математической нотации
• Ленивая восьмёрка (значения)

Ссылки

1. Ракер, Руди (1982). Бесконечность и разум: наука и философия бесконечного . Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. стр. 1. ISBN 3-7643-3034-1. МР  0658492.
2. Эриксон, Мартин Дж. (2011). "1.1 Lemniscate". Beautiful Mathematics . MAA Spectrum. Математическая ассоциация Америки . стр. 1–3. ISBN 978-0-88385-576-8.
3. Хьюмс, Александр; Хьюмс, Николас Д.; Магуайр, Джозеф (1993). От нуля до ленивой восьмерки: романтика чисел. Саймон и Шустер. стр. 18. ISBN 978-0-671-74281-2.
4. ван Риел, Сьорд (2017). «Гребни эпохи викингов: местные продукты или предметы торговли?». Lund Archaeological Review . 23 : 163–178.См. стр. 172: «Внутри этого типа лемниската (∞) является широко используемым мотивом».
5. Уоллис, Джон (1655). «Парс Прима». Desectionibus Conicis, Nova Methodo Expositis, Tractatus (на латыни). стр. 4.
6. Скотт, Джозеф Фредерик (1981). Математическая работа Джона Уоллиса, DD, FRS, (1616-1703) (2-е изд.). Американское математическое общество . стр. 24. ISBN 0-8284-0314-7.
7. Cajori, Florian (1929). «Знаки бесконечности и трансфинитных чисел». История математических обозначений, том II: обозначения, главным образом, в высшей математике . Открытый суд. стр. 44–48.
8. Маор, Эли (1991). К бесконечности и дальше: Культурная история бесконечности. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. стр. 7. ISBN 0-691-02511-8. МР  1129467.
9. Clegg, Brian (2003). "Глава 6: Маркировка бесконечности". Краткая история бесконечности: поиски немыслимого . Constable & Robinson Ltd. ISBN 978-1-84119-650-3.
10. Каджори (1929) отображает этот символ неправильно, как перевернутую букву S без отражения. Его можно увидеть, как Эйлер использовал его на странице 174 книги Эйлера Леонарда (1744). «Вариации наблюдений около бесконечной серии» (PDF) . Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (на латыни). 9 : 160–188.
11. Барроу, Джон Д. (2008). «Бесконечность: где Бог делит на ноль». Космические образы: ключевые образы в истории науки . WW Norton & Company. стр. 339–340. ISBN 978-0-393-06177-2.
12. Шипман, Барбара А. (апрель 2013 г.). «Сходимость и свойство Коши последовательностей в условиях актуальной бесконечности». PRIMUS . 23 (5): 441–458. doi :10.1080/10511970.2012.753963. S2CID  120023303.
13. Перрен, Дэниел (2007). Алгебраическая геометрия: Введение. Springer. стр. 28. ISBN 978-1-84800-056-8.
14. Aliprantis, Charalambos D. ; Border, Kim C. (2006). Анализ бесконечных измерений: Путеводитель для путешествующих автостопом (3-е изд.). Springer. С. 56–57. ISBN 978-3-540-29587-7.
15. Зборей, Рональд Дж.; Зборей, Мэри Сарацино (2000). Справочник по изучению истории книг в Соединенных Штатах. Центр книги , Библиотека Конгресса . стр. 49. ISBN 978-0-8444-1015-9.
16. Крист, Брайан; Аурелло, Дэвид Н. (октябрь 1990 г.). «Разработка символов камеры для потребителей». Труды Ежегодного собрания Общества по изучению человеческого фактора . 34 (5): 489–493. doi :10.1177/154193129003400512.
17. Армсон, Морандир (июнь 2011 г.). «Переходное Таро: исследование карт Таро, Нью Эйдж XXI века и теософской мысли». Литература и эстетика . 21 (1): 196–212.См. в частности стр. 203: «Реинкарнация символизируется рядом карт в колоде Таро Уэйта-Смита. Основными используемыми символами реинкарнации являются символ бесконечности или лемниската, колесо и круг».
18. О'Флаэрти, Венди Донигер (1986). Мечты, иллюзии и другие реальности. Издательство Чикагского университета. стр. 243. ISBN 978-0-226-61855-5.Это изображение также размещено на обложке книги.
19. Токер, Леона (1989). Набоков: Тайна литературных структур . Cornell University Press. стр. 159. ISBN 978-0-8014-2211-9.
20. Бахун, Санджа (2012).«Эти тяжелые пески — языковые приливы и ветра, которые заилили здесь»: приливное голосоведение и поэтика дома в «Улиссе» Джеймса Джойса. В Ким, Рина; Уэстолл, Клэр (ред.). Кросс-гендерные литературные голоса: присвоение, сопротивление, принятие . Palgrave Macmillan. стр. 57–73. doi :10.1057/9781137020758_4.
