Линейный континуум

В математической области теории порядка континуум или линейный континуум является обобщением действительной линии .

Формально линейный континуум — это линейно упорядоченное множество S из более чем одного элемента, которое является плотно упорядоченным , т. е. между любыми двумя различными элементами есть другой (и, следовательно, бесконечно много других), и полным , т. е. которое «не имеет пробелов» в том смысле, что каждое непустое подмножество с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу . Более символично:

S имеет свойство наименьшей верхней границы , и
Для каждого x в S и каждого y в S с x < y , существует z в S, такой что x < z < y

Множество имеет свойство наименьшей верхней границы, если каждое непустое подмножество множества, ограниченное сверху, имеет наименьшую верхнюю границу в множестве. Линейные континуумы особенно важны в области топологии , где они могут использоваться для проверки того, является ли упорядоченное множество, заданное топологией порядка , связным или нет. ^[1]

В отличие от стандартной действительной линии, линейный континуум может быть ограничен с любой стороны: например, любой (действительный) замкнутый интервал является линейным континуумом.

Примеры

Упорядоченное множество действительных чисел , R , с его обычным порядком является линейным континуумом и является архетипическим примером. Свойство b) тривиально, а свойство a) является просто переформулировкой аксиомы полноты .

Примеры в дополнение к реальным числам:

множества, которые по порядку изоморфны множеству действительных чисел, например, действительный открытый интервал , и то же самое с полуоткрытыми промежутками (обратите внимание, что они не являются промежутками в указанном выше смысле)
аффинно расширенная система действительных чисел и порядково-изоморфные множества, например единичный интервал
множество действительных чисел с добавлением только +∞ или только −∞, а также порядково-изоморфные множества, например полуоткрытый интервал
длинная очередь
Множество I × I (где × обозначает декартово произведение , а I = [0, 1]) в лексикографическом порядке является линейным континуумом. Свойство b) тривиально. Для проверки свойства a) определим отображение π ₁ : I × I → I следующим образом:

π ₁ ( х , у ) = х

Это отображение известно как отображение проекции . Отображение проекции непрерывно (относительно топологии произведения на I × I ) и является сюръективным . Пусть A будет непустым подмножеством I × I , которое ограничено сверху. Рассмотрим π ₁ ( A ). Поскольку A ограничено сверху, π ₁ ( A ) также должно быть ограничено сверху. Поскольку π ₁ ( A ) является подмножеством I , оно должно иметь наименьшую верхнюю границу (так как I обладает свойством наименьшей верхней границы). Следовательно, мы можем позволить b быть наименьшей верхней границей π ₁ ( A ). Если b принадлежит π ₁ ( A ), то b × I пересечет A , скажем, в точке b × c для некоторого c ∈ I . Обратите внимание , что поскольку b × I имеет тот же тип порядка , что и I , множество ( b × I ) ∩ A действительно будет иметь наименьшую верхнюю границу b × c' , которая является искомой наименьшей верхней границей для A.

Если b не принадлежит π ₁ ( A ), то b × 0 является наименьшей верхней границей A , поскольку если d < b , а d × e является верхней границей A , то d будет меньшей верхней границей π ₁ ( A ), чем b , что противоречит уникальному свойству b .

Не примеры

Упорядоченное множество Q рациональных чисел не является линейным континуумом. Несмотря на то, что свойство b) выполняется, свойство a) — нет. Рассмотрим подмножество

А = { х ∈ Q | х < √ 2 }

множества рациональных чисел. Несмотря на то, что это множество ограничено сверху любым рациональным числом, большим √ 2 (например, 3), оно не имеет наименьшей верхней границы среди рациональных чисел. ^[2] (В частности, для любой рациональной верхней границы r > √ 2 , r /2 + 1/ r является более близкой рациональной верхней границей; подробности в Методы вычисления квадратных корней § Метод Герона .)

