Эквивариантный пучок

В математике, если задано действие групповой схемы G на схеме X над базовой схемой S , то эквивариантный пучок F на X является пучком -модулей вместе с изоморфизмом -модулей ${\displaystyle \sigma :G\times _{S}X\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{G\times _{S}X}}$

${\displaystyle \phi :\sigma ^{*}F\xrightarrow {\simeq } p_{2}^{*}F}$  

который удовлетворяет условию коцикла: ^{[1] [2]} запись m для умножения,

${\displaystyle p_{23}^{*}\phi \circ (1_{G}\times \sigma )^{*}\phi =(m\times 1_{X})^{*}\phi }$.

Примечания к определению

На уровне стебля условие коцикла говорит, что изоморфизм совпадает с композицией ; т. е. ассоциативность действия группы. Условие, что единица группы действует как тождество, также является следствием: применим к обеим сторонам, чтобы получить и, следовательно, тождество. ${\displaystyle F_{gh\cdot x}\simeq F_{x}}$ ${\displaystyle F_{g\cdot h\cdot x}\simeq F_{h\cdot x}\simeq F_{x}}$ ${\displaystyle (e\times e\times 1)^{*},e:S\to G}$ ${\displaystyle (e\times 1)^{*}\phi \circ (e\times 1)^{*}\phi =(e\times 1)^{*}\phi }$ ${\displaystyle (e\times 1)^{*}\phi }$

Заметим, что — дополнительные данные; это «подъем» действия G на X до пучка F. Более того, когда G — связная алгебраическая группа, F — обратимый пучок, а X — приведенный, условие коцикла выполняется автоматически: любой изоморфизм автоматически удовлетворяет условию коцикла (этот факт отмечен в конце доказательства гл. 1, § 3., предложения 1.5. «геометрической инвариантной теории» Мамфорда). ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \sigma ^{*}F\simeq p_{2}^{*}F}$

Если действие G свободно, то понятие эквивариантного пучка упрощается до пучка на фактор-пространстве X / G из-за спуска по торсорам .

По лемме Йонеды , задать структуру эквивариантного пучка -модулю F - то же самое, что задать групповые гомоморфизмы для колец R над , ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle G(R)\to \operatorname {Aut} (X\times _{S}\operatorname {Spec} R,F\otimes _{S}R)}$. ^[3]

Существует также определение эквивариантных пучков в терминах симплициальных пучков . В качестве альтернативы можно определить эквивариантный пучок как эквивариантный объект в категории, скажем, когерентных пучков.

Линеаризованные линейные пучки

Структура эквивариантного пучка на обратимом пучке или линейном расслоении также называется линеаризацией .

Пусть X — полное многообразие над алгебраически замкнутым полем, на которое действует связная редуктивная группа G , а L — обратимый пучок на нем. Если X нормально, то некоторая тензорная степень L линеаризуема . ^[4] ${\displaystyle L^{n}}$

Кроме того, если L очень обильно и линеаризовано, то существует G -линейное замкнутое погружение из X в такое, что линеаризовано, а линеаризация на L индуцируется линеаризацией . ^[5] ${\displaystyle \mathbf {P} ^{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{N}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{N}}(1)}$

Тензорные произведения и обратные линеаризованных обратимых пучков снова линеаризуются естественным образом. Таким образом, классы изоморфизма линеаризованных обратимых пучков на схеме X образуют абелеву группу. Существует гомоморфизм в группу Пикара схемы X , который забывает линеаризацию; этот гомоморфизм не является ни инъективным, ни сюръективным в общем случае, и его ядро ​​можно отождествить с классами изоморфизма линеаризаций тривиального линейного расслоения.

См. пример 2.16 из [1] в качестве примера многообразия, для которого большинство линейных расслоений не линеаризуемы.

Двойственное действие на сечениях эквивариантных пучков

Дана алгебраическая группа G и G -эквивариантный пучок F на X над полем k , пусть будет пространством глобальных сечений . Тогда оно допускает структуру G -модуля; т.е. V является линейным представлением G следующим образом. Записывая для действия группы, для каждого g в G и v в V , пусть ${\displaystyle V=\Gamma (X,F)}$ ${\displaystyle \sigma :G\times X\to X}$

