пространство Линделёфа

Тип топологического пространства

В математике пространство Линделёфа ^{[1] [2]} — это топологическое пространство , в котором каждое открытое покрытие имеет счётное подпокрытие. Свойство Линделёфа является ослаблением более часто используемого понятия компактности , которое требует существования конечного подпокрытия.

Анаследственно линделёфово пространство ^[3]— топологическое пространство, такое, что каждое его подпространство является линделёфовым. Такое пространство иногда называютстрого линделёфовым, но путаница в том, что терминология иногда используется с совершенно другим значением.^[4]Терминнаследственно линделёфовболее распространён и однозначен.

Пространства Линделёфа названы в честь финского математика Эрнста Леонарда Линделёфа .

Свойства пространств Линделефа

• Каждое компактное пространство , и, более общо, каждое σ-компактное пространство , является линделёфовым. В частности, каждое счётное пространство является линделёфовым.
• Пространство Линделёфа компактно тогда и только тогда, когда оно счетно компактно .
• Каждое пространство, подлежащее второй счетности, является пространством Линделёфа, ^[5], но не наоборот. Например, существует много компактных пространств, которые не поддаются второй счетности.
• Метрическое пространство является линделёфовым тогда и только тогда, когда оно сепарабельно , и тогда и только тогда, когда оно является вторично-счетным . ^[6]
• Каждое регулярное пространство Линделёфа является нормальным . ^[7]
• Каждое регулярное пространство Линделёфа является паракомпактным . ^[8]
• Счётное объединение линделёфовых подпространств топологического пространства называется линделёфовым.
• Каждое замкнутое подпространство пространства Линделёфа является линделёфовым. ^[9] Следовательно, каждое множество F σ в пространстве Линделёфа является линделёфовым.
• Произвольные подпространства пространства Линделёфа не обязательно являются линделёфовыми. ^[10]
• Непрерывный образ пространства Линделёфа есть Линделёф. ^[11]
• Произведение пространства Линделёфа и компактного пространства есть Линделёф. ^[12]
• Произведение пространства Линделёфа и σ-компактного пространства является Линделёфовым. Это является следствием предыдущего свойства.
• Произведение двух пространств Линделёфа не обязательно должно быть Линделёфовым. Например, линия Зоргенфрея является Линделёфовой, но плоскость Зоргенфрея не является Линделёфовой. ^[13] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\times S}$
• В пространстве Линделёфа каждое локально конечное семейство непустых подмножеств не более чем счетно.

Свойства наследственно линделёфовых пространств

• Пространство наследственно линделёфово тогда и только тогда, когда каждое его открытое подпространство линделёфово. ^[14]
• Наследственно пространства Линделёфа замкнуты относительно взятия счетных объединений, подпространств и непрерывных образов.
• Регулярное пространство Линделёфа является наследственно линделёфовым тогда и только тогда, когда оно совершенно нормально . ^{[15] [16]}
• Каждое второе счетное пространство является наследственным Линделёфом.
• Каждое счетное пространство наследственно Линделёфово.
• Каждое пространство Суслина является наследственным пространством Линделёфа.
• Каждая мера Радона на наследственном пространстве Линделёфа является модерируемой.

Пример: плоскость Зоргенфрея не является плоскостью Линделёфа.

Произведение пространств Линделёфа не обязательно является Линделёфовым. Обычным примером этого является плоскость Зоргенфрея , которая является произведением действительной прямой в топологии полуоткрытого интервала с собой. Открытые множества в плоскости Зоргенфрея являются объединениями полуоткрытых прямоугольников, которые включают южные и западные края и исключают северные и восточные края, включая северо-западные, северо-восточные и юго-восточные углы. Антидиагональ — это множество точек , такое что ${\displaystyle \mathbb {S} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x+y=0.}$

Рассмотрим открытое покрытие , состоящее из : ${\displaystyle \mathbb {S} }$

1. Множество всех прямоугольников , где находится на антидиагонали. ${\displaystyle (-\infty ,x)\times (-\infty ,y),}$ ${\displaystyle (x,y)}$
2. Множество всех прямоугольников , где находится на антидиагонали. ${\displaystyle [x,+\infty )\times [y,+\infty ),}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Здесь следует отметить, что каждая точка на антидиагонали содержится ровно в одном множестве покрытия, поэтому необходимы все (бесчисленное множество) множеств пункта (2) выше.

