Линейная функция (исчисление)

Полиномиальная функция степени не выше единицы

График линейной функции: ${\displaystyle y(x)=-x+2}$

В исчислении и смежных областях математики линейная функция от действительных чисел к действительным числам — это функция, график которой (в декартовых координатах ) представляет собой невертикальную линию на плоскости. ^[1] Характерным свойством линейных функций является то, что при изменении входной переменной изменение выходного сигнала пропорционально изменению входного сигнала.

Линейные функции связаны с линейными уравнениями .

Характеристики

Линейная функция — это полиномиальная функция , в которой переменная x имеет степень не выше единицы: ^[2]

${\displaystyle f(x)=ax+b}$.

Такая функция называется линейной , потому что ее график , совокупность всех точек декартовой плоскости , представляет собой прямую . Коэффициент а называется наклоном функции и линии (см. ниже). ${\displaystyle (x,f(x))}$

Если наклон равен , то это постоянная функция , определяющая горизонтальную линию, которую некоторые авторы исключают из класса линейных функций. ^[3] Согласно этому определению, степень линейного полинома будет равна ровно единице, а его график будет линией, которая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. Однако в данной статье требуется, чтобы постоянные функции считались линейными. ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle f(x)=b}$ ${\displaystyle a\neq 0}$

Если то линейная функция называется однородной . Такая функция определяет линию, проходящую через начало системы координат, то есть точку . В текстах по продвинутой математике термин « линейная функция» часто обозначает конкретно однородные линейные функции, тогда как термин « аффинная функция» используется для общего случая, который включает в себя . ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$ ${\displaystyle b\neq 0}$

Естественная область определения линейной функции , набор разрешенных входных значений для x , представляет собой весь набор действительных чисел . Можно также рассматривать такие функции с x в произвольном поле , взяв коэффициенты a, b в этом поле. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$

График представляет собой невертикальную линию, имеющую ровно одно пересечение с осью y , ее точку пересечения с осью y . Значение точки пересечения y также называется начальным значением . Если график представляет собой негоризонтальную линию, имеющую ровно одно пересечение с осью y. ось x , точка пересечения x . Значение точки пересечения x - решение уравнения также называется корнем или нулем ${\displaystyle y=f(x)=ax+b}$ ${\displaystyle (x,y)=(0,b).}$ ${\displaystyle y=f(0)=b}$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle a\neq 0,}$ ${\displaystyle (x,y)=(-{\tfrac {b}{a}},0).}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {b}{a}},}$ ${\displaystyle f(x)=0,}$ ${\displaystyle f(x).}$

Склон

Наклон линии — это отношение между изменением x , обозначаемым , и соответствующим изменением y , обозначаемым ${\displaystyle {\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y}$

Наклон невертикальной линии — это число , которое измеряет, насколько круто наклонена линия (подъем-перебег). Если линия представляет собой график линейной функции , этот наклон задается константой a . ${\displaystyle f(x)=ax+b}$

Наклон измеряет постоянную скорость изменения на единицу изменения x : всякий раз, когда входной сигнал x увеличивается на одну единицу, выходной сигнал изменяется на единицу : , и, в более общем случае, для любого числа . Если наклон положительный, то функция возрастает; если , то уменьшается ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x{+}1)=f(x)+a}$ ${\displaystyle f(x{+}\Delta x)=f(x)+a\Delta x}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle a<0}$ ${\displaystyle f(x)}$

В исчислении производная общей функции измеряет скорость ее изменения. Линейная функция имеет постоянную скорость изменения, равную ее наклону a , поэтому ее производная является постоянной функцией . ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ ${\displaystyle f\,'(x)=a}$

Фундаментальная идея дифференциального исчисления состоит в том, что любую гладкую функцию (не обязательно линейную) можно близко аппроксимировать вблизи данной точки уникальной линейной функцией. Производная — это наклон этой линейной функции, а приближение: для . График линейного приближения представляет собой касательную к графику в точке . Наклон производной обычно меняется в зависимости от точки c . Линейные функции можно охарактеризовать как единственные вещественные функции, производная которых постоянна: если для всех x , то для . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle f\,'(c)}$ ${\displaystyle f(x)\approx f\,'(c)(x{-}c)+f(c)}$ ${\displaystyle x\approx c}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle (c,f(c))}$ ${\displaystyle f\,'(c)}$ ${\displaystyle f\,'(x)=a}$ ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ ${\displaystyle b=f(0)}$

Формы наклон-пересечение, точка-наклон и двухточечная форма.

Данную линейную функцию можно записать в виде нескольких стандартных формул, отражающих ее различные свойства. Простейшей является форма пересечения наклона : ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)=ax+b}$,

откуда сразу видно наклон a и начальное значение , которое является точкой пересечения оси y графика . ${\displaystyle f(0)=b}$ ${\displaystyle y=f(x)}$

Учитывая наклон a и одно известное значение , запишем форму наклона точки : ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$

${\displaystyle f(x)=a(x{-}x_{0})+y_{0}}$.

Графически это дает линию с наклоном , проходящую через точку . ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Двухточечная форма начинается с двух известных значений и . Вычисляет наклон и вставляет его в форму наклона точки: ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$ ${\displaystyle f(x_{1})=y_{1}}$ ${\displaystyle a={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}$

${\displaystyle f(x)={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x{-}x_{0}\!)+y_{0}}$.

Его график представляет собой единственную линию, проходящую через точки . Уравнение также можно записать, чтобы подчеркнуть постоянный наклон: ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}\!),(x_{1},y_{1}\!)}$ ${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle {\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}$.

