В математике десятичный логарифм — это логарифм с основанием 10. [1] Он также известен как десятичный логарифм и десятичный логарифм , названный в честь его основания, или Бриггсов логарифм , в честь Генри Бриггса , английского математика, который первым использовал его. , а также стандартный логарифм . Исторически он был известен как десятичный логарифм [2] или логарифм десятичный . [3] Обозначается log( x ) , [4] log 10 ( x ) , [5] или иногда Log( x ) с заглавной буквы L ; [примечание 1] на калькуляторах оно печатается как «логарифм», но математики обычно имеют в виду натуральный логарифм (логарифм с основанием e ≈ 2,71828), а не десятичный логарифм, когда пишут «логарифм». Чтобы смягчить эту двусмысленность, спецификация ISO 80000 рекомендует, чтобы log 10 ( x ) записывался как lg( x ) , а log e ( x ) был ln( x ) .
До начала 1970-х годов портативные электронные калькуляторы не были доступны, а механические калькуляторы , способные выполнять умножение, были громоздкими, дорогими и не были широко доступны. Вместо этого таблицы логарифмов с основанием 10 использовались в науке, технике и навигации, когда расчеты требовали большей точности, чем можно было достичь с помощью логарифмической линейки . Превратив умножение и деление в сложение и вычитание, использование логарифмов позволило избежать трудоемких и подверженных ошибкам операций умножения и деления, выполняемых карандашом и бумагой. [1] Поскольку логарифмы были настолько полезны, таблицы логарифмов с основанием 10 были приведены в приложениях ко многим учебникам. В математических и навигационных справочниках содержались также таблицы логарифмов тригонометрических функций . [6] Историю таких таблиц см. в таблице журнала .
Важным свойством логарифмов с основанием 10, которое делает их настолько полезными в вычислениях, является то, что логарифмы чисел больше 1, которые отличаются в 10-кратной степени, имеют одну и ту же дробную часть. Дробная часть известна как мантисса . [примечание 2] Таким образом, в таблицах журналов должна отображаться только дробная часть. В таблицах десятичных логарифмов обычно указывается мантисса с точностью до четырех или пяти десятичных знаков или более каждого числа в диапазоне, например от 1000 до 9999.
Целую часть, называемую характеристикой , можно вычислить, просто подсчитав, на сколько знаков необходимо переместить десятичную точку, чтобы она оказалась справа от первой значащей цифры. Например, логарифм 120 определяется следующим расчетом:
Последнее число (0,07918) — дробная часть или мантисса десятичного логарифма 120 — можно найти в показанной таблице. Расположение десятичной точки в числе 120 говорит нам о том, что целая часть десятичного логарифма числа 120, характеристика, равна 2.
Положительные числа меньше 1 имеют отрицательные логарифмы. Например,
Чтобы избежать необходимости создания отдельных таблиц для преобразования положительных и отрицательных логарифмов обратно в их исходные числа, можно выразить отрицательный логарифм как отрицательную целочисленную характеристику плюс положительную мантиссу. Для облегчения этого используется специальная нотация, называемая штриховой нотацией :
Черта над характеристикой указывает на то, что она отрицательна, а мантисса остается положительной. При чтении вслух числа в тактовой нотации символ читается как «бар n », то есть как «такт 2, точка 07918...». Альтернативное соглашение — выразить логарифм по модулю 10, и в этом случае
при этом фактическое значение результата расчета определяется знанием разумного диапазона результата. [заметка 3]
В следующем примере для расчета 0,012 × 0,85 = 0,0102 используется обозначение столбца:
* На этом этапе мантисса принимает значение от 0 до 1, чтобы можно было найти ее антилогарифм (10 мантиссу ).
В следующей таблице показано, как одну и ту же мантиссу можно использовать для диапазона чисел, различающихся степенями десяти:
Обратите внимание, что мантисса общая для всех 5 × 10 i . Это справедливо для любого положительного действительного числа , поскольку
Поскольку i является константой, мантисса получается из , которая является постоянной для данного . Это позволяет таблице логарифмов включать только одну запись для каждой мантиссы. В примере 5 × 10 i 0,698 970 (004 336 018 ...) будут указаны после индексации 5 (или 0,5, или 500 и т. д.).
Десятые логарифмы иногда также называют «бриггсовскими логарифмами» в честь Генри Бриггса , британского математика 17 века. В 1616 и 1617 годах Бриггс посетил Джона Непера в Эдинбурге , изобретателя того, что сейчас называется натуральными логарифмами (по основанию e ), чтобы предложить изменение логарифмов Непера. В ходе этих конференций было согласовано изменение, предложенное Бриггсом; а по возвращении из второго визита он опубликовал первую хилиаду своих логарифмов.
Поскольку логарифмы с основанием 10 были наиболее полезны для вычислений, инженеры обычно просто писали « log( x ) », когда имели в виду log10 ( x ) . Математики, с другой стороны, написали « log( x ) », когда имели в виду log e ( x ) для натурального логарифма. Сегодня встречаются оба обозначения. Поскольку ручные электронные калькуляторы разрабатываются инженерами, а не математиками, стало общепринятым использовать инженерные обозначения. Таким образом, обозначение, согласно которому пишут « ln( x ) », когда подразумевается натуральный логарифм, могло быть еще более популяризировано благодаря тому самому изобретению, которое сделало использование «натуральных логарифмов» гораздо менее распространенным — в электронных калькуляторах.
Числовое значение логарифма по основанию 10 можно вычислить с помощью следующих тождеств: [5]
используя логарифмы любого доступного основания
поскольку существуют процедуры для определения числового значения логарифма по основанию e (см. Натуральный логарифм § Эффективное вычисление ) и логарифма по основанию 2 (см. Алгоритмы вычисления двоичных логарифмов ).
Производная логарифма с основанием b такова, что
, так . [7]
{{cite book}}
: |work=
игнорируется ( помощь )