Линейная эластичность

Математическая модель деформации твердых тел.

Линейная упругость — это математическая модель того, как твердые объекты деформируются и подвергаются внутреннему напряжению из-за заданных условий нагрузки. Это упрощение более общей нелинейной теории упругости и раздела механики сплошных сред .

Фундаментальными «линеаризирующими» предположениями линейной упругости являются: бесконечно малые деформации или «малые» деформации (или деформации) и линейные отношения между компонентами напряжения и деформации. Кроме того, линейная эластичность действительна только для напряженных состояний, не приводящих к текучести .

Эти предположения разумны для многих сценариев инженерных материалов и инженерного проектирования. Поэтому линейная упругость широко используется в структурном анализе и инженерном проектировании, часто с помощью анализа методом конечных элементов .

Математическая формулировка

Уравнения, описывающие линейно-упругую краевую задачу , основаны на трех тензорных уравнениях в частных производных для баланса погонных моментов и шести бесконечно малых соотношениях деформация - перемещение . Система дифференциальных уравнений дополняется набором линейных алгебраических определяющих соотношений .

Прямая тензорная форма

В прямой тензорной форме, которая не зависит от выбора системы координат, эти основные уравнения имеют вид: ^[1]

• Уравнение движения , которое является выражением второго закона Ньютона :
  $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {F} =\rho {\ddot {\mathbf {u} }}}$$
• Уравнения деформации-перемещения :
  $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}$$
• Определяющие уравнения . Для упругих материалов закон Гука отражает поведение материала и связывает неизвестные напряжения и деформации. Общее уравнение закона Гука:
  $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }},}$$

где – тензор напряжений Коши , – тензор бесконечно малых деформаций , – вектор перемещения , – тензор жесткости четвертого порядка , – массовая сила на единицу объема, – плотность массы, представляет оператор набла , представляет собой транспонирование , представляет собой вторая производная по времени и является внутренним произведением двух тензоров второго порядка (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам). ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle (\bullet )^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle {\ddot {(\bullet )}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {A}}:{\mathsf {B}}=A_{ij}B_{ij}}$

Декартова координатная форма

Выраженные через компоненты относительно прямоугольной декартовой системы координат, основные уравнения линейной упругости имеют вид: ^[1]

• Уравнение движения :
  $${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}}$$
  где нижний индекс является сокращением и указывает , – тензор напряжений Коши , – плотность объемной силы, – плотность массы и – смещение. ${\displaystyle {(\bullet )}_{,j}}$ ${\displaystyle \partial {(\bullet )}/\partial x_{j}}$ ${\displaystyle \partial _{tt}}$ ${\displaystyle \partial ^{2}/\partial t^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u_{i}}$
  Это 3 независимых уравнения с 6 независимыми неизвестными (напряжениями).
  В инженерных обозначениях это:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$
• Уравнения деформации-перемещения :
  $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{j,i}+u_{i,j})}$$
  где напряжение. Это 6 независимых уравнений, связывающих деформации и перемещения с 9 независимыми неизвестными (деформациями и перемещениями). ${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!}$
  В инженерных обозначениях это:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\\\epsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\\\epsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\gamma _{xy}={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\\\gamma _{yz}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\\\gamma _{zx}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\end{aligned}}}$$
• Определяющие уравнения . Уравнение закона Гука:
  $${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}}$$
  где – тензор жесткости. Это 6 независимых уравнений, связывающих напряжения и деформации. Требование симметрии тензоров напряжений и деформаций приводит к равенству многих упругих постоянных, сокращая число различных элементов до 21 ^[2] . ${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}=C_{jikl}=C_{ijlk}}$

Упругостатическая краевая задача для изотропно-однородной среды представляет собой систему 15 независимых уравнений и равного числа неизвестных (3 уравнения равновесия, 6 уравнений деформации-перемещения и 6 определяющих уравнений). Задав граничные условия, краевая задача полностью определена. Для решения системы можно использовать два подхода в соответствии с граничными условиями краевой задачи: формулировку смещения и формулировку напряжения .

