В алгебре тождество Брахмагупты говорит , что для данного произведение двух чисел формы само по себе является числом этой формы. Другими словами, множество таких чисел замкнуто относительно умножения. Конкретно:
И (1), и (2) можно проверить, расширив каждую часть уравнения. Кроме того, (2) можно получить из (1) или (1) из (2), заменив b на − b .
Это тождество справедливо как в кольце целых чисел , так и в кольце рациональных чисел и, в более общем плане, в любом коммутативном кольце .
Тождество является обобщением так называемого тождества Фибоначчи (где n = 1), которое фактически встречается в «Арифметике » Диофанта (III, 19). Это тождество было вновь открыто Брахмагуптой (598–668), индийским математиком и астрономом , который обобщил его и использовал в своем исследовании того, что сейчас называется уравнением Пелла . Его «Брахмасфутасиддханта» была переведена с санскрита на арабский Мохаммадом аль-Фазари , а затем переведена на латынь в 1126 году. [1] Позднее это тождество появилось в «Книге квадратов» Фибоначчи в 1225 году.
В исходном контексте Брахмагупта применил свое открытие к решению того, что позже было названо уравнением Пелла , а именно x 2 − Ny 2 = 1. Используя тождество в форме
он смог «составить» тройки ( x 1 , y 1 , k 1 ) и ( x 2 , y 2 , k 2 ), которые были решениями x 2 − Ny 2 = k , чтобы сгенерировать новую тройку
Это не только дало возможность генерировать бесконечное множество решений задачи x 2 − Ny 2 = 1, начиная с одного решения, но также, разделив такую композицию на k 1 k 2 , часто можно было получить целые или «почти целые» решения. . На этом тождестве был основан и общий метод решения уравнения Пелля, данный Бхаскаром II в 1150 году, а именно метод чакравалы (циклический) . [2]