Упорядоченное множество неотрицательных целых чисел с его обычным порядком не является линейным континуумом. Свойство a) выполняется (пусть A будет подмножеством множества неотрицательных целых чисел, ограниченным сверху. Тогда A конечно , поэтому оно имеет максимум, и этот максимум является желаемой наименьшей верхней границей A ). С другой стороны, свойство b) не выполняется. Действительно, 5 является неотрицательным целым числом, как и 6, но не существует неотрицательного целого числа, которое лежит строго между ними.
Упорядоченное множество A ненулевых действительных чисел

А = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)

не является линейным континуумом. Свойство b) выполняется тривиально. Однако, если B — множество отрицательных действительных чисел:

В = (−∞, 0)

тогда B является подмножеством A , которое ограничено сверху (любым элементом A , большим 0; например, 1), но не имеет наименьшей верхней границы в B. Обратите внимание, что 0 не является границей для B , поскольку 0 не является элементом A.

Пусть Z ₋ обозначает множество отрицательных целых чисел и пусть A = (0, 5) ∪ (5, +∞). Пусть

S = Z ₋ ∪ A .

Тогда S не удовлетворяет ни свойству а), ни свойству б). Доказательство аналогично предыдущим примерам.

Топологические свойства

Хотя линейные континуумы важны в изучении упорядоченных множеств , они имеют приложения в математической области топологии . Фактически, мы докажем, что упорядоченное множество в топологии порядка связно тогда и только тогда, когда оно является линейным континуумом. Мы докажем одно следствие, а другое оставим в качестве упражнения. (Мункрес объясняет вторую часть доказательства в [ ^3] )

Теорема

Пусть X — упорядоченное множество в топологии порядка. Если X связно, то X — линейный континуум.

Доказательство:

Предположим, что x и y являются элементами X с x < y . Если не существует z в X такого, что x < z < y , рассмотрим множества:

А = (−∞, у )

В = ( х , +∞)

Эти множества не пересекаются (если a принадлежит A , то a < y , так что если a принадлежит B , то a > x и a < y , что невозможно по предположению), непусты ( x принадлежит A , а y принадлежит B ) и открыты (в топологии порядка), а их объединение равно X. Это противоречит связности X.

Теперь докажем свойство наименьшей верхней границы. Если C — подмножество X , ограниченное сверху и не имеющее наименьшей верхней границы, пусть D — объединение всех открытых лучей вида ( b , +∞), где b — верхняя граница для C. Тогда D открыто (так как это объединение открытых множеств) и замкнуто (если a не принадлежит D , то a < b для всех верхних границ b множества C, так что мы можем выбрать q > a , такое, что q принадлежит C (если такого q не существует, a — наименьшая верхняя граница C ), то можно выбрать открытый интервал, содержащий a , который не пересекает D ). Поскольку D непусто (существует более одной верхней границы D , поскольку если бы была ровно одна верхняя граница s , s была бы наименьшей верхней границей. Тогда если b ₁ и b ₂ — две верхние границы D с b ₁ < b ₂ , b ₂ будет принадлежать D ), D и его дополнение вместе образуют разделение на X . Это противоречит связности X.

Приложения теоремы

Поскольку упорядоченное множество A = (−∞, 0) U (0,+∞) не является линейным континуумом, оно несвязно.
Применяя только что доказанную теорему, получаем, что R связно. Фактически любой интервал (или луч) в R также связен.
Множество целых чисел не является линейным континуумом и поэтому не может быть связано.
В самом деле, если упорядоченное множество в топологии порядка является линейным континуумом, оно должно быть связным. Поскольку любой интервал в этом множестве также является линейным континуумом, то отсюда следует, что это пространство локально связно , поскольку имеет базис, состоящий исключительно из связных множеств.
Пример топологического пространства , представляющего собой линейный континуум, см. в статье длинная линия .

Смотрите также

Ссылки

^ Манкрес, Джеймс (2000). Топология, 2-е изд . Pearson Education . стр. 31, 153. ISBN 0-13-181629-2.
^ Харди, Г. Х. (1952). Курс чистой математики, 10-е изд . Cambridge University Press . С. 11–15, 24–31. ISBN 0-521-09227-2.
^ Манкрес, Джеймс (2000). Топология, 2-е изд . Pearson Education. стр. 153–154. ISBN 0-13-181629-2.