В геометрии и топологии , бесконечно удаленная линия является проективной линией , которая добавляется к действительной (аффинной) плоскости , чтобы замкнуть и удалить исключительные случаи из свойств инцидентности результирующей проективной плоскости . Бесконечно удаленная линия также называется идеальной линией . [1]
В проективной геометрии любая пара прямых всегда пересекается в некоторой точке, но параллельные прямые не пересекаются в действительной плоскости. Прямая на бесконечности добавляется к действительной плоскости. Это завершает плоскость, потому что теперь параллельные прямые пересекаются в точке, которая лежит на прямой на бесконечности. Кроме того, если любая пара прямых не пересекается в точке на прямой, то пара прямых является параллельной.
Каждая линия пересекает линию в бесконечности в некоторой точке. Точка пересечения параллельных линий зависит только от наклона линий , а не от их пересечения с осью Y.
В аффинной плоскости линия простирается в двух противоположных направлениях. В проективной плоскости два противоположных направления линии встречаются в точке на линии в бесконечности. Следовательно, линии в проективной плоскости являются замкнутыми кривыми , т. е. они цикличны, а не линейны. Это верно для самой линии в бесконечности; она встречается сама с собой в двух своих конечных точках (которые, следовательно, на самом деле не являются конечными точками), и поэтому она на самом деле циклична.
Линию на бесконечности можно представить как окружность, которая охватывает аффинную плоскость. Однако диаметрально противоположные точки окружности эквивалентны — это одна и та же точка. Сочетание аффинной плоскости и линии на бесконечности образует действительную проективную плоскость , .
Гиперболу можно рассматривать как замкнутую кривую , которая пересекает линию на бесконечности в двух разных точках. Эти две точки определяются наклонами двух асимптот гиперболы. Аналогично, параболу можно рассматривать как замкнутую кривую, которая пересекает линию на бесконечности в одной точке. Эта точка определяется наклоном оси параболы. Если параболу разрезать вершиной на симметричную пару «рогов», то эти два рога становятся более параллельными друг другу по мере удаления от вершины и фактически параллельны оси и друг другу на бесконечности, так что они пересекаются на линии на бесконечности.
Аналогом комплексной проективной плоскости является «прямая» на бесконечности, которая (естественно) является комплексной проективной прямой . Топологически это совсем другое, поскольку это сфера Римана , которая, следовательно, является 2- сферой , добавляемой к комплексному аффинному пространству двух измерений над C (то есть четыре действительных измерения), что приводит к четырехмерному компактному многообразию . Результат является ориентируемым , в то время как действительная проективная плоскость — нет.
Комплексная линия на бесконечности широко использовалась в геометрии девятнадцатого века. Фактически, одним из наиболее применяемых приемов было рассмотрение окружности как конического сечения , ограниченного прохождением через две точки на бесконечности, решения
Это уравнение представляет собой форму, которую принимает уравнение любой окружности, когда мы отбрасываем члены низшего порядка в X и Y. Более формально, мы должны использовать однородные координаты
и обратите внимание, что линия в бесконечности задается установкой
Сделав уравнения однородными путем введения степеней Z и последующего определения Z = 0, мы в точности устраним члены низшего порядка.
Решая уравнение, мы находим, что все окружности «проходят» через бесконечно удаленные точки окружности.
Конечно, это сложные точки, для любого представляющего набора однородных координат. Поскольку проективная плоскость имеет достаточно большую группу симметрии , они никоим образом не являются особыми. Вывод состоит в том, что трехпараметрическое семейство окружностей можно рассматривать как особый случай линейной системы коник , проходящих через две заданные различные точки P и Q.