${\displaystyle \pi (g)v=(\varphi \circ \sigma ^{*})(v)(g^{-1})}$

где и — изоморфизм, заданный структурой эквивариантного пучка на F. Условие коцикла тогда гарантирует, что — гомоморфизм групп (т.е. — представление). ${\displaystyle \sigma ^{*}:V\to \Gamma (G\times X,\sigma ^{*}F)}$ ${\displaystyle \varphi :\Gamma (G\times X,\sigma ^{*}F){\overset {\sim }{\to }}\Gamma (G\times X,p_{2}^{*}F)=k[G]\otimes _{k}V}$ ${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle \pi }$

Пример : взять и действие G на себя. Тогда и ${\displaystyle X=G,F={\mathcal {O}}_{G}}$ ${\displaystyle \sigma =}$ ${\displaystyle V=k[G]}$ ${\displaystyle (\varphi \circ \sigma ^{*})(f)(g,h)=f(gh)}$

${\displaystyle (\pi (g)f)(h)=f(g^{-1}h)}$,

значение — это левое регулярное представление G. ${\displaystyle \pi }$

Представление, определенное выше, является рациональным представлением : для каждого вектора v в V существует конечномерный G -подмодуль V , содержащий v . ^[6] ${\displaystyle \pi }$

Эквивариантное векторное расслоение

Определение проще для векторного расслоения (т. е. многообразия, соответствующего локально свободному пучку постоянного ранга). Мы говорим, что векторное расслоение E на алгебраическом многообразии X, действующее под действием алгебраической группы G, является эквивариантным, если G действует послойно: т. е. является «линейным» изоморфизмом векторных пространств. ^[7] Другими словами, эквивариантное векторное расслоение — это пара, состоящая из векторного расслоения и поднятия действия до действия так, что проекция эквивариантна. ${\displaystyle g:E_{x}\to E_{gx}}$ ${\displaystyle G\times X\to X}$ ${\displaystyle G\times E\to E}$ ${\displaystyle E\to X}$

Так же, как и в неэквивариантной ситуации, можно определить эквивариантный характеристический класс эквивариантного векторного расслоения.

Примеры

• Касательное расслоение многообразия или гладкого многообразия является эквивариантным векторным расслоением.
• Пучок эквивариантных дифференциальных форм .
• Пусть G — полупростая алгебраическая группа, а λ:H→ C — характер на максимальном торе H . Он продолжается до борелевской подгруппы λ:B→ C , давая одномерное представление W _λ группы B . Тогда GxW _λ — тривиальное векторное расслоение над G, на которое действует B. Фактор L _λ =Gx _B W _λ по действию B — это линейное расслоение над многообразием флагов G/B . Заметим, что G→G/B — это расслоение B , так что это всего лишь пример конструкции ассоциированного расслоения. Теорема Бореля–Вейля–Ботта утверждает, что все представления G возникают как когомологии таких линейных расслоений.
• Если X=Spec(A) — аффинная схема, то действие G m на X — это то же самое, что и градуировка Z на A. Аналогично, эквивариантный квазикогерентный пучок G _{m на} X — это то же самое, что и модуль A с градуировкой Z. ^{[ требуется ссылка ]}

Смотрите также

• Эквивариантная алгебраическая К-теория
• Эквивариантное расслоение
• Эквивариантные когомологии
• Стек частного

Примечания

1. МФК 1994, Гл. 1. § 3. Определение 1.6.
2. Гайцгори 2005, § 6.
3. Томпсон 1987, § 1.2.
4. MFK 1994, Гл. 1. § 3. Следствие 1.6.
5. МФК 1994, Гл. 1. § 3. Предложение 1.7.
6. MFK 1994, Гл. 1. § 1. лемма сразу после Определения 1.3.
7. Если E рассматривать как пучок, то g необходимо заменить на . ${\displaystyle g^{-1}}$

Ссылки

• Дж. Бернштейн, В. Лунц, «Эквивариантные пучки и функторы», Springer Lecture Notes in Math. 1578 (1994).
• Мамфорд, Дэвид; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис (1994). Геометрическая теория инвариантов. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56963-3. МР  1304906.
• Gaitsgory, D. (2005). "Geometric Representation theory, Math 267y, Fall 2005" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 22 января 2015 г.
• Томпсон, Р. У. (1987). "Алгебраическая K-теория действий групповых схем". В Browser, Уильям (ред.). Алгебраическая топология и алгебраическая K-теория: труды конференции, 24-28 октября 1983 г. в Принстонском университете, посвященной Джону К. Муру в день его 60-летия . Том 113. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. стр. 539-563. ISBN 9780691084268.

Внешние ссылки

• Эквивариантные пучки