Логарифм

Математическая функция, обратная показательной функции

Графики логарифмических функций с тремя общепринятыми основаниями. Особые точки log _b  b = 1 обозначены пунктирными линиями, а все кривые пересекаются при log _b  1 = 0 .

В математике логарифм по основанию b является обратной функцией возведения в степень с основанием b . Это означает, что логарифм числа  x по основанию b является показателем степени , в которую b необходимо возвести, чтобы получить x . Например, поскольку 1000 = 10 ³ , основание логарифма 1000 равно 3 , или log ₁₀  (1000) = 3 . Логарифм x по основанию b обозначается как log _b  ( x ) , или без скобок, log _b x . Когда основание ясно из контекста или не имеет значения, его иногда пишут log  x .    ${\displaystyle 10}$  

Логарифм с основанием 10 называется десятичным или десятичным логарифмом и обычно используется в науке и технике. Натуральный логарифм имеет в качестве основания число  e ≈ 2,718 ; его использование широко распространено в математике и физике из-за его очень простой производной . Двоичный логарифм использует основание 2 и часто используется в информатике .

Логарифмы были введены Джоном Непером в 1614 году как средство упрощения вычислений. ^[1] Они были быстро приняты навигаторами , учеными, инженерами, геодезистами и другими для более легкого выполнения высокоточных вычислений. Используя таблицы логарифмов , утомительные шаги многозначного умножения могут быть заменены поиском по таблице и более простым сложением. Это возможно, потому что логарифм произведения является суммой логарифмов множителей: при условии, что b , x и y все положительны и b ≠ 1. Логарифмическая линейка , также основанная на логарифмах, позволяет производить быстрые вычисления без таблиц, но с меньшей точностью. Современное понятие логарифмов исходит от Леонарда Эйлера , который связал их с показательной функцией в 18 веке, и который также ввел букву e в качестве основания натуральных логарифмов. ^[2] $${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,}$$

Логарифмические шкалы сокращают широкомасштабные величины до меньших масштабов. Например, децибел (дБ) — это единица, используемая для выражения отношения в виде логарифмов , в основном для мощности и амплитуды сигнала (из которых звуковое давление является распространенным примером). В химии pH — это логарифмическая мера кислотности водного раствора . Логарифмы широко используются в научных формулах , а также в измерениях сложности алгоритмов и геометрических объектов, называемых фракталами . Они помогают описывать частотные соотношения музыкальных интервалов , появляются в формулах подсчета простых чисел или аппроксимации факториалов , информируют некоторые модели в психофизике и могут помочь в судебно-бухгалтерском учете .

Концепция логарифма как обратной функции возведения в степень распространяется и на другие математические структуры. Однако в общих условиях логарифм имеет тенденцию быть многозначной функцией. Например, комплексный логарифм является многозначной обратной функцией комплексной показательной функции. Аналогично, дискретный логарифм является многозначной обратной функцией показательной функции в конечных группах; он используется в криптографии с открытым ключом .

Мотивация

График логарифма по основанию 2 пересекает ось x в точке x = 1 и проходит через точки ( 2, 1) , (4, 2) и (8, 3) , изображая, например, log ₂ (8) = 3 и 2 ³ = 8. График произвольно приближается к оси y , но не пересекает ее .

Сложение , умножение и возведение в степень — три из самых фундаментальных арифметических операций. Обратной к сложению является вычитание , а обратной к умножению — деление . Аналогично, логарифм — это обратная операция возведения в степень . Возведение в степень — это когда число b , основание , возводится в определенную степень y , показатель степени , чтобы получить значение x ; это обозначается Например, возведение 2 в степень 3 дает 8 : $${\displaystyle b^{y}=x.}$$ ${\displaystyle 2^{3}=8.}$

Логарифм основания b — это обратная операция, которая обеспечивает выход y из входного x . То есть, эквивалентно тому, если b — положительное действительное число . (Если b — не положительное действительное число, то и возведение в степень, и логарифм могут быть определены, но могут принимать несколько значений, что значительно усложняет определения.) ${\displaystyle y=\log _{b}x}$ ${\displaystyle x=b^{y}}$

Одной из главных исторических причин введения логарифмов является формула, с помощью которой таблицы логарифмов позволяют свести умножение и деление к сложению и вычитанию, что было большим подспорьем в вычислениях до изобретения компьютеров. $${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,}$$

Определение

Если задано положительное действительное число b, такое что b ≠ 1 , логарифм положительного действительного числа x по основанию  b ^{[nb 1]} — это показатель степени, в которую необходимо возвести b, чтобы получить x . Другими словами, логарифм x по основанию  b — это уникальное действительное число  y, такое что . ^[3] ${\displaystyle b^{y}=x}$

Логарифм обозначается как « log _b  x » (произносится как «логарифм x по основанию  b », « логарифм x по основанию b » или, чаще всего, «логарифм  x по основанию b »).

Эквивалентное и более краткое определение состоит в том, что функция log _b является обратной функцией к функции . ${\displaystyle x\mapsto b^{x}}$

Примеры

• log ₂  16 = 4 , так как 2 ⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 .
• Логарифмы также могут быть отрицательными: так как ${\textstyle \log _{2}\!{\frac {1}{2}}=-1}$ ${\textstyle 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}.}$
• log ₁₀  150 приблизительно равен 2,176, что лежит между 2 и 3, так же как 150 лежит между 10 ² = 100 и 10 ³ = 1000 .
• Для любого основания  b log b _b  = 1 и log _b  1 = 0 , поскольку b ¹ = b и b ⁰ = 1 соответственно.

Логарифмические тождества

Несколько важных формул, иногда называемых логарифмическими тождествами или логарифмическими законами , связывают логарифмы друг с другом. ^[4]

Произведение, частное, степень и корень

Логарифм произведения равен сумме логарифмов умножаемых чисел; логарифм отношения двух чисел равен разности логарифмов. Логарифм степени p числа равен логарифму  самого числа, умноженному на p; логарифм корня степени p равен логарифму числа, деленного на p . В следующей таблице перечислены эти тождества с примерами. Каждое из тождеств может быть получено после подстановки определений логарифма или в левых частях. ${\displaystyle x=b^{\,\log _{b}x}}$ ${\displaystyle y=b^{\,\log _{b}y}}$

Изменение базы

Логарифм log _b  x можно вычислить из логарифмов x и b относительно произвольного основания  k, используя следующую формулу: ^{[nb 2]} $${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}.}$$

Типичные научные калькуляторы вычисляют логарифмы по основаниям 10 и e . ^[5] Логарифмы по любому основанию  b можно определить, используя любой из этих двух логарифмов по предыдущей формуле: $${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}.}$$