Другой способ увидеть, что это не линделёфово пространство, — заметить, что антидиагональ определяет замкнутое и несчетное дискретное подпространство Это подпространство не линделёфово, и, следовательно, все пространство также не может быть линделёфовым (поскольку замкнутые подпространства пространств Линделёфа также линделёфовы). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Обобщение

Следующее определение обобщает определения компактности и Линделёфа: топологическое пространство является -компактным (или -Линделёфовым ), где - любой кардинал , если каждое открытое покрытие имеет подпокрытие мощности строго меньше . Компактность тогда является -компактной, а Линделёф тогда является -компактной. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

TheСтепень Линделёфа , иличисло Линделёфа — это наименьший кардинал,такой что каждое открытое покрытие пространстваимеет подпокрытие размера не болееВ этой нотацииЛинделёфа является числом Линделёфа, еслиЧисло Линделёфа, как определено выше, не различает компактные пространства и некомпактные пространства Линделёфа. Некоторые авторы дали названиечислу Линделёфадругому понятию: наименьший кардинал,такой что каждое открытое покрытие пространстваимеет подпокрытие размера строго меньше^[17]В этом последнем (и реже используемом) смысле число Линделёфа является наименьшим кардиналом,таким что топологическое пространствоявляется-компактным. Это понятие иногда также называют ${\displaystyle l(X),}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle l(X)=\aleph _{0}.}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa .}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$степень компактности пространства^[18] ${\displaystyle X.}$

Смотрите также

• Аксиомы счетности  – свойство определенных математических объектов (обычно в категории), которое утверждает существование счетного множества с определенными свойствами. Без такой аксиомы такое множество, вероятно, не существовало бы.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Лемма Линделёфа  – лемма о том, что каждое открытое подмножество действительных чисел является счетным объединением открытых интервалов.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва

Примечания

1. Стин и Зеебах, стр. 19
2. Уиллард, Def. 16.5, стр. 110
3. Уиллард, 16E, стр. 114
4. Ганстер, М. (1989). «Заметка о сильно пространствах Линделефа» (PDF) . Технический университет Граца . S2CID  208002077.
5. Уиллард, теорема 16.9, стр. 111
6. Уиллард, теорема 16.11, стр. 112
7. Уиллард, теорема 16.8, стр. 111
8. Майкл, Эрнест (1953). «Заметка о паракомпактных пространствах». Труды Американского математического общества . 4 (5): 831–838. doi : 10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8 . MR  0056905.
9. Уиллард, теорема 16.6, стр. 110
10. "Примеры пространств Линделёфа, которые не являются наследственно линделофовыми". 15 апреля 2012 г.
11. Уиллард, теорема 16.6, стр. 110
12. "Лемма о трубе". 2 мая 2011 г.
13. «Заметка о линии Зоргенфрей». 27 сентября 2009 г.
14. Энгелькинг, 3.8.A(b), стр. 194
15. Энгелькинг, 3.8.A(c), стр. 194
16. «Общая топология — Еще один вопрос о наследственно линделефовом пространстве».
17. Мэри Эллен Рудин, Лекции по теоретико-множественной топологии, Conference Board of the Mathematical Sciences, American Mathematical Society, 1975, стр. 4, доступно в Google Books [1]
18. Гушек, Мирослав (1969). «Класс k-компактов прост». Mathematische Zeitschrift . 110 (2): 123–126. дои : 10.1007/BF01124977 . MR  0244947. S2CID  120212653..

Ссылки

• Энгелькинг, Рышард, Общая топология , Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN 3-88538-006-4 
• I. Juhász (1980). Кардинальные функции в топологии - десять лет спустя . Math. Centre Tracts, Амстердам. ISBN 90-6196-196-3.
• Манкрес, Джеймс . Топология, 2-е изд .
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. МР  0507446.
• Уиллард, Стивен. Общая топология , Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6