Логарифм матрицы

Математическая операция над обратимыми матрицами

В математике логарифм матрицы — это другая матрица , такая что матричная экспонента последней матрицы равна исходной матрице. Таким образом, это обобщение скалярного логарифма и в некотором смысле обратная функция матричной экспоненты . Не все матрицы имеют логарифм, и те матрицы, которые имеют логарифм, могут иметь более одного логарифма. Изучение логарифмов матриц приводит к теории Ли, поскольку, когда матрица имеет логарифм, то она находится в элементе группы Ли , а логарифм является соответствующим элементом векторного пространства алгебры Ли .

Определение

Экспонента матрицы A определяется как

${\displaystyle e^{A}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}}$.

Для данной матрицы B другая матрица A называется матричным логарифмом B , если e ^A = B.

Поскольку экспоненциальная функция не является биективной для комплексных чисел (например, ), числа могут иметь несколько комплексных логарифмов, и, как следствие этого, некоторые матрицы могут иметь более одного логарифма, как объясняется ниже. Если матричный логарифм существует и является уникальным, то он записывается как в этом случае ${\displaystyle e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \log B,}$ ${\displaystyle e^{\log B}=B.}$

Выражение степенного ряда

Если B достаточно близка к единичной матрице, то логарифм B можно вычислить с помощью степенного ряда

${\displaystyle \log(B)=\log(I+(B-I))=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}(B-I)^{k}=(B-I)-{\frac {(B-I)^{2}}{2}}+{\frac {(B-I)^{3}}{3}}-\cdots }$,

что можно переписать как

${\displaystyle \log(B)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(I-B)^{k}}{k}}=-(I-B)-{\frac {(I-B)^{2}}{2}}-{\frac {(I-B)^{3}}{3}}-\cdots }$.

В частности, если , то предыдущий ряд сходится и . ^[1] ${\displaystyle \left\|I-B\right\|<1}$ ${\displaystyle e^{\log(B)}=B}$

Пример: Логарифм поворотов на плоскости.

Вращения в плоскости дают простой пример. Вращение на угол α вокруг начала координат представлено матрицей 2×2

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}.}$

Для любого целого числа n матрица

${\displaystyle B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}},}$

является логарифмом числа A.

Таким образом, матрица A имеет бесконечно много логарифмов. Это соответствует тому факту, что угол поворота определяется только с точностью до кратных 2π .

На языке теории Ли матрицы вращения A являются элементами группы Ли SO(2) . Соответствующие логарифмы B являются элементами алгебры Ли so(2), которая состоит из всех кососимметричных матриц . Матрица

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}}$

является генератором алгебры Ли so(2).

Существование

Вопрос о том, имеет ли матрица логарифм, имеет самый простой ответ, если рассматривать его в комплексной постановке. Комплексная матрица имеет логарифм тогда и только тогда, когда она обратима . ^[2] Логарифм не является уникальным, но если матрица не имеет отрицательных действительных собственных значений , то существует уникальный логарифм, все собственные значения которого лежат в полосе . Этот логарифм известен как главный логарифм . ^[3] ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \ \vert \ -\pi <{\textit {Im}}\ z<\pi \}}$

Ответ более сложен в реальной обстановке. Действительная матрица имеет действительный логарифм тогда и только тогда, когда она обратима и каждый жорданов блок, принадлежащий отрицательному собственному значению, встречается четное число раз. ^[4] Если обратимая действительная матрица не удовлетворяет условию с жордановыми блоками, то она имеет только недействительные логарифмы. Это уже можно увидеть в скалярном случае: ни одна ветвь логарифма не может быть действительной при -1. Существование действительных матричных логарифмов действительных матриц 2×2 рассматривается в следующем разделе.

Характеристики

Если A и B — положительно определенные матрицы , то

${\displaystyle \operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}}.}$

Предположим, что A и B коммутируют, что означает, что AB = BA . Тогда

${\displaystyle \log {(AB)}=\log {(A)}+\log {(B)}}$

тогда и только тогда , когда , где — собственное значение и — соответствующее собственное значение . [ ^5] В частности, когда A и B коммутируют и оба являются положительно определенными . Положение B = A ⁻¹ в этом уравнении дает ${\displaystyle \operatorname {arg} (\mu _{j})+\operatorname {arg} (\nu _{j})\in (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \mu _{j}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu _{j}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \log(AB)=\log(A)+\log(B)}$

${\displaystyle \log {(A^{-1})}=-\log {(A)}.}$

Аналогично, для некоммутирующих и можно показать, что ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \log {(A+tB)}=\log {(A)}+t\int _{0}^{\infty }dz~{\frac {I}{A+zI}}B{\frac {I}{A+zI}}+O(t^{2}).}$

В более общем случае разложение ряда по степеням можно получить, используя интегральное определение логарифма ${\displaystyle \log {(A+tB)}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \log {(X+\lambda I)}-\log {(X)}=\int _{0}^{\lambda }dz{\frac {I}{X+zI}},}$

применяется к обоим и в пределе . ${\displaystyle X=A}$ ${\displaystyle X=A+tB}$ ${\displaystyle \lambda \rightarrow \infty }$

Еще один пример: логарифм вращения в трехмерном пространстве.