Дано число x и его логарифм y = log _b  x по неизвестному основанию  b , основание определяется по формуле:

$${\displaystyle b=x^{\frac {1}{y}},}$$

что можно увидеть, возведя определяющее уравнение в степень ${\displaystyle x=b^{\,\log _{b}x}=b^{y}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{y}}.}$

Конкретные базы

Наложенные графики логарифма для оснований ⁠ 1 /2⁠ , 2, и е

Среди всех вариантов основания три являются особенно распространенными. Это b = 10 , b = e ( иррациональная математическая константа e ≈ 2,71828183 ) и b = 2 ( двоичный логарифм ). В математическом анализе основание логарифма e широко распространено из-за аналитических свойств, описанных ниже. С другой стороны, логарифмы с основанием 10 ( десятичный логарифм ) легко использовать для ручных вычислений в десятичной системе счисления: ^[6]

$${\displaystyle \log _{10}\,(\,10\,x\,)\ =\;\log _{10}10\ +\;\log _{10}x\ =\ 1\,+\,\log _{10}x\,.}$$

Таким образом, log ₁₀  ( x ) связан с количеством десятичных цифр положительного целого числа x : Количество цифр - это наименьшее целое число, строго большее, чем log ₁₀  ( x ) . ^[7] Например, log ₁₀ (5986) приблизительно равно 3,78 . Следующее целое число выше него - 4, что является количеством цифр числа 5986. И натуральный логарифм, и двоичный логарифм используются в теории информации , что соответствует использованию натов или битов в качестве основных единиц информации соответственно. ^[8] Двоичные логарифмы также используются в информатике , где двоичная система является повсеместной; в теории музыки , где отношение высоты тона, равное двум ( октава ), является повсеместным, а количество центов между любыми двумя высотами тона является масштабированной версией двоичного логарифма, или log 2 умножить на 1200, отношения высоты тона (то есть 100 центов на полутон в обычной равномерно темперированной системе ), или, что эквивалентно, логарифм по основанию 2 ^1/1200  ; а в фотографии масштабированные логарифмы по основанию 2 используются для измерения значений экспозиции , уровней освещенности , времени экспозиции , диафрагмы объектива и светочувствительности пленки в «стопах». ^[9]

Сокращение log  x часто используется, когда предполагаемое основание может быть выведено на основе контекста или дисциплины, или когда основание неопределено или несущественно. Десятичные логарифмы (основание 10), исторически используемые в таблицах логарифмов и логарифмических линейках, являются основным инструментом для измерения и вычислений во многих областях науки и техники; в этих контекстах log  x по-прежнему часто означает логарифм с основанием 10. ^[10] В математике log  x обычно означает натуральный логарифм (основание e ). ^{[11] [12]} В информатике и теории информации log часто относится к двоичным логарифмам (основание 2). В следующей таблице перечислены общие обозначения для логарифмов с этими основаниями. В столбце «Обозначение ISO» перечислены обозначения, предложенные Международной организацией по стандартизации . ^[13]

История

История логарифмов в Европе семнадцатого века увидела открытие новой функции , которая расширила область анализа за пределы алгебраических методов. Метод логарифмов был публично представлен Джоном Непером в 1614 году в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Описание чудесного канона логарифмов ). ^{[19] [20]} До изобретения Непера существовали другие методы схожего масштаба, такие как простеаферезис или использование таблиц прогрессий, широко разработанных Йостом Бюрги около 1600 года. ^{[21] [22]} Непер ввел термин для логарифма в среднелатинском языке, logarithmus , буквально означающий « число отношения » , происходящий от греческого logos « пропорция, отношение, слово » + arithmos « число » .

Десятичный логарифм числа — это показатель степени десяти, которая равна числу. ^[23] Когда говорят о числе, что оно требует такого-то количества цифр, это грубый намек на десятичный логарифм, и Архимед называл его «порядком числа». ^[24] Первые действительные логарифмы были эвристическими методами, превращавшими умножение в сложение, тем самым облегчая быстрые вычисления. Некоторые из этих методов использовали таблицы, полученные из тригонометрических тождеств. ^[25] Такие методы называются простефаэрезисом .

Изобретение функции, теперь известной как натуральный логарифм , началось как попытка выполнить квадратуру прямоугольной гиперболы Грегуаром де Сен-Винсентом , бельгийским иезуитом, проживавшим в Праге. Архимед написал «Квадратуру параболы» в третьем веке до нашей эры, но квадратура для гиперболы ускользала от всех усилий, пока Сен-Винсент не опубликовал свои результаты в 1647 году. Связь, которую логарифм обеспечивает между геометрической прогрессией в своем аргументе и арифметической прогрессией значений, побудила А. А. де Сараса установить связь квадратуры Сен-Винсента и традиции логарифмов в простеаферезисе , что привело к термину «гиперболический логарифм», синониму натурального логарифма. Вскоре новая функция была оценена Христианом Гюйгенсом и Джеймсом Грегори . Обозначение Log y было принято Лейбницем в 1675 году ^[26], а в следующем году он связал его с интегралом ${\textstyle \int {\frac {dy}{y}}.}$

До того, как Эйлер разработал свою современную концепцию комплексных натуральных логарифмов, Роджер Коутс имел почти эквивалентный результат, когда в 1714 году показал, что ^[27] $${\displaystyle \log(\cos \theta +i\sin \theta )=i\theta .}$$

Таблицы логарифмов, логарифмические линейки и исторические приложения

Объяснение логарифмов в энциклопедии «Британника» 1797 г.

Упрощая сложные вычисления до появления калькуляторов и компьютеров, логарифмы способствовали развитию науки, особенно астрономии . Они имели решающее значение для прогресса в геодезии , небесной навигации и других областях. Пьер-Симон Лаплас назвал логарифмы

«...[замечательное изобретение, которое, сокращая до нескольких дней труд многих месяцев, удваивает жизнь астронома и избавляет его от ошибок и отвращения, неотделимых от долгих вычислений». ^[28]

Поскольку функция f ( x ) = b ^x является обратной функцией log _b  x , ее называют антилогарифмом . ^[29] В настоящее время эту функцию чаще называют показательной функцией .