21. Наталини, Роберто (2013). «Дэвид Фостер Уоллес и математика бесконечности». В Босвелл, Маршалл; Берн, Стивен Дж. (ред.). Спутник исследований Дэвида Фостера Уоллеса . Американские литературные чтения в 21 веке. Palgrave Macmillan. стр. 43–57. doi :10.1057/9781137078346_3.
22. Хили, Дональд Т.; Оренски, Питер Дж. (2003). Флаги коренных американцев. Издательство Университета Оклахомы. стр. 284. ISBN 978-0-8061-3556-4.
23. Годри, Адам (весна 2018 г.). «Общение с мертвыми: «новые метисы», присвоение идентичности метисов и вытеснение культуры живых метисов». American Indian Quarterly . 42 (2): 162–190. doi : 10.5250/amerindiquar.42.2.0162. JSTOR  10.5250/amerindiquar.42.2.0162. S2CID  165232342.
24. "Флаг метисов". Институт Габриэля Дюмона (Центр ресурсов культуры и наследия метисов) . Архивировано из оригинала 24-07-2013.
25. Racette, Calvin (1987). Флаги метисов (PDF) . Институт Габриэля Дюмона. ISBN 0-920915-18-3.
26. Даррен Р., Префонтен (2007). «Flying the Flag, примечание редактора». New Breed Magazine (зима 2007): 6 . Получено 26.08.2020 .
27. Баркуэлл, Лоуренс Дж. «Флаг бесконечности метисов». Виртуальный музей истории и культуры метисов . Институт Габриэля Дюмона . Получено 15 июля 2020 г.
28. Гросс, Лиза (сентябрь 2016 г.). «В поисках корней аутизма». PLOS Biology . 14 (9): e2000958. doi : 10.1371/journal.pbio.2000958 . PMC 5045192. PMID  27690292 . 
29. Креспи, Дэниел; Бозоннет, Марианна; Мейер, Мартин (апрель 2008 г.). «100 лет бакелиту, материалу 1000 применений». Angewandte Chemie . 47 (18): 3322–3328. doi : 10.1002/anie.200704281 . PMID  18318037.
30. Ривкин, Стив; Сазерленд, Фрейзер (2005). Создание имени: внутренняя история брендов, которые мы покупаем. Oxford University Press. стр. 130. ISBN 978-0-19-988340-0.
31. Виллмес, Клаудия Гизела (январь 2021 г.). «Наука, которая вдохновляет». Тенденции в молекулярной медицине . 27 (1): 1. doi :10.1016/j.molmed.2020.11.001. PMID  33308981. S2CID  229179025.
32. "Катар 2022: представлен логотип чемпионата мира по футболу". Al Jazeera. 3 сентября 2019 г.
33. "Символ Unicode "∞" (U+221E)". Unicode . Compart AG . Получено 15.11.2019 .
34. Pakin, Scott (5 мая 2021 г.). "Таблица 294: stix Infinities". Полный список символов LATEX. CTAN . стр. 118 . Получено 19.02.2022 .
35. Стил, Шон (24 апреля 1996 г.). "cp437_DOSLatinUS в таблицу Unicode". Консорциум Unicode . Получено 19 февраля 2022 г.
36. «Map (external version) from Mac OS Roman character set to Unicode 2.1 and later». Apple Inc. 5 апреля 2005 г. Получено 2022-02-19 – через Unicode Consortium .
37. «Map (external version) from Mac OS Symbol character set to Unicode 4.0 and later». Apple Inc. 5 апреля 2005 г. Получено 2022-02-19 – через Unicode Consortium .
38. "Shift-JIS to Unicode". Unicode Consortium . 2 декабря 2015 г. Получено 19 февраля 2022 г.
39. "EUC-JP-2007". Международные компоненты для Unicode . Консорциум Unicode . Получено 2022-02-19 – через GitHub .
40. "IBM-970". Международные компоненты для Unicode . Консорциум Unicode . 9 мая 2007 г. Получено 19 февраля 2022 г. – через GitHub .
41. Стил, Шон (7 января 2000 г.). "cp949 в таблицу Unicode". Консорциум Unicode . Получено 19 февраля 2022 г.
42. "KPS 9566-2003 to Unicode". Консорциум Unicode . 27 апреля 2011 г. Получено 19 февраля 2022 г.
43. ван Кестерен, Энн . «большая пятерка». Стандарт кодирования . ЧТОРГ .
44. Unicode, Inc. "Аннотации". Common Locale Data Repository – через GitHub .
45. "Miscellaneous Mathematical Symbols-B" (PDF) . Unicode Consortium . Архивировано (PDF) из оригинала 2018-11-12 . Получено 2022-02-19 .