Цилиндрическая форма координат

В цилиндрических координатах ( ) уравнения движения имеют вид ^[1] ${\displaystyle r,\theta ,z}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}(\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta })+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial z}}+{\frac {2}{r}}\sigma _{r\theta }+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+{\frac {1}{r}}\sigma _{rz}+F_{z}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}~;~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)~;~~\varepsilon _{zz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)~;~~\varepsilon _{\theta z}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)~;~~\varepsilon _{zr}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$

Сферическая форма координат

В сферических координатах ( ) уравнения движения имеют вид ^[1] ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi }+\sigma _{r\theta }\cot \theta )+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}[(\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi })\cot \theta +3\sigma _{r\theta }]+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{\theta \phi }\cot \theta +3\sigma _{r\phi })+F_{\phi }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$

Сферические координаты ( r , θ , φ ), обычно используемые в физике : радиальное расстояние r , полярный угол θ ( тета ) и азимутальный угол φ ( фи ). Символ ρ ( rho ) часто используется вместо r .

Тензор деформаций в сферических координатах равен

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\frac {1}{2r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\right]\\\varepsilon _{r\phi }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\frac {u_{\phi }}{r}}\right).\end{aligned}}}$$

(Ан)изотропные (не)однородные среды

В изотропных средах тензор жесткости дает соотношение между напряжениями (результирующими внутренними напряжениями) и деформациями (результирующими деформациями). Для изотропной среды тензор жесткости не имеет предпочтительного направления: приложенная сила будет вызывать одинаковые смещения (относительно направления силы) независимо от направления, в котором приложена сила. В изотропном случае тензор жесткости ^{можно записать :}

$${\displaystyle C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\tfrac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})}$$

дельта КронекераKмодуль объемного сжатиямодуль сдвигамодуля упругостиоднородна ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \sigma _{ij}=K\delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\varepsilon _{kk}\right).}$$

Это выражение разделяет напряжение на скалярную часть слева, которая может быть связана со скалярным давлением, и бесследовую часть справа, которая может быть связана с силами сдвига. Более простое выражение: ^{[3] [4]}

$${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}}$$

первый параметр Ламе^[5]

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{9K}}\delta _{ij}\sigma _{kk}+{\frac {1}{2\mu }}\left(\sigma _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\sigma _{kk}\right)}$$

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2\mu }}\sigma _{ij}-{\frac {\nu }{E}}\delta _{ij}\sigma _{kk}={\frac {1}{E}}[(1+\nu )\sigma _{ij}-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}]}$$

коэффициент Пуассонамодуль Юнга ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle E}$

Эластостатика

Эластостатика — это исследование линейной упругости в условиях равновесия, при которых сумма всех сил, действующих на упругое тело, равна нулю, а смещения не являются функцией времени. Тогда уравнения равновесия будут иметь вид

$${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0.}$$

напряжение сдвига

• ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=0}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=0}$

В этом разделе будет обсуждаться только изотропно-однородный случай.

Формулировка смещения

В этом случае перемещения заданы всюду на границе. В этом подходе деформации и напряжения исключаются из формулировки, оставляя смещения в качестве неизвестных, которые необходимо решить в основных уравнениях. Сначала уравнения деформации-перемещения подставляются в определяющие уравнения (закон Гука), исключая деформации как неизвестные:

$${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}=\lambda \delta _{ij}u_{k,k}+\mu \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right).}$$

${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \sigma _{ij,j}=\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right).}$$

$${\displaystyle \lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right)+F_{i}=0}$$

теоремы Шварца

$${\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ji}+F_{i}=0}$$

параметры Ламеуравнениями упругостиНавье – Коши, ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

Вывод уравнений Навье–Коши в инженерных обозначениях.

Сначала будет рассмотрено -направление. Подставляя уравнения деформации-перемещения в уравнение равновесия в -направлении, имеем ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \sigma _{x}=2\mu \varepsilon _{x}+\lambda (\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z})=2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)}$$

$${\displaystyle \tau _{xy}=\mu \gamma _{xy}=\mu \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)}$$

$${\displaystyle \tau _{xz}=\mu \gamma _{zx}=\mu \left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)}$$

Тогда, подставив эти уравнения в уравнение равновесия в -направлении, получим ${\displaystyle x\,\!}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left(2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)+F_{x}=0}$$

Используя предположение, что и постоянны, мы можем переставить и получить: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle \left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{x}=0}$$

Следуя той же процедуре для -направления и -направления, мы имеем ${\displaystyle y\,\!}$ ${\displaystyle z\,\!}$

$${\displaystyle \left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{y}=0}$$

$${\displaystyle \left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{z}=0}$$

Эти последние три уравнения представляют собой уравнения Навье – Коши, которые также можно выразить в векторной записи как

$${\displaystyle (\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {F} =0}$$

После того, как поле смещений рассчитано, смещения можно заменить в уравнениях деформации-перемещения для расчета деформаций, которые позже используются в основных уравнениях для расчета напряжений.