Таблицы журналов

Ключевым инструментом, позволившим практическое использование логарифмов, была таблица логарифмов . ^[30] Первая такая таблица была составлена ​​Генри Бриггсом в 1617 году, сразу после изобретения Непера, но с нововведением использования 10 в качестве основания. Первая таблица Бриггса содержала десятичные логарифмы всех целых чисел в диапазоне от 1 до 1000 с точностью до 14 цифр. Впоследствии были написаны таблицы с увеличивающимся охватом. В этих таблицах были перечислены значения log ₁₀  x для любого числа  x в определенном диапазоне с определенной точностью. Логарифмы по основанию 10 повсеместно использовались для вычислений, отсюда и название десятичный логарифм, поскольку числа, отличающиеся на множители 10, имеют логарифмы, отличающиеся на целые числа. Десятичный логарифм x можно разделить на целую часть и дробную часть , известные как характеристика и мантисса . Таблицы логарифмов должны включать только мантиссу, поскольку характеристику можно легко определить, подсчитав цифры от десятичной точки. ^[31] Характеристика 10 · x равна единице плюс характеристика x , и их мантиссы одинаковы. Таким образом, используя таблицу трехзначных логарифмов, логарифм 3542 аппроксимируется как

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log _{10}3542&=\log _{10}(1000\cdot 3.542)\\&=3+\log _{10}3.542\\&\approx 3+\log _{10}3.54\end{aligned}}}$$

Более высокую точность можно получить путем интерполяции :

$${\displaystyle \log _{10}3542\approx {}3+\log _{10}3.54+0.2(\log _{10}3.55-\log _{10}3.54)}$$

Значение 10 ^x можно определить путем обратного поиска в той же таблице, поскольку логарифм является монотонной функцией .

Вычисления

Произведение и частное двух положительных чисел c и d обычно вычислялись как сумма и разность их логарифмов. Произведение  cd или частное  c / d получалось путем поиска антилогарифма суммы или разности с помощью той же таблицы:

$${\displaystyle cd=10^{\,\log _{10}c}\,10^{\,\log _{10}d}=10^{\,\log _{10}c\,+\,\log _{10}d}}$$и $${\displaystyle {\frac {c}{d}}=cd^{-1}=10^{\,\log _{10}c\,-\,\log _{10}d}.}$$

Для ручных вычислений, требующих значительной точности, выполнение поиска двух логарифмов, вычисление их суммы или разности и поиск антилогарифма выполняется намного быстрее, чем выполнение умножения более ранними методами, такими как простеаферезис , который опирается на тригонометрические тождества .

Вычисления степеней и корней сводятся к умножению или делению и поиску по $${\displaystyle c^{d}=\left(10^{\,\log _{10}c}\right)^{d}=10^{\,d\log _{10}c}}$$

и $${\displaystyle {\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=10^{{\frac {1}{d}}\log _{10}c}.}$$

Тригонометрические вычисления облегчались таблицами, содержащими десятичные логарифмы тригонометрических функций .

Логарифмические линейки

Другим важным применением была логарифмическая линейка , пара логарифмически разделенных шкал, используемых для вычислений. Нескользящая логарифмическая шкала, правило Гюнтера , была изобретена вскоре после изобретения Нейпира. Уильям Отред усовершенствовал ее, чтобы создать логарифмическую линейку — пару логарифмических шкал, подвижных относительно друг друга. Числа размещаются на скользящих шкалах на расстояниях, пропорциональных разнице между их логарифмами. Скольжение верхней шкалы соответствующим образом равносильно механическому добавлению логарифмов, как показано здесь:

Схематическое изображение логарифмической линейки. Начиная с 2 на нижней шкале, прибавьте расстояние до 3 на верхней шкале, чтобы получить произведение 6. Логарифмическая линейка работает, потому что она размечена таким образом, что расстояние от 1 до x пропорционально логарифму x .

Например, добавление расстояния от 1 до 2 на нижней шкале к расстоянию от 1 до 3 на верхней шкале дает произведение 6, которое считывается в нижней части. Логарифмическая линейка была важным инструментом для вычислений инженеров и ученых до 1970-х годов, поскольку она позволяет, за счет точности, производить гораздо более быстрые вычисления, чем методы, основанные на таблицах. ^[32]

Аналитические свойства

Более глубокое изучение логарифмов требует концепции функции . Функция — это правило, которое, учитывая одно число, производит другое число. ^[33] Примером является функция, производящая x -ю степень b из любого действительного числа  x , где основание  b — фиксированное число. Эта функция записывается как f ( x ) = b ^x . Когда b положительно и не равно 1, мы покажем ниже, что f обратима, если рассматривать ее как функцию от действительных чисел к положительным действительным числам.

Существование

Пусть b — положительное действительное число, не равное 1, и пусть f ( x ) = b ^x .

Стандартный результат в вещественном анализе заключается в том, что любая непрерывная строго монотонная функция является биективной между своей областью определения и областью определения. Этот факт следует из теоремы о промежуточном значении . ^[34] Теперь f строго возрастает ( при b > 1 ) или строго убывает (при 0 < b < 1 ), ^[35] является непрерывным, имеет область определения и область определения . Следовательно, f является биекцией из в . Другими словами, для каждого положительного действительного числа y существует ровно одно действительное число x такое, что . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle b^{x}=y}$

Обозначим через f обратную функцию . То есть, log _b y — это уникальное действительное число x, такое что . Эта функция называется функцией логарифма по основанию b или логарифмической функцией (или просто логарифмом ). ${\displaystyle \log _{b}\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} }$  ${\displaystyle b^{x}=y}$

Характеристика по формуле продукта

Функция log _b  x также может быть по существу охарактеризована формулой произведения . Точнее, логарифм по любому основанию b > 1 является единственной возрастающей функцией f от положительных действительных чисел до действительных чисел, удовлетворяющей f ( b ) = 1 и ^[36] $${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y.}$$ $${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y).}$$

График логарифмической функции

График логарифмической функции log _b  ( x ) (синий) получен путем отражения графика функции b ^x (красный) относительно диагональной линии ( x = y ).

Как обсуждалось выше, функция log _b является обратной к экспоненциальной функции . Поэтому их графики соответствуют друг другу при обмене координатами x и y (или при отражении относительно диагональной линии x = y ), как показано справа: точка ( t , u = b ^t ) на графике f дает точку ( u , t = log _b u ) на графике логарифма и наоборот. Как следствие, log _b  ( x ) расходится к бесконечности (становится больше любого заданного числа), если x растет до бесконечности, при условии, что b больше единицы. В этом случае log _b ( x ) является возрастающей функцией. При b < 1 log b ( x ) стремится к минус бесконечности . Когда _x  приближается к нулю , log b x стремится _к минус бесконечности при b > 1 (плюс бесконечность при b < 1 соответственно). ${\displaystyle x\mapsto b^{x}}$   

Производные и антипроизводные

График натурального логарифма (зеленый) и его тангенса при x = 1,5 (черный)

Аналитические свойства функций переходят к их обратным функциям. ^[34] Таким образом, поскольку f ( x ) = b ^x является непрерывной и дифференцируемой функцией , то и log _b  y является таковой . Грубо говоря, непрерывная функция дифференцируема, если ее график не имеет острых «углов». Более того, поскольку производная f ( x ) оценивается как ln ( b ) b ^x по свойствам показательной функции , цепное правило подразумевает, что производная log _b x определяется как ^{[35] [37]} То есть наклон касательной , касающейся графика логарифма по основанию b в точке ( x , log _b  ( x )) равен 1/( x  ln( b )) .  $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}.}$$

Производная ln( x ) равна 1/ x ; это означает, что ln( x ) является единственной первообразной 1 / x , которая имеет значение 0 при x = 1 . Именно эта очень простая формула побудила квалифицировать натуральный логарифм как «натуральный»; это также одна из главных причин важности константы  e .