Связь с линейными уравнениями

Линейные функции обычно возникают в результате практических задач, включающих переменные с линейной зависимостью, то есть подчиняющиеся линейному уравнению . Если , можно решить это уравнение относительно y , получив ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle Ax+By=C}$ ${\displaystyle B\neq 0}$

${\displaystyle y=-{\tfrac {A}{B}}x+{\tfrac {C}{B}}=ax+b,}$

где мы обозначаем и . То есть можно рассматривать y как зависимую переменную (выход), полученную из независимой переменной (вход) x посредством линейной функции: . В координатной плоскости xy возможные значения образуют линию — график функции . Если в исходном уравнении результирующая линия вертикальна, ее нельзя записать как . ${\displaystyle a=-{\tfrac {A}{B}}}$ ${\displaystyle b={\tfrac {C}{B}}}$ ${\displaystyle y=f(x)=ax+b}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle B=0}$ ${\displaystyle x={\tfrac {C}{A}}}$ ${\displaystyle y=f(x)}$

Особенности графика можно интерпретировать через переменные x и y . Пересечение оси Y — это начальное значение в точке . Наклон a измеряет скорость изменения выходного сигнала y на единицу изменения входного сигнала x . На графике перемещение на одну единицу вправо (увеличение x на 1) перемещает значение y вверх на a : то есть . Отрицательный наклон a указывает на уменьшение y при каждом увеличении x . ${\displaystyle y=f(x)=ax+b}$ ${\displaystyle y=f(0)=b}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x{+}1)=f(x)+a}$

Например, линейная функция имеет наклон , точку пересечения по оси y и точку пересечения по оси x . ${\displaystyle y=-2x+4}$ ${\displaystyle a=-2}$ ${\displaystyle (0,b)=(0,4)}$ ${\displaystyle (2,0)}$

Пример

Предположим, салями и колбаса стоят 6 и 3 евро за килограмм, а мы хотим купить их на сумму 12 евро. Сколько каждого из них мы можем купить? Если x килограммов салями и y килограммов колбасы стоят в общей сложности 12 евро, то 6 евро × x + 3 евро × y = 12 евро. Решение для y дает форму наклона точки , как указано выше. То есть, если мы сначала выберем количество салями x , количество колбасы можно вычислить как функцию . Поскольку салями стоит в два раза дороже колбасы, добавление одного килограмма салями уменьшает колбасу на 2 килограмма: , а наклон равен −2. Точка пересечения по оси y соответствует покупке всего 4 кг колбасы; а точка пересечения x соответствует покупке всего 2 кг салями. ${\displaystyle y=-2x+4}$ ${\displaystyle y=f(x)=-2x+4}$ ${\displaystyle f(x{+}1)=f(x)-2}$ ${\displaystyle (x,y)=(0,4)}$ ${\displaystyle (x,y)=(2,0)}$

Обратите внимание, что на графике присутствуют точки с отрицательными значениями x или y , которые не имеют смысла с точки зрения исходных переменных (если только мы не представим, что продаем мясо мяснику). Таким образом, нам следует ограничить нашу функцию областью применения . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 2}$

Кроме того, мы могли бы выбрать y в качестве независимой переменной и вычислить x с помощью обратной линейной функции: по области определения . ${\displaystyle x=g(y)=-{\tfrac {1}{2}}y+2}$ ${\displaystyle 0\leq y\leq 4}$

Связь с другими классами функций

Если коэффициент при переменной не равен нулю ( a ≠ 0 ), то линейная функция представляется многочленом степени 1 ( также называемым линейным многочленом ), в противном случае это постоянная функция – тоже полиномиальная функция, но нулевой степени. .

Прямая линия, нарисованная в другой системе координат, может представлять другие функции.

Например, он может представлять собой показательную функцию , когда ее значения выражены в логарифмическом масштабе . Это означает, что когда log ( g ( x )) является линейной функцией от x , функция g является экспоненциальной. В случае линейных функций увеличение входных данных на одну единицу приводит к увеличению выходных данных на фиксированную величину, которая представляет собой наклон графика функции. В экспоненциальных функциях увеличение входных данных на одну единицу приводит к увеличению выходных данных на фиксированное кратное число, которое известно как основание экспоненциальной функции.

Если и аргументы , и значения функции находятся в логарифмическом масштабе (т. е. когда log ( y ) является линейной функцией log ( x ) ), то прямая линия представляет собой степенной закон :

${\displaystyle \log _{r}y=a\log _{r}x+b\quad \Rightarrow \quad y=r^{b}\cdot x^{a}}$

Архимедова спираль, определяемая полярным уравнением r = 1 ⁄ 2 θ + 2

С другой стороны, график линейной функции в полярных координатах :

${\displaystyle r=f(\theta )=a\theta +b}$

является архимедовой спиралью в противном случае и кругом в противном случае. ${\displaystyle a\neq 0}$

Смотрите также

• Аффинное отображение , обобщение
• Арифметическая прогрессия , линейная функция целочисленного аргумента

Примечания

1. Стюарт 2012, с. 23
2. Стюарт 2012, с. 24
3. Своковски 1983, с. 34

Рекомендации

• Джеймс Стюарт (2012), Исчисление: ранние трансценденталии , издание 7E, Брукс/Коул. ISBN  978-0-538-49790-9
• Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Бостон: Приндл, Вебер и Шмидт, ISBN 0871503417

Внешние ссылки

• https://web.archive.org/web/20130524101825/http://www.math.okstate.edu/~noell/ebsm/linear.html
• https://web.archive.org/web/20180722042342/https://corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standards.pdf