Пересечение

Концепция в математике

Пересечение (красный) двух дисков (белого и красного с черными границами).

Круг (черный ) пересекает линию (фиолетовый) в двух точках (красный). Диск (желтый) пересекает линию на отрезке между двумя красными точками.

Пересечение D и E показано серовато-фиолетовым цветом. Пересечение A с любым из B, C, D или E представляет собой пустое множество .

В математике пересечение двух или более объектов — это другой объект , состоящий из всего, что содержится во всех объектах одновременно. Например, в евклидовой геометрии , когда две прямые на плоскости не параллельны, их пересечением является точка , в которой они встречаются. В более общем смысле, в теории множеств пересечение множеств определяется как набор элементов , принадлежащих им всем. В отличие от евклидова определения, это не предполагает, что рассматриваемые объекты лежат в общем пространстве .

Пересечение — одно из основных понятий геометрии . Пересечение может иметь различные геометрические формы , но наиболее распространенной в плоской геометрии является точка . Геометрия инцидентности определяет пересечение (обычно плоских ) как объект меньшей размерности , инцидентный каждому из исходных объектов. При таком подходе пересечение иногда может быть неопределенным, например, для параллельных линий . В обоих случаях концепция пересечения опирается на логическое соединение . Алгебраическая геометрия определяет пересечения по-своему, как и теория пересечений .

Уникальность

Может существовать более одного примитивного объекта, например точек (на рисунке выше), образующих пересечение. Пересечение можно рассматривать вместе как все общие объекты (т. е. в результате операции пересечения создается набор , возможно, пустой) или как несколько объектов пересечения ( возможно, нулевой ).

В теории множеств

Если считать, что дорога соответствует множеству всех ее местоположений, пересечение (голубой) двух дорог (зеленой, синей) соответствует пересечению их наборов.

Пересечение двух множеств A и B — это набор элементов, которые находятся как в A , так и в B. Формально,

${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}}$. ^[1]

Например, если и , то . Более сложный пример (с участием бесконечных множеств): ${\displaystyle A=\{1,3,5,7\}}$ ${\displaystyle B=\{1,2,4,6\}}$ ${\displaystyle A\cap B=\{1\}}$

${\displaystyle A=\{x:{\text{ x is an even integer}}\}}$

${\displaystyle B=\{x:{\text{ x is an integer divisible by 3}}\}}$ ${\displaystyle {\text{ , then}}}$

${\displaystyle A\cap B=\{6,12,18,\dots \}}$

Другой пример: число 5 не содержится в пересечении множества простых чисел {2, 3, 5, 7, 11,...} и множества четных чисел {2, 4, 6, 8, 10,... } , потому что хотя 5 и является простым числом, оно не четное. Фактически число 2 — единственное число на пересечении этих двух множеств. В данном случае пересечение имеет математический смысл: число 2 — единственное четное простое число.

В геометрии

Красная точка обозначает точку пересечения двух линий.

В геометрии пересечение — это точка, линия или кривая, общая для двух или более объектов (таких как линии, кривые, плоскости и поверхности). Простейшим случаем в евклидовой геометрии является пересечение прямой между двумя различными прямыми , которое либо является одной точкой (иногда называемой вершиной ), либо не существует (если линии параллельны ). Другие типы геометрического пересечения включают:

• Пересечение линии и плоскости
• Пересечение линии и сферы
• Пересечение многогранника прямой
• Пересечение сегментов линии
• Кривая пересечения

Определение пересечения квартир — линейных геометрических объектов, вложенных в многомерное пространство , — это простая задача линейной алгебры , а именно решение системы линейных уравнений . В общем, определение пересечения приводит к нелинейным уравнениям , которые можно решить численно , например, с помощью итерации Ньютона . Задачи пересечения прямой и конического сечения (округа, эллипса, параболы и т. д.) или квадрики (сферы, цилиндра, гиперболоида и т. д.) приводят к легко решаемым квадратным уравнениям . Пересечения квадрик приводят к уравнениям четвертой степени , которые можно решать алгебраически .

Обозначения

Пересечение обозначается U+2229 ∩ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ из математических операторов Юникода .

Символ U+2229 ∩ Впервые был использован Германом Грассманном в Die Ausdehnungslehre von 1844 как общий символ операции, не предназначенный для пересечения. Оттуда он был использован Джузеппе Пеано (1858–1932) для пересечения в 1888 году в Calcolo Geometryo Secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann . ^{[2] [3]}

Пеано также создал большие символы для общего пересечения и объединения более чем двух классов в своей книге Formulario mathematico 1908 года . ^{[4] [5]}

Смотрите также

• Конструктивная твердотельная геометрия , логическое пересечение — один из способов объединения 2D/3D-форм.
• Расширенная по размерам модель с 9 пересечениями
• Знакомьтесь (теория решеток)
• Пересечение (теория множеств)
• Союз (теория множеств)

Рекомендации

1. Верещагин, Николай Константинович; Шен, Александр (1 января 2002 г.). Базовая теория множеств. Американское математическое соц. ISBN 9780821827314.
2. Пеано, Джузеппе (1 января 1888 г.). Calcolo Geometry Secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann: Preceduto dalleoperazioni della Logica deduttiva (на итальянском языке). Турин: Фрателли Бокка .
3. Каджори, Флориан (1 января 2007 г.). История математических обозначений. Турин: ISBN Cosimo, Inc. 9781602067141.
4. Пеано, Джузеппе (1 января 1908 г.). Formulario mathematico, том V (на итальянском языке). Турин: Edizione cremonese (факсимиле-перепечатка в Риме, 1960). п. 82. ОСЛК  23485397.
5. Самое раннее использование символов теории множеств и логики

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Пересечение». Математический мир .