Производная с обобщенным функциональным аргументом f ( x ) равна Частное в правой части называется логарифмической производной f . Вычисление f' ( x ) с помощью производной ln( f ( x )) известно как логарифмическое дифференцирование . ^[38] Первообразная натурального логарифма ln( x ) равна: ^[39] Связанные формулы , такие как первообразные логарифмов по другим основаниям , могут быть выведены из этого уравнения с помощью замены оснований. ^[40] $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}$$ $${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.}$$

Интегральное представление натурального логарифма

Натуральный логарифм t — это заштрихованная область под графиком функции f ( x ) = 1/ x .

Натуральный логарифм t можно определить как определенный интеграл :

$${\displaystyle \ln t=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.}$$Это определение имеет то преимущество, что оно не опирается на показательную функцию или какие-либо тригонометрические функции; определение дается в терминах интеграла простой обратной величины. Как интеграл, ln( t ) равен площади между осью x и графиком функции 1/ x , в пределах от x = 1 до x = t . Это является следствием фундаментальной теоремы исчисления и того факта, что производная ln( x ) равна 1/ x . Из этого определения можно вывести формулы произведения и степенного логарифма. ^[41] Например, формула произведения ln( tu ) = ln( t ) + ln( u ) выводится как:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(tu)&=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\\&{\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\\&{\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw\\&=\ln(t)+\ln(u).\end{aligned}}}$$

Равенство (1) разбивает интеграл на две части, тогда как равенство (2) представляет собой замену переменной ( w = x / t ). На рисунке ниже разбиение соответствует делению области на желтую и синюю части. Изменение масштаба левой синей области по вертикали на коэффициент  t и уменьшение ее на тот же коэффициент по горизонтали не меняет ее размера. Перемещая ее соответствующим образом, область снова вписывается в график функции f ( x ) = 1/ x . Следовательно, левая синяя область, которая является интегралом f ( x ) от t до tu, совпадает с интегралом от 1 до u . Это оправдывает равенство (2) с помощью более геометрического доказательства.

Наглядное доказательство формулы произведения натурального логарифма

Формула мощности ln( t ^r ) = r ln( t ) может быть выведена аналогичным образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(t^{r})&=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx\\&=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)\\&=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw\\&=r\ln(t).\end{aligned}}}$$Второе равенство использует замену переменных ( интегрирование путем подстановки ), w = x ^{1/ r} .

Сумма по обратным натуральным числам называется гармоническим рядом . Она тесно связана с натуральным логарифмом : когда n стремится к бесконечности , разность сходится (т.е. становится произвольно близкой) к числу, известному как константа Эйлера-Маскерони γ = 0,5772... . Это соотношение помогает анализировать производительность таких алгоритмов, как быстрая сортировка . ^[42] $${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),}$$

Трансцендентность логарифма

Действительные числа , которые не являются алгебраическими , называются трансцендентными ; ^[43] например, π и e являются такими числами, но не являются. Почти все действительные числа являются трансцендентными. Логарифм является примером трансцендентной функции . Теорема Гельфонда–Шнайдера утверждает, что логарифмы обычно принимают трансцендентные, т.е. «трудные» значения. ^[44] ${\displaystyle {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}$

Расчет

Клавиши логарифма (LOG для основания 10 и LN для основания  e ) на графическом калькуляторе TI-83 Plus

Логарифмы легко вычислить в некоторых случаях, например, log ₁₀  (1000) = 3. В общем случае логарифмы можно вычислить с помощью степенных рядов или арифметико-геометрического среднего или извлечь из предварительно вычисленной таблицы логарифмов , которая обеспечивает фиксированную точность. ^{[45] [46]} Метод Ньютона , итерационный метод приближенного решения уравнений, также можно использовать для вычисления логарифма, поскольку его обратная функция, экспоненциальная функция, может быть вычислена эффективно. ^[47] Используя таблицы поиска, методы, подобные CORDIC , можно использовать для вычисления логарифмов, используя только операции сложения и битовых сдвигов . ^{[48] [49]} Более того, алгоритм двоичного логарифма вычисляет lb( x ) рекурсивно , на основе повторных возведений x в квадрат , используя соотношение $${\displaystyle \log _{2}\left(x^{2}\right)=2\log _{2}|x|.}$$

Ряд мощности

ряд Тейлора

Ряд Тейлора ln( z ) с центром в точке z = 1. Анимация показывает первые 10 приближений вместе с 99-м и 100-м. Приближения не сходятся за пределами расстояния 1 от центра.

Для любого действительного числа z , удовлетворяющего условию 0 < z ≤ 2 , справедлива следующая формула: ^{[nb 4] [50]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(z)&={\frac {(z-1)^{1}}{1}}-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(z-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}}$$

Приравнивание функции ln( z ) к этой бесконечной сумме ( ряду ) является сокращением для утверждения, что функцию можно приблизить к все более и более точному значению с помощью следующих выражений (известных как частичные суммы ):

$${\displaystyle (z-1),\ \ (z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}},\ \ (z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}},\ \ldots }$$

Например, при z = 1,5 третье приближение дает 0,4167 , что примерно на 0,011 больше, чем ln(1,5) = 0,405465 , а девятое приближение дает 0,40553 , что всего лишь примерно на 0,0001 больше. Частичная сумма n может аппроксимировать ln( z ) с произвольной точностью, при условии, что число слагаемых n достаточно велико.

В элементарном исчислении говорят, что ряд сходится к функции ln( z ) , а функция является пределом ряда. Это ряд Тейлора натурального логарифма при z = 1. Ряд Тейлора ln( z ) обеспечивает особенно полезное приближение к ln(1 + z ), когда z мало, | z | < 1 , так как тогда $${\displaystyle \ln(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\cdots \approx z.}$$

Например, при z = 0,1 приближение первого порядка дает ln(1,1) ≈ 0,1 , что составляет менее 5% от правильного значения 0,0953 .