Бигармоническое уравнение

Уравнение упругости можно записать:

$${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,ij}+\beta ^{2}u_{i,mm}=-F_{i}.}$$

Беря дивергенцию обеих частей уравнения упругости и предполагая, что массовые силы имеют нулевую дивергенцию (однородную в области) ( ), получим ${\displaystyle F_{i,i}=0\,\!}$

$${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,iij}+\beta ^{2}u_{i,imm}=0.}$$

Учитывая, что суммированные индексы не обязательно совпадают и что частные производные коммутируют, два дифференциальных члена кажутся одинаковыми, и мы имеем:

$${\displaystyle \alpha ^{2}u_{j,iij}=0}$$

$${\displaystyle u_{j,iij}=0.}$$

Взяв лапласиан обеих частей уравнения упругости и полагая дополнительно , ​​имеем ${\displaystyle F_{i,kk}=0\,\!}$

$${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,kkij}+\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0.}$$

Из уравнения дивергенции первый член слева равен нулю (Примечание: суммированные индексы не обязательно должны совпадать), и мы имеем:

$${\displaystyle \beta ^{2}u_{i,kkmm}=0}$$

$${\displaystyle u_{i,kkmm}=0}$$

бигармоническое уравнение ${\displaystyle \nabla ^{4}\mathbf {u} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$

Формулировка стресса

В этом случае поверхностные силы сцепления задаются всюду на границе поверхности. В этом подходе деформации и смещения исключаются, а напряжения остаются неизвестными, которые необходимо решить в основных уравнениях. После того как поле напряжений найдено, деформации находятся с использованием определяющих уравнений.

Существует шесть независимых компонентов тензора напряжений, которые необходимо определить, однако в формулировке смещения необходимо определить только три компонента вектора смещения. Это означает, что на тензор напряжений необходимо наложить некоторые ограничения, чтобы уменьшить количество степеней свободы до трех. Используя определяющие уравнения, эти ограничения выводятся непосредственно из соответствующих ограничений, которые должны соблюдаться для тензора деформаций, который также имеет шесть независимых компонентов. Ограничения на тензор деформации выводятся непосредственно из определения тензора деформации как функции поля векторов смещений, что означает, что эти ограничения не вносят никаких новых концепций или информации. Легче всего понять ограничения на тензор деформаций. Если представить упругую среду как набор бесконечно малых кубиков в недеформированном состоянии, то после деформирования среды произвольный тензор деформаций должен давать ситуацию, при которой искаженные кубики все еще подходят друг к другу, не перекрываясь. Другими словами, для данной деформации должно существовать непрерывное векторное поле (смещение), из которого можно получить этот тензор деформации. Ограничения на тензор деформаций, необходимые для обеспечения этого, были обнаружены Сен-Венаном и называются «уравнениями совместимости Сен-Венана ». Это 81 уравнение, 6 из которых являются независимыми нетривиальными уравнениями, связывающими различные компоненты деформации. Они выражаются в индексных обозначениях как:

$${\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\end{aligned}}}$$

Деформации в этом уравнении затем выражаются через напряжения с использованием определяющих уравнений, что дает соответствующие ограничения на тензор напряжений. Эти ограничения на тензор напряжений известны как уравнения совместимости Бельтрами-Мичелла :

$${\displaystyle \sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}+F_{i,j}+F_{j,i}+{\frac {\nu }{1-\nu }}\delta _{i,j}F_{k,k}=0.}$$

^[6]

$${\displaystyle (1+\nu )\sigma _{ij,kk}+\sigma _{kk,ij}=0.}$$

Необходимым, но недостаточным условием совместимости в этой ситуации является или . ^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}^{4}{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij,kk\ell \ell }=0}$

Эти ограничения вместе с уравнением равновесия (или уравнением движения для эластодинамики) позволяют рассчитать поле тензора напряжений. После того, как поле напряжений рассчитано по этим уравнениям, деформации можно получить из материальных уравнений, а поле смещений - из уравнений деформации-перемещения.

