В статистике термин « линейная модель» относится к любой модели, которая предполагает линейность системы. Наиболее распространенное явление связано с моделями регрессии, и этот термин часто воспринимается как синоним модели линейной регрессии . Однако этот термин также используется в анализе временных рядов в другом значении. В каждом случае обозначение «линейные» используется для обозначения подкласса моделей, для которых возможно существенное снижение сложности соответствующей статистической теории .
Для случая регрессии статистическая модель выглядит следующим образом. Для (случайной) выборки связь между наблюдениями и независимыми переменными формулируется как
где могут быть нелинейные функции. В приведенном выше примере величины представляют собой случайные величины , представляющие ошибки в отношениях. «Линейная» часть обозначения относится к появлению коэффициентов регрессии , линейным образом в приведенной выше зависимости. Альтернативно можно сказать, что прогнозируемые значения, соответствующие приведенной выше модели, а именно
являются линейными функциями .
Учитывая, что оценка проводится на основе анализа наименьших квадратов , оценки неизвестных параметров определяются путем минимизации функции суммы квадратов
Отсюда легко видеть, что «линейный» аспект модели означает следующее:
Примером модели линейного временного ряда является модель авторегрессионного скользящего среднего . Здесь модель значений { } во временном ряду можно записать в виде
где снова величины являются случайными переменными, представляющими инновации , которые представляют собой новые случайные эффекты, которые появляются в определенное время, но также влияют на значения в более поздние моменты времени. В этом случае использование термина «линейная модель» относится к структуре вышеуказанных отношений, представляющих линейную функцию прошлых значений одного и того же временного ряда, а также текущих и прошлых значений инноваций. [1] Этот конкретный аспект структуры означает, что относительно просто вывести соотношения для среднего значения и ковариационных свойств временного ряда. Обратите внимание, что здесь «линейная» часть термина «линейная модель» не относится к коэффициентам и , как это было бы в случае с регрессионной моделью, которая выглядит структурно аналогично.
Есть и другие случаи, когда «нелинейная модель» используется в отличие от модели с линейной структурой, хотя термин «линейная модель» обычно не применяется. Одним из примеров этого является нелинейное уменьшение размерности .