Вращение R ∈ SO(3) в ³ задается ортогональной матрицей 3×3 . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Логарифм такой матрицы вращения R можно легко вычислить из антисимметричной части формулы вращения Родригеса , явно в Axis angle . Это дает логарифм минимальной нормы Фробениуса , но не работает, когда R имеет собственные значения, равные −1, где это не является уникальным.

Далее отметим, что, учитывая матрицы вращения A и B ,

${\displaystyle d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\text{T}}B)\|_{F}}$

— геодезическое расстояние на трехмерном многообразии матриц вращения.

Вычисление логарифма диагонализуемой матрицы

Метод нахождения log A для диагонализуемой матрицы A следующий:

Найдите матрицу V собственных векторов матрицы A (каждый столбец матрицы V является собственным вектором матрицы A ).

Найдите обратное значение V ⁻¹ для V .

Позволять

${\displaystyle A'=V^{-1}AV.}$

Тогда A ′ будет диагональной матрицей, диагональные элементы которой являются собственными значениями A .

Заменим каждый диагональный элемент A ′ его (натуральным) логарифмом, чтобы получить . ${\displaystyle \log A'}$

Затем

${\displaystyle \log A=V(\log A')V^{-1}.}$

То, что логарифм A может быть комплексной матрицей, даже если A является действительным, следует из того факта, что матрица с действительными и положительными элементами может, тем не менее, иметь отрицательные или даже комплексные собственные значения (это верно, например, для матриц вращения ). Неединственность логарифма матрицы следует из неединственности логарифма комплексного числа.

Логарифм недиагонализуемой матрицы

Приведенный выше алгоритм не работает для недиагонализуемых матриц, таких как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Для таких матриц необходимо найти ее разложение Жордана и вместо вычисления логарифма диагональных элементов, как выше, можно вычислить логарифм жордановых блоков .

Последнее достигается путем заметания того, что можно записать блок Жордана как

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)}$

где K — матрица с нулями на главной диагонали и под ней. (Число λ отлично от нуля в силу предположения, что матрица, логарифм которой мы пытаемся взять, обратима.)

Затем, по серии Меркатора

${\displaystyle \log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

один получает

${\displaystyle \log B=\log {\big (}\lambda (I+K){\big )}=\log(\lambda I)+\log(I+K)=(\log \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots }$

Этот ряд имеет конечное число членов ( K ^m равно нулю, если m равно или больше размерности K ), поэтому его сумма определена корректно.

Пример. Используя этот подход, можно найти

${\displaystyle \log {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},}$

что можно проверить, подставив правую часть в матричную экспоненту: $${\displaystyle \exp {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}=I+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{\frac {1}{2}}\underbrace {{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}^{2}} _{=0}+\cdots ={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$$

Перспектива функционального анализа

Квадратная матрица представляет собой линейный оператор в евклидовом пространстве R ⁿ , где n — размерность матрицы. Поскольку такое пространство конечномерно, этот оператор фактически ограничен .

Используя инструменты голоморфного функционального исчисления , если задана голоморфная функция f, определенная на открытом множестве в комплексной плоскости , и ограниченный линейный оператор T , можно вычислить f ( T ), если f определена на спектре T .

Функция f ( z ) = log z может быть определена на любом односвязном открытом множестве в комплексной плоскости, не содержащем начало координат, и она голоморфна на такой области. Это означает, что можно определить ln T до тех пор, пока спектр T не содержит начало координат и существует путь, идущий от начала координат до бесконечности, не пересекающий спектр T (например, если спектр T представляет собой окружность с началом координат внутри нее, то невозможно определить ln T ).

Спектр линейного оператора на R ⁿ представляет собой множество собственных значений его матрицы, и, таким образом, является конечным множеством. Пока начало координат не находится в спектре (матрица обратима), условие пути из предыдущего абзаца выполняется, и ln T корректно определено. Неединственность логарифма матрицы следует из того факта, что можно выбрать более одной ветви логарифма, которая определена на множестве собственных значений матрицы.

Перспектива теории групп Ли

В теории групп Ли существует экспоненциальное отображение алгебры Ли в соответствующую группу Ли G ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\rightarrow G.}$

Для матричных групп Ли элементы и G являются квадратными матрицами, а экспоненциальное отображение задается матричной экспонентой . Обратное отображение является многозначным и совпадает с обсуждаемым здесь матричным логарифмом. Логарифм отображает группу Ли G в алгебру Ли . Обратите внимание, что экспоненциальное отображение является локальным диффеоморфизмом между окрестностью U нулевой матрицы и окрестностью V единичной матрицы . ^[7] Таким образом, (матричный) логарифм хорошо определен как отображение, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \log =\exp ^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\underline {0}}\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\underline {1}}\in G}$

${\displaystyle \log :G\supset V\rightarrow U\subset {\mathfrak {g}}.}$

Важным следствием формулы Якоби является то, что

${\displaystyle \log(\det(A))=\mathrm {tr} (\log A)~.}$

Ограничения в случае 2 × 2

Если действительная матрица 2 × 2 имеет отрицательный определитель , то она не имеет действительного логарифма. Сначала отметим, что любая действительная матрица 2 × 2 может рассматриваться как один из трех типов комплексного числа z = x + y ε , где ε ² ∈ { −1, 0, +1 }. Это z является точкой на комплексной подплоскости кольца матриц . ^[8]

Случай, когда определитель отрицателен, возникает только в плоскости с ε ² =+1, то есть в плоскости расщепленных комплексных чисел . Только одна четверть этой плоскости является образом экспоненциального отображения, поэтому логарифм определен только в этой четверти (квадранте). Остальные три квадранта являются образами этого под действием четверной группы Клейна, порожденной ε и −1.

Например, пусть a = log 2 ; тогда cosh a = 5/4 и sinh a = 3/4. Для матриц это означает, что

${\displaystyle A=\exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.25&0.75\\0.75&1.25\end{pmatrix}}}$.

Итак, эта последняя матрица имеет логарифм

${\displaystyle \log A={\begin{pmatrix}0&\log 2\\\log 2&0\end{pmatrix}}}$.

Однако эти матрицы не имеют логарифма:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3/4&5/4\\5/4&3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-3/4&-5/4\\-5/4&-3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-5/4&-3/4\\-3/4&-5/4\end{pmatrix}}}$.

Они представляют три других сопряженных числа по четверичной группе матрицы выше, которая имеет логарифм.

Невырожденная матрица 2 × 2 не обязательно имеет логарифм, но она сопряжена четверичной группой с матрицей, которая имеет логарифм.

Из этого также следует, что, например, квадратный корень этой матрицы A можно получить непосредственно возведением в степень (log A )/2,

${\displaystyle {\sqrt {A}}={\begin{pmatrix}\cosh((\log 2)/2)&\sinh((\log 2)/2)\\\sinh((\log 2)/2)&\cosh((\log 2)/2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.06&0.35\\0.35&1.06\end{pmatrix}}~.}$

Для более богатого примера начнем с пифагорейской тройки ( p,q,r ) и пусть a = log( p + r ) − log q . Тогда

${\displaystyle e^{a}={\frac {p+r}{q}}=\cosh a+\sinh a}$.

Сейчас

${\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r/q&p/q\\p/q&r/q\end{pmatrix}}}$.

Таким образом

${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}{\begin{pmatrix}r&p\\p&r\end{pmatrix}}}$

имеет логарифмическую матрицу

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}}$ ,

где a = log( p + r ) − log q .

Смотрите также

• Матричная функция
• Квадратный корень матрицы
• Матрица экспоненциальная
• Формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа
• Производная экспоненциального отображения

Примечания

1. Холл 2015 Теорема 2.8
2. Хайэм (2008), Теорема 1.27
3. Хайэм (2008), Теорема 1.31
4. Калвер (1966)
5. APRAHAMIAN, MARY; HIGHAM, NICHOLAS J. (2014). «Функция разматывания матрицы с применением к вычислению экспоненты матрицы». Журнал SIAM по анализу матриц и приложениям . 35 (1): 97. doi : 10.1137/130920137 . Получено 13 декабря 2022 г.
6. Неопубликованная записка С. Адлера (IAS)
7. Холл 2015 Теорема 3.42
8. Абстрактная алгебра/2x2 вещественные матрицы в Wikibooks

Ссылки

• Гантмахер, Феликс Р. (1959), Теория матриц , т. 1, Нью-Йорк: Челси, стр. 239–241.
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления. Элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Калвер, Уолтер Дж. (1966), «О существовании и единственности действительного логарифма матрицы», Труды Американского математического общества , 17 (5): 1146–1151, doi : 10.1090/S0002-9939-1966-0202740-6 , ISSN  0002-9939.
• Хайэм, Николас (2008), Функции матриц. Теория и вычисления , SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7.
• Энгё, Кент (июнь 2001 г.), «О формуле BCH в so(3)», BIT Numerical Mathematics , 41 (3): 629–632, doi :10.1023/A:1021979515229, ISSN  0006-3835, S2CID  126053191