Альтернативный метод решения состоит в том, чтобы выразить тензор напряжений через функции напряжений , которые автоматически приводят к решению уравнения равновесия. Тогда функции напряжений подчиняются одному дифференциальному уравнению, которое соответствует уравнениям совместимости.

Решения для эластостатических случаев

Решение Томсона - точечная сила в бесконечной изотропной среде

Наиболее важным решением уравнения Навье-Коши или уравнения упругости является решение силы, действующей в точке бесконечной изотропной среды. Это решение было найдено Уильямом Томсоном (впоследствии лордом Кельвином) в 1848 году (Thomson 1848). Это решение является аналогом закона Кулона в электростатике . Вывод дан у Ландау и Лифшица. ^{[7] : §8} Определение

$${\displaystyle a=1-2\nu }$$

$${\displaystyle b=2(1-\nu )=a+1}$$

${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle u_{i}=G_{ik}F_{k}}$$

функция Гринадекартовых координатах ${\displaystyle F_{k}}$ ${\displaystyle G_{ik}}$

$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}\left[\left(1-{\frac {1}{2b}}\right)\delta _{ik}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x_{i}x_{k}}{r^{2}}}\right]}$$

Это также можно компактно записать так:

$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}\left[{\frac {\delta _{ik}}{r}}-{\frac {1}{2b}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial x_{i}\partial x_{k}}}\right]}$$

$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xy}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {yx}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {y^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {yz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {zx}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {zy}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

В цилиндрических координатах ( ) это можно записать так: ${\displaystyle \rho ,\phi ,z\,\!}$

$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}&0&{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho z}{r^{2}}}\\0&1-{\frac {1}{2b}}&0\\{\frac {1}{2b}}{\frac {z\rho }{r^{2}}}&0&1-{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

r

Особенно полезно записывать перемещение в цилиндрических координатах для точечной силы, направленной вдоль оси z. Определение и как единичных векторов в направлениях и соответственно дает: ${\displaystyle F_{z}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\rho }}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {F_{z}}{4\pi \mu r}}\left[{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho z}{r^{2}}}{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left(1-{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {z} }}\right]}$$

Видно, что имеется составляющая смещения в направлении силы, которая убывает, как и в случае потенциала в электростатике, как 1/ r при больших r . Имеется также дополнительная ρ-направленная компонента.

Решение Буссинеска – Черрути - точечная сила в начале бесконечного изотропного полупространства

Другое полезное решение — это точечная сила, действующая на поверхность бесконечного полупространства. Он был получен Буссинеском ^[8] для нормальной силы и Черрути для тангенциальной силы, а вывод дан Ландау и Лифшицем. ^{[7] : §8} . В этом случае решение снова записывается в виде тензора Грина, обращающегося в ноль на бесконечности, и нормальная к поверхности компонента тензора напряжений обращается в нуль. Это решение можно записать в декартовых координатах как [напомним: и , = коэффициент Пуассона]: ${\displaystyle a=(1-2\nu )}$ ${\displaystyle b=2(1-\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}{\begin{bmatrix}{\frac {b}{r}}+{\frac {x^{2}}{r^{3}}}-{\frac {ax^{2}}{r(r+z)^{2}}}-{\frac {az}{r(r+z)}}&{\frac {xy}{r^{3}}}-{\frac {axy}{r(r+z)^{2}}}&{\frac {xz}{r^{3}}}-{\frac {ax}{r(r+z)}}\\{\frac {yx}{r^{3}}}-{\frac {ayx}{r(r+z)^{2}}}&{\frac {b}{r}}+{\frac {y^{2}}{r^{3}}}-{\frac {ay^{2}}{r(r+z)^{2}}}-{\frac {az}{r(r+z)}}&{\frac {yz}{r^{3}}}-{\frac {ay}{r(r+z)}}\\{\frac {zx}{r^{3}}}-{\frac {ax}{r(r+z)}}&{\frac {zy}{r^{3}}}-{\frac {ay}{r(r+z)}}&{\frac {b}{r}}+{\frac {z^{2}}{r^{3}}}\end{bmatrix}}}$$

Другие решения

• Точечная сила внутри бесконечного изотропного полупространства. ^[9]
• Точечная сила на поверхности изотропного полупространства. ^[6]
• Контакт двух упругих тел: решение Герца (см. код Matlab). ^[10] См. также страницу «Контактная механика» .