Обратный гиперболический тангенс

Другой ряд основан на функции обратного гиперболического тангенса : для любого действительного числа z > 0 . ^{[nb 5] [50]} Используя сигма-обозначение , это также записывается как Этот ряд может быть получен из приведенного выше ряда Тейлора. Он сходится быстрее, чем ряд Тейлора, особенно если z близко к 1. Например, для z = 1,5 первые три члена второго ряда приближаются к ln(1,5) с ошибкой около $${\displaystyle \ln(z)=2\cdot \operatorname {artanh} \,{\frac {z-1}{z+1}}=2\left({\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{3}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{5}+\cdots \right),}$$ $${\displaystyle \ln(z)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2k+1}.}$$3 × 10−6 . Быстрой сходимостью для z, близких к 1 ^, можно воспользоваться следующим образом: беря приближение низкой точности y ≈ ln( z ) и подставляя логарифм z : Чем лучше начальное приближение y , тем ближе A к 1, поэтому его логарифм можно эффективно вычислить. A можно вычислить с помощью экспоненциального ряда , который быстро сходится, если y не слишком велико. Вычисление логарифма больших z можно свести к меньшим значениям z , записав z = a · 10 ^b , так что ln( z ) = ln( a ) + b · ln(10) . $${\displaystyle A={\frac {z}{\exp(y)}},}$$ $${\displaystyle \ln(z)=y+\ln(A).}$$

Близкий метод может быть использован для вычисления логарифма целых чисел. Подставляя приведенный выше ряд, следует, что: Если логарифм большого целого числа  n известен, то этот ряд дает быстро сходящийся ряд для log( n +1) со скоростью сходимости . ${\displaystyle \textstyle z={\frac {n+1}{n}}}$ $${\displaystyle \ln(n+1)=\ln(n)+2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2k+1}.}$$ ${\textstyle \left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}}$

Аппроксимация среднего арифметического–геометрического

Арифметико -геометрическое среднее дает высокоточные приближения натурального логарифма . Сасаки и Канада показали в 1982 году, что это было особенно быстро для точности от 400 до 1000 знаков после запятой, в то время как методы рядов Тейлора были обычно быстрее, когда требовалась меньшая точность. В их работе ln( x ) аппроксимируется с точностью 2 ^{− p} (или p  точных битов) следующей формулой (принадлежащей Карлу Фридриху Гауссу ): ^{[51] [52]}

$${\displaystyle \ln(x)\approx {\frac {\pi }{2\,\mathrm {M} \!\left(1,2^{2-m}/x\right)}}-m\ln(2).}$$

Здесь M( x , y ) обозначает среднее арифметическое –геометрическое x и y . Оно получается путем многократного вычисления среднего ( x + y )/2 ( среднего арифметического ) и ( среднего геометрического ) x и y , а затем эти два числа становятся следующими x и y . Два числа быстро сходятся к общему пределу, который является значением M( x , y ) . m выбирается таким образом, что ${\textstyle {\sqrt {xy}}}$

$${\displaystyle x\,2^{m}>2^{p/2}.\,}$$

для обеспечения требуемой точности. Большее значение m заставляет вычисление M( x , y ) делать больше шагов (начальные x и y находятся дальше друг от друга, поэтому требуется больше шагов для сходимости), но дает большую точность. Константы π и ln(2) можно вычислить с помощью быстро сходящихся рядов.

Алгоритм Фейнмана

Работая в Национальной лаборатории Лос-Аламоса над Манхэттенским проектом , Ричард Фейнман разработал алгоритм обработки битов для вычисления логарифма, который похож на деление в столбик и позже использовался в Connection Machine . Алгоритм основан на том факте, что каждое действительное число x , где 1 < x < 2, может быть представлено как произведение различных множителей вида 1 + 2 ^{− k} . Алгоритм последовательно строит это произведение  P , начиная с P = 1 и k = 1 : если P · (1 + 2 ^{− k} ) < x , то он изменяет P на P · (1 + 2 ^{− k} ) . Затем он независимо увеличивается на единицу. Алгоритм останавливается, когда k достаточно велико, чтобы дать желаемую точность. Поскольку log( x ) является суммой членов формы log(1 + 2 ^{− k} ), соответствующих тем k , для которых множитель 1 + 2 ^{− k} был включен в произведение  P , log( x ) может быть вычислен простым сложением, используя таблицу log(1 + 2 ^{− k} ) для всех k . Для таблицы логарифмов может быть использовано любое основание. ^[53] ${\displaystyle k}$

Приложения

Раковина наутилуса , изображающая логарифмическую спираль.

Логарифмы имеют множество применений внутри и за пределами математики. Некоторые из этих случаев связаны с понятием масштабной инвариантности . Например, каждая камера раковины наутилуса является приблизительной копией следующей, масштабированной на постоянный множитель. Это приводит к логарифмической спирали . ^[54] Закон Бенфорда о распределении ведущих цифр также можно объяснить масштабной инвариантностью. ^[55] Логарифмы также связаны с самоподобием . Например, логарифмы появляются при анализе алгоритмов, которые решают задачу, разделяя ее на две подобные меньшие задачи и склеивая их решения. ^[56] Размеры самоподобных геометрических фигур, то есть фигур, части которых напоминают общую картину, также основаны на логарифмах. Логарифмические шкалы полезны для количественной оценки относительного изменения значения в отличие от его абсолютной разницы. Более того, поскольку логарифмическая функция log( x ) растет очень медленно для больших x , логарифмические шкалы используются для сжатия крупномасштабных научных данных. Логарифмы также встречаются в многочисленных научных формулах, таких как уравнение ракеты Циолковского , уравнение Фенске или уравнение Нернста .

Логарифмическая шкала

Логарифмическая диаграмма, отображающая стоимость одной золотой марки в бумажных марках во время немецкой гиперинфляции в 1920-х годах.

Научные величины часто выражаются в виде логарифмов других величин с использованием логарифмической шкалы . Например, децибел — это единица измерения, связанная с величинами логарифмической шкалы . Она основана на десятичном логарифме отношений — в 10 раз больше десятичного логарифма отношения мощности или в 20 раз больше десятичного логарифма отношения напряжения . Она используется для количественной оценки затухания или усиления электрических сигналов, ^[57] для описания уровней мощности звуков в акустике , ^[58] и поглощения света в областях спектрометрии и оптики . Отношение сигнал/шум , описывающее количество нежелательного шума по отношению к (значимому) сигналу, также измеряется в децибелах. ^[59] В аналогичном ключе пиковое отношение сигнал/шум обычно используется для оценки качества методов сжатия звука и изображений с использованием логарифма. ^[60]

Сила землетрясения измеряется путем взятия десятичного логарифма энергии, излучаемой при землетрясении. Это используется в шкале моментной магнитуды или шкале магнитуд Рихтера . Например, землетрясение магнитудой 5,0 высвобождает в 32 раза (10 ^1,5 ) , а землетрясение магнитудой 6,0 высвобождает в 1000 раз (10 ³ ) больше энергии, чем землетрясение магнитудой 4,0. ^[61] Видимая магнитуда измеряет яркость звезд логарифмически. ^[62] В химии отрицательное значение десятичного логарифма, десятичная дробькологарифм , обозначается буквой p.^[63]Например,pH— это десятичный кологарифм активностиионовгидроксония(формаионовводорода H ^+
[64] Активность ионов гидроксония в нейтральной воде составляет 10−7 моль ^·  л −1 , отсюда pH 7. Уксус обычно имеет pH около 3. Разница 4 соответствует соотношению 104 ^{активности} , то есть активность ионов гидроксония уксуса составляет около 10−3 моль·л ^{− 1} .

Полулогарифмические (логарифмически линейные) графики используют концепцию логарифмической шкалы для визуализации: одна ось, обычно вертикальная, масштабируется логарифмически. Например, диаграмма справа сжимает крутой рост от 1 миллиона до 1 триллиона до того же пространства (по вертикальной оси), что и рост от 1 до 1 миллиона. На таких графиках экспоненциальные функции вида f ( x ) = a · b ^x отображаются как прямые линии с наклоном, равным логарифму b . Логарифмические графики масштабируют обе оси логарифмически, что приводит к тому, что функции вида f ( x ) = a · x ^k изображаются как прямые линии с наклоном, равным показателю  k . Это применяется при визуализации и анализе степенных законов . ^[65]

Психология

Логарифмы встречаются в нескольких законах, описывающих человеческое восприятие : ^{[66] [67]} Закон Хика предлагает логарифмическую связь между временем, которое тратят люди на выбор альтернативы, и количеством вариантов выбора, которые у них есть. ^[68] Закон Фиттса предсказывает, что время, необходимое для быстрого перемещения в целевую область, является логарифмической функцией отношения расстояния до цели к размеру цели. ^[69] В психофизике закон Вебера -Фехнера предлагает логарифмическую связь между стимулом и ощущением, таким как фактический и воспринимаемый вес предмета, который несет человек. ^[70] (Этот «закон», однако, менее реалистичен, чем более поздние модели, такие как степенной закон Стивенса . ^[71] )

Психологические исследования показали, что люди с небольшим математическим образованием склонны оценивать величины логарифмически, то есть они располагают число на неразмеченной линии в соответствии с его логарифмом, так что 10 располагается так же близко к 100, как 100 к 1000. Повышение уровня образования смещает эту оценку к линейной (размещение 1000 в 10 раз дальше) в некоторых обстоятельствах, в то время как логарифмы используются, когда числа, которые нужно изобразить, трудно изобразить линейно. ^{[72] [73]}

Теория вероятностей и статистика

Три функции плотности вероятности (PDF) случайных величин с логнормальным распределением. Параметр местоположения  μ , который равен нулю для всех трех показанных PDF, является средним значением логарифма случайной величины, а не средним значением самой переменной.

Распределение первых цифр (в %, красные столбцы) в населении 237 стран мира. Черные точки указывают распределение, предсказанное законом Бенфорда.

Логарифмы возникают в теории вероятностей : закон больших чисел гласит, что для честной монеты , когда число подбрасываний монеты увеличивается до бесконечности, наблюдаемая доля орлов приближается к половине . Колебания этой доли около половины описываются законом итерированного логарифма . ^[74]

Логарифмы также встречаются в логнормальных распределениях . Когда логарифм случайной величины имеет нормальное распределение , говорят, что переменная имеет логнормальное распределение. ^[75] Логнормальные распределения встречаются во многих областях, где переменная формируется как произведение многих независимых положительных случайных величин, например, при изучении турбулентности. ^[76]

Логарифмы используются для оценки максимального правдоподобия параметрических статистических моделей . Для такой модели функция правдоподобия зависит по крайней мере от одного параметра , который должен быть оценен. Максимум функции правдоподобия достигается при том же значении параметра, что и максимум логарифма правдоподобия («логарифм правдоподобия »), поскольку логарифм является возрастающей функцией. Логарифм правдоподобия легче максимизировать, особенно для умноженных правдоподобий для независимых случайных величин. ^[77]

Закон Бенфорда описывает появление цифр во многих наборах данных , таких как высоты зданий. Согласно закону Бенфорда, вероятность того, что первая десятичная цифра элемента в выборке данных будет d (от 1 до 9), равна log ₁₀  ( d + 1) − log ₁₀  ( d ) , независимо от единицы измерения. ^[78] Таким образом, можно ожидать, что около 30% данных будут иметь 1 в качестве первой цифры, 18% начнутся с 2 и т. д. Аудиторы проверяют отклонения от закона Бенфорда, чтобы обнаружить мошеннический учет. ^[79]

Логарифмическое преобразование — это тип преобразования данных, используемый для приближения эмпирического распределения к предполагаемому.

Сложность вычислений

Анализ алгоритмов — это раздел компьютерной науки , изучающий производительность алгоритмов (компьютерных программ, решающих определенную задачу). ^[80] Логарифмы полезны для описания алгоритмов, которые делят задачу на более мелкие и объединяют решения подзадач. ^[81]

Например, чтобы найти число в отсортированном списке, алгоритм бинарного поиска проверяет среднюю запись и продолжает с половины до или после средней записи, если число все еще не найдено. Этот алгоритм требует, в среднем, log ₂  ( N ) сравнений, где N — длина списка. ^[82] Аналогично, алгоритм сортировки слиянием сортирует несортированный список, разделяя список на половины и сортируя их сначала перед слиянием результатов. Алгоритмы сортировки слиянием обычно требуют времени, приблизительно пропорционального N · log( N ) . ^[83] Основание логарифма здесь не указано, потому что результат изменяется только на постоянный множитель при использовании другого основания. Постоянный множитель обычно игнорируется при анализе алгоритмов в рамках стандартной модели равномерной стоимости . ^[84]

Говорят, что функция  f ( x ) растет логарифмически , если f ( x ) (точно или приблизительно) пропорциональна логарифму x . (Однако в биологических описаниях роста организмов этот термин используется для обозначения экспоненциальной функции. ^[85] ) Например, любое натуральное число  N может быть представлено в двоичной форме не более чем в log ₂  N + 1  битах . Другими словами, объем памяти , необходимый для хранения N , растет логарифмически с N .

Энтропия и хаос

Бильярд на овальном бильярдном столе . Две частицы, стартуя из центра с углом, отличающимся на один градус, движутся по траекториям, которые хаотично расходятся из-за отражений на границе.

Энтропия в широком смысле является мерой беспорядка некоторой системы. В статистической термодинамике энтропия  S некоторой физической системы определяется как Сумма по всем возможным состояниям  i рассматриваемой системы, таким как положения частиц газа в контейнере. Более того, p _i является вероятностью того, что состояние  i будет достигнуто, а k является постоянной Больцмана . Аналогично, энтропия в теории информации измеряет количество информации. Если получатель сообщения может ожидать любое из N возможных сообщений с равной вероятностью, то количество информации, передаваемое любым таким сообщением, количественно определяется как log ₂ N бит. ^[86] $${\displaystyle S=-k\sum _{i}p_{i}\ln(p_{i}).\,}$$ 

Показатели Ляпунова используют логарифмы для оценки степени хаотичности динамической системы . Например, для частицы, движущейся по овальному бильярдному столу, даже небольшие изменения начальных условий приводят к совершенно разным траекториям частицы. Такие системы хаотичны детерминированным образом , поскольку небольшие ошибки измерения начального состояния предсказуемо приводят к в значительной степени разным конечным состояниям. ^[87] По крайней мере один показатель Ляпунова детерминированно хаотической системы положителен.

Фракталы

Треугольник Серпинского (справа) построен путем многократной замены равносторонних треугольников тремя меньшими.

Логарифмы встречаются в определениях размерности фракталов . [ ^88] Фракталы — это геометрические объекты, которые являются самоподобными в том смысле, что небольшие части воспроизводят, по крайней мере приблизительно, всю глобальную структуру. Треугольник Серпинского (на фото) может быть покрыт тремя копиями самого себя, каждая из которых имеет стороны в два раза меньше исходной длины. Это делает размерность Хаусдорфа этой структуры ln(3)/ln(2) ≈ 1,58 . Другое основанное на логарифме понятие размерности получается путем подсчета количества ячеек, необходимых для покрытия рассматриваемого фрактала.

Музыка

Четыре различные октавы показаны в линейном масштабе, а затем в логарифмическом масштабе (как их слышит ухо)

Логарифмы связаны с музыкальными тонами и интервалами . В равномерно темперированной настройке соотношение частот зависит только от интервала между двумя тонами, а не от конкретной частоты или высоты тона отдельных тонов. В 12-тоновой равномерно темперированной настройке, распространенной в современной западной музыке, каждая октава (удвоение частоты) разбита на двенадцать равноотстоящих интервалов, называемых полутонами . Например, если нота  A имеет частоту 440  Гц , то нота B-бемоль имеет частоту 466 Гц. Интервал между A и B-бемоль является полутоном , как и между B-бемоль и B (частота 493 Гц). Соответственно, соотношения частот согласуются: $${\displaystyle {\frac {466}{440}}\approx {\frac {493}{466}}\approx 1.059\approx {\sqrt[{12}]{2}}.}$$

Интервалы между произвольными высотами могут быть измерены в октавах, взяв логарифм по основанию 2 из отношения частот , могут быть измерены в равнотемперированных полутонах, взяв логарифм по основанию 2 ^1/12 ( 12 раз логарифм по основанию 2 ), или могут быть измерены в центах , сотых долях полутона, взяв логарифм по основанию 2 ^1/1200 ( 1200 раз логарифм по основанию 2 ). Последнее используется для более точного кодирования, так как это необходимо для более точных измерений или неравномерной темперации. ^[89]

Теория чисел

Натуральные логарифмы тесно связаны с подсчетом простых чисел (2, 3, 5, 7, 11, ...), важной темой в теории чисел . Для любого целого числа  x количество простых чисел , меньших или равных x, обозначается π ( x ) . Теорема о простых числах утверждает, что π ( x ) приблизительно дается выражением в том смысле, что отношение π ( x ) и этой дроби стремится к 1, когда x стремится к бесконечности. ^[90] Как следствие, вероятность того, что случайно выбранное число между 1 и x является простым, обратно пропорциональна количеству десятичных цифр x . Гораздо лучшая оценка π ( x ) дается смещенной логарифмической интегральной функцией Li( x ) , определяемой Гипотезой Римана , одной из старейших открытых математических гипотез , можно сформулировать в терминах сравнения π ( x ) и Li( x ) . ^[91] Теорема Эрдёша –Каца, описывающая число различных простых множителей, также включает натуральный логарифм . $${\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}},}$$ $${\displaystyle \mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln(t)}}\,dt.}$$

Логарифм факториала n , n ! = 1 · 2 · ... · n , определяется по формуле Это можно использовать для получения формулы Стирлинга , приближения n ! для больших n . ^[92] $${\displaystyle \ln(n!)=\ln(1)+\ln(2)+\cdots +\ln(n).}$$

Обобщения

Комплексный логарифм

Полярная форма z = x + iy . Оба φ и φ' являются аргументами z .

Все комплексные числа a, которые решают уравнение

$${\displaystyle e^{a}=z}$$

называются комплексными логарифмами z , когда z является (рассматривается как) комплексным числом. Комплексное число обычно представляется как z = x + iy , где x и y являются действительными числами, а i является мнимой единицей , квадрат которой равен −1. Такое число можно визуализировать точкой на комплексной плоскости , как показано справа. Полярная форма кодирует ненулевое комплексное число  z его абсолютным значением , то есть (положительным, действительным) расстоянием  r до начала координат , и углом между действительной ( x ) осью Re и прямой, проходящей как через начало координат, так и через z . Этот угол называется аргументом z . 

Абсолютное значение r от z определяется по формуле

$${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

Используя геометрическую интерпретацию синуса и косинуса и их периодичность по 2π , любое комплексное число  z можно обозначить как

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\\&=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\&=r(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )),\end{aligned}}}$$

для любого целого числа  k . Очевидно, аргумент z не указан однозначно: как φ, так и φ' = φ + 2 k π являются допустимыми аргументами z для всех целых чисел  k , поскольку добавление 2 k π  радиан или k ⋅360° ^{[nb 6]} к φ соответствует «обмотке» вокруг начала координат против часовой стрелки на k  оборотов . Результирующее комплексное число всегда равно z , как показано справа для k = 1 . Можно выбрать ровно один из возможных аргументов z в качестве так называемого главного аргумента , обозначаемого Arg( z ) , с заглавной буквы  A , потребовав, чтобы φ принадлежал одному удобно выбранному повороту, например − π < φ ≤ π ^[93] или 0 ≤ φ < 2 π . ^[94] Эти области, где аргумент z определяется однозначно, называются ветвями функции аргумента.

Главная ветвь (- π , π ) комплексного логарифма, Log( z ) . Черная точка при z = 1 соответствует абсолютному значению ноль, а более яркие цвета относятся к большим абсолютным значениям. Оттенок цвета кодирует аргумент Log( z ) .

Формула Эйлера связывает тригонометрические функции синус и косинус с комплексной экспонентой : $${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .}$$

Используя эту формулу и снова периодичность, справедливы следующие тождества: ^[95]

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\\&=r\left(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )\right)\\&=re^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=e^{\ln(r)}e^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=e^{\ln(r)+i(\varphi +2k\pi )}=e^{a_{k}},\end{aligned}}}$$

где ln( r ) — уникальный действительный натуральный логарифм, a _k обозначает комплексные логарифмы z , а k — произвольное целое число  . Таким образом, комплексные логарифмы z , которые являются всеми теми комплексными значениями a _k , для которых степень _e равна z , являются бесконечным множеством значений для произвольных целых чисел k . $${\displaystyle a_{k}=\ln(r)+i(\varphi +2k\pi ),}$$

Если взять k таким образом, что φ + 2 k π находится в пределах определенного интервала для главных аргументов, то k называется главным значением логарифма, обозначаемым Log( z ) , снова с заглавной буквы  L . Главный аргумент любого положительного действительного числа  _x равен 0; следовательно, Log ( x ) является действительным числом и равен действительному (натуральному) логарифму. Однако приведенные выше формулы для логарифмов произведений и степеней не обобщаются на главное значение комплексного логарифма. ^[96]

Иллюстрация справа изображает Log( z ) , ограничивающий аргументы z интервалом (−π, π] . Таким образом, соответствующая ветвь комплексного логарифма имеет разрывы по всей отрицательной действительной оси x  , что можно увидеть по скачку оттенка там. Этот разрыв возникает из-за скачка на другую границу в той же ветви при пересечении границы, т.е. не изменяясь на соответствующее значение k непрерывно соседней ветви. Такое место называется срезом ветви . Отказ от ограничений диапазона аргумента делает отношения «аргумент z », а следовательно, и «логарифм z », многозначными функциями .

Обратные функции других показательных функций

Возведение в степень встречается во многих областях математики, а его обратная функция часто называется логарифмом. Например, логарифм матрицы — это (многозначная) обратная функция матричной экспоненты . ^[97] Другим примером является p -адический логарифм , обратная функция p -адической экспоненты . Оба определяются с помощью рядов Тейлора, аналогично вещественному случаю. ^[98] В контексте дифференциальной геометрии экспоненциальное отображение отображает касательное пространство в точке многообразия в окрестность этой точки. Его обратная функция также называется логарифмическим (или логарифмическим) отображением. ^[99]

В контексте конечных групп возведение в степень задается путем многократного умножения одного элемента группы  b на самого себя. Дискретный логарифм — это целое число  n, решающее уравнение, где x — элемент группы. Выполнение возведения в степень может быть выполнено эффективно, но считается, что вычисление дискретного логарифма в некоторых группах очень сложно. Эта асимметрия имеет важные приложения в криптографии с открытым ключом , например, в обмене ключами Диффи–Хеллмана , процедуре, которая позволяет осуществлять безопасный обмен криптографическими ключами по незащищенным информационным каналам. ^[100] Логарифм Цеха связан с дискретным логарифмом в мультипликативной группе ненулевых элементов конечного поля . ^[101] $${\displaystyle b^{n}=x,}$$

Другие обратные функции, подобные логарифму, включают двойной логарифм  ln(ln( x )) , супер- или гипер-4-логарифм (небольшая вариация которого в информатике называется итерированным логарифмом ), функцию Ламберта W и логит . Они являются обратными функциями двойной экспоненциальной функции , тетрации , функции f ( w ) = we ^w , ^[102] и логистической функции , соответственно. ^[103]

Связанные концепции

С точки зрения теории групп тождество log( cd ) = log( c ) + log( d ) выражает групповой изоморфизм между положительными вещественными числами при умножении и вещественными числами при сложении. Логарифмические функции являются единственными непрерывными изоморфизмами между этими группами. ^[104] С помощью этого изоморфизма мера Хаара ( мера Лебега )  dx на вещественных числах соответствует мере Хаара  dx / x на положительных вещественных числах. ^[105] Неотрицательные вещественные числа не только имеют умножение, но также имеют сложение и образуют полукольцо , называемое полукольцом вероятностей ; это фактически полуполе . Затем логарифм преобразует умножение в сложение (логарифмическое умножение) и преобразует сложение в логарифмическое сложение ( LogSumExp ), давая изоморфизм полуколец между полукольцом вероятностей и полукольцом логарифмов .

Логарифмические формы  df / f появляются в комплексном анализе и алгебраической геометрии как дифференциальные формы с логарифмическими полюсами . ^[106]

Полилогарифм — это функция, определяемая соотношением Она связана с натуральным логарифмом соотношением Li ₁  ( z ) = −ln(1 − z ) . Более того, Li _s  (1) равна дзета-функции Римана ζ( s ) . ^[107] $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.}$$

Смотрите также

• Математический портал
• Арифметический портал
• Химический портал
• Географический портал
• Инженерный портал

• Десятичная экспонента (dex)
• Экспоненциальная функция
• Индекс статей по логарифмам

Примечания

1. Ограничения на x и b объясняются в разделе «Аналитические свойства».
2. Доказательство: Взяв логарифм по основанию k от определяющего тождества , получаем Формулу, решив ее для ${\textstyle x=b^{\log _{b}x},}$ ${\displaystyle \log _{k}x=\log _{k}\left(b^{\log _{b}x}\right)=\log _{b}x\cdot \log _{k}b.}$ ${\displaystyle \log _{b}x.}$
3. z Некоторые математики не одобряют эту нотацию. В своей автобиографии 1985 года Пол Халмош критиковал то, что он считал «детской нотацией ln », которую, по его словам, ни один математик никогда не использовал. ^[16] Эта нотация была изобретена математиком 19 века И. Стрингхэмом . ^{[17] [18]}
4. Тот же ряд справедлив для главного значения комплексного логарифма для комплексных чисел z, удовлетворяющих условию | z − 1| < 1 .
5. Тот же ряд справедлив для главного значения комплексного логарифма для комплексных чисел z с положительной действительной частью.
6. См. радианы для преобразования между 2π и 360 градусами .

Ссылки

1. Хобсон, Эрнест Уильям (1914), Джон Непер и изобретение логарифмов, 1614; лекция, Библиотека Калифорнийского университета, Кембридж: University Press
2. Реммерт, Рейнхольд. (1991), Теория комплексных функций , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 0387971955, OCLC  21118309
3. Кейт, SK; Бхапкар, HR (2009), Основы математики , Пуна: Технические публикации, ISBN 978-81-8431-755-8, глава 1
4. Все утверждения в этом разделе можно найти, например, в Douglas Downing 2003, стр. 275 или Kate & Bhapkar 2009, стр. 1-1.
5. Бернстайн, Стивен; Бернстайн, Рут (1999), Очерк теории и проблем элементов статистики Шаума. I, Описательