Мировой лист

Математическая концепция

В теории струн мировая поверхность — это двумерное многообразие , описывающее вложение струны в пространство-время . ^[1] Термин был введен Леонардом Сасскиндом ^[2] как прямое обобщение концепции мировой линии для точечной частицы в специальной и общей теории относительности .

Тип струны, геометрия пространства-времени, в котором она распространяется, и наличие дальнодействующих фоновых полей (таких как калибровочные поля ) закодированы в двумерной конформной теории поля, определенной на мировом листе. Например, бозонная струна в 26 измерениях имеет конформную теорию поля на мировом листе, состоящую из 26 свободных скалярных бозонов . Между тем, суперструнная теория мирового листа в 10 измерениях состоит из 10 свободных скалярных полей и их фермионных суперпартнеров .

Математическая формулировка

Бозонная струна

Начнем с классической формулировки бозонной струны.

Сначала зафиксируем -мерное плоское пространство-время ( -мерное пространство Минковского ), которое служит окружающим пространством для струны. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$

Мировой лист тогда является вложенной поверхностью , то есть вложенным 2-многообразием , таким образом, что индуцированная метрика имеет сигнатуру везде. Следовательно, можно локально определить координаты, где является временным, а является пространственно-подобным . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma \hookrightarrow M}$ ${\displaystyle (-,+)}$ ${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$

Струны далее классифицируются на открытые и закрытые. Топология мирового листа открытой струны — это , где , замкнутый интервал, и допускает глобальную координатную карту с и . ${\displaystyle \mathbb {R} \times I}$ ${\displaystyle I:=[0,1]}$ ${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$ ${\displaystyle -\infty <\tau <\infty }$ ${\displaystyle 0\leq \sigma \leq 1}$

Между тем топология мирового листа замкнутой струны ^[3] есть , и допускает «координаты» с и . То есть, является периодической координатой с идентификацией . Избыточное описание (с использованием частных) можно удалить, выбрав представителя . ${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{1}}$ ${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$ ${\displaystyle -\infty <\tau <\infty }$ ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma \sim \sigma +2\pi }$ ${\displaystyle 0\leq \sigma <2\pi }$

Метрика мирового листа

Для определения действия Полякова мировой лист снабжается метрикой мирового листа ^[4] , которая также имеет сигнатуру, но не зависит от индуцированной метрики. ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle (-,+)}$

Поскольку преобразования Вейля считаются избыточностью метрической структуры, мировой лист вместо этого считается снабженным конформным классом метрик . Затем определяет данные конформного многообразия с сигнатурой . ${\displaystyle [\mathbf {g} ]}$ ${\displaystyle (\Sigma ,[\mathbf {g} ])}$ ${\displaystyle (-,+)}$

Ссылки

1. Ди Франческо, Филипп; Матье, Пьер; Сенешаль, Дэвид (1997). Конформная теория поля . п. 8. дои : 10.1007/978-1-4612-2256-9. ISBN 978-1-4612-2256-9.
2. Сасскинд, Леонард (1970). «Дуально-симметричная теория адронов, I». Nuovo Cimento A. 69 ( 1): 457–496.
3. Тонг, Дэвид. "Лекции по теории струн". Лекции по теоретической физике . Получено 14 августа 2022 г.
4. Полчински, Джозеф (1998). Теория струн, том 1: Введение в бозонную струну .