Эластодинамика с точки зрения перемещений

Эластодинамика — это изучение упругих волн , включающее линейную упругость, изменяющуюся во времени. Упругая волна — это тип механической волны , которая распространяется в упругих или вязкоупругих материалах. Эластичность материала обеспечивает восстанавливающую силу волны. Когда упругие волны возникают на Земле в результате землетрясения или другого возмущения, их обычно называют сейсмическими волнами .

Уравнение линейного количества движения — это просто уравнение равновесия с дополнительным инерционным членом:

$${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \,{\ddot {u}}_{i}=\rho \,\partial _{tt}u_{i}.}$$

Если материал подчиняется анизотропному закону Гука (с тензором жесткости, однородным по всему материалу), можно получить уравнение смещения эластодинамики :

$${\displaystyle \left(C_{ijkl}u_{(k},_{l)}\right),_{j}+F_{i}=\rho {\ddot {u}}_{i}.}$$

Если материал изотропен и однороден, получается уравнение Навье – Коши :

$${\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ij}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}\quad {\text{or}}\quad \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +(\mu +\lambda )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mathbf {F} =\rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}.}$$

Упругодинамическое волновое уравнение также можно выразить как

$${\displaystyle \left(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ]\right)u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}}$$

$${\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}}$$

акустический дифференциальный операторКронекера ${\displaystyle \delta _{kl}}$

В изотропных средах тензор жесткости имеет вид

$${\displaystyle C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\frac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})}$$

модуль объемногосдвигамодуля упругости ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle A_{ij}[\nabla ]=\alpha ^{2}\partial _{i}\partial _{j}+\beta ^{2}(\partial _{m}\partial _{m}\delta _{ij}-\partial _{i}\partial _{j})}$$

Для плоских волн указанный выше дифференциальный оператор становится акустическим алгебраическим оператором :

$${\displaystyle A_{ij}[\mathbf {k} ]=\alpha ^{2}k_{i}k_{j}+\beta ^{2}(k_{m}k_{m}\delta _{ij}-k_{i}k_{j})}$$

$${\displaystyle \alpha ^{2}=\left(K+{\frac {4}{3}}\mu \right)/\rho \qquad \beta ^{2}=\mu /\rho }$$

собственные значениясобственными векторамипродольнымисдвиговымиСейсмическая волна ${\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!}$

Эластодинамика в условиях напряжений

Исключение смещений и деформаций из основных уравнений приводит к уравнению эластодинамики Игначака ^[11]

$${\displaystyle \left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-S_{ijkl}{\ddot {\sigma }}_{kl}+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.}$$

В случае локальной изотропии это сводится к

$${\displaystyle \left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-{\frac {1}{2\mu }}\left({\ddot {\sigma }}_{ij}-{\frac {\lambda }{3\lambda +2\mu }}{\ddot {\sigma }}_{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.}$$

Основные характеристики этой формулы включают в себя: (1) позволяет избежать градиентов податливости, но вводит градиенты массовой плотности; (2) оно выводится из вариационного принципа; (3) он удобен для решения начально-краевых задач тяги, (4) позволяет провести тензорную классификацию упругих волн, (5) предлагает ряд приложений в задачах распространения упругих волн; (6) может быть распространено на динамику классических или микрополярных твердых тел с взаимодействующими полями различных типов (термоупругие, насыщенные жидкостью, пористые, пьезоэлектроупругие...), а также на нелинейные среды.

Анизотропные однородные среды

Для анизотропных сред тензор жесткости более сложен. Симметрия тензора напряжений означает, что существует не более 6 различных элементов напряжения. Аналогично, существует не более 6 различных элементов тензора деформаций . Следовательно, тензор жесткости четвертого порядка можно записать в виде матрицы (тензора второго порядка). Обозначение Фойгта - это стандартное отображение тензорных индексов, ${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ij}\,\!}$ ${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle C_{\alpha \beta }}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix}}{\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}}$$

С такими обозначениями матрицу упругости для любой линейно упругой среды можно записать в виде:

$${\displaystyle C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$

Как показано, матрица симметрична, это является результатом существования функции плотности энергии деформации, которая удовлетворяет условию . Следовательно, существует не более 21 различных элементов . ${\displaystyle C_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ij}}}}$ ${\displaystyle C_{\alpha \beta }\,\!}$

Изотропный частный случай имеет два независимых элемента:

$${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&0&0&0\\0&0&0&\mu \ &0&0\\0&0&0&0&\mu \ &0\\0&0&0&0&0&\mu \ \end{bmatrix}}.}$$

Самый простой анизотропный случай кубической симметрии имеет три независимых элемента:

$${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}.}$$

Случай поперечной изотропии , также называемый полярной анизотропией (с одной осью (3-осью) симметрии), имеет 5 независимых элементов:

$${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$

Когда поперечная изотропия слаба (т.е. близка к изотропии), альтернативная параметризация с использованием параметров Томсена удобна для формул для скоростей волн.

Случай ортотропии (симметрии кирпича) имеет 9 независимых элементов:

$${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$

Эластодинамика

Упругодинамическое волновое уравнение для анизотропных сред можно выразить как

$${\displaystyle (\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ])\,u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}}$$

$${\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}}$$

акустический дифференциальный операторКронекера ${\displaystyle \delta _{kl}}$

Плоские волны и уравнение Кристоффеля

Плоская волна имеет вид

$${\displaystyle \mathbf {u} [\mathbf {x} ,\,t]=U[\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega \,t]\,{\hat {\mathbf {u} }}}$$

акустического алгебраического оператора. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}\,\!}$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}}$

$${\displaystyle A_{kl}[\mathbf {k} ]={\frac {1}{\rho }}\,k_{i}\,C_{iklj}\,k_{j}.}$$

условие распространенияуравнение Кристоффеля

$${\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]\,{\hat {\mathbf {u} }}=c^{2}\,{\hat {\mathbf {u} }}}$$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {k} /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}}$ ${\displaystyle c=\omega /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}}$

Смотрите также

• Метод Кастильяно
• Теорема Клапейрона (упругость)
• Контактные механики
• Деформация
• Эластичность (физика)
• ГРАДЕЛА
• Закон Гука
• Теория бесконечно малых деформаций
• Решение Мичелла
• Пластичность (физика)
• Проблема Синьорини
• Пружинная система
• Стресс (механика)
• Функции напряжения

Рекомендации

1. Слотер, WS, (2002), Линеаризованная теория упругости , Биркхаузер.
2. Беленький; Салаев (1988). «Эффекты деформации в слоистых кристаллах». Успехи физических наук . 155 (5): 89–127. дои : 10.3367/УФНр.0155.198805c.0089 .
3. Аки, Кейти ; Ричардс, Пол Г. (2002). Количественная сейсмология (2-е изд.). Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги.
4. Механика сплошной среды для инженеров 2001 Mase, Eq. 5.12-2
5. Зоммерфельд, Арнольд (1964). Механика деформируемых тел . Нью-Йорк: Академическая пресса.
6. tribonet (16 февраля 2017 г.). «Упругая деформация». Трибология . Проверено 16 февраля 2017 г.
7. Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1986). Теория упругости (3-е изд.). Оксфорд, Англия: Баттерворт Хайнеманн. ISBN 0-7506-2633-Х.
8. Буссинеск, Жозеф (1885). Применение потенциалов для достижения равновесия и движения эластичных твердых тел. Париж, Франция: Готье-Виллар.
9. Миндлин, Р.Д. (1936). «Сила в точке внутри полубесконечного твердого тела». Физика . 7 (5): 195–202. Бибкод : 1936Physi...7..195M. дои : 10.1063/1.1745385. Архивировано из оригинала 23 сентября 2017 года.
10. Герц, Генрих (1882). «Контакт твердых упругих тел». Журнал для королевы и математики . 92 .
11. Остоя-Старжевски, М. , (2018), Уравнение эластодинамики Игначака , Математика и механика твердого тела. дои : 10.1177/1081286518757284