В математике фазовая линия — это диаграмма, показывающая качественное поведение автономного обыкновенного дифференциального уравнения с одной переменной . Фазовая линия представляет собой одномерную форму общего -мерного фазового пространства и может быть легко проанализирована.
Линия, обычно вертикальная, представляет интервал области определения производной . Критические точки (т. е. корни производной , точки такие, что ) указаны, а интервалы между критическими точками имеют знаки, указанные стрелками: интервал, на котором производная положительна, имеет стрелку, указывающую в положительном направлении вдоль линию (вверх или вправо), а интервал, на котором производная отрицательна, отмечен стрелкой, указывающей в отрицательном направлении вдоль линии (вниз или влево). Фазовая линия идентична по форме линии, использованной в первом тесте производной , за исключением того, что она нарисована вертикально, а не горизонтально, и интерпретация практически идентична, с той же классификацией критических точек.
Простейшими примерами фазовых линий являются тривиальные фазовые линии, соответствующие функциям, не меняющим знака: если , то каждая точка является устойчивым равновесием ( не меняется); если для всех , то всегда возрастает, а если то всегда убывает.
Простейшими нетривиальными примерами являются модель экспоненциального роста /распада (одно нестабильное/стабильное равновесие) и модель логистического роста (два равновесия, одно стабильное, одно нестабильное).
Критическая точка может быть классифицирована как стабильная, нестабильная или полустабильная (эквивалентно стоку, источнику или узлу) путем проверки соседних с ней стрелок.
Если обе стрелки направлены в сторону критической точки, она устойчива (сток): ближайшие решения будут асимптотически сходиться к критической точке, а решение устойчиво при малых возмущениях, то есть, если решение будет возмущено, оно вернется к (сойдется к) решение.
Если обе стрелки направлены в сторону от критической точки, она неустойчива (источник): близлежащие решения будут расходиться от критической точки, и решение неустойчиво при малых возмущениях, то есть, если решение будет возмущено, оно не вернется в исходное состояние. решение.
В противном случае - если одна стрелка указывает на критическую точку, а другая - в сторону - она полустабильна (узел): она стабильна в одном направлении (где стрелка указывает на точку) и неустойчива в другом направлении (где стрелка направлена в сторону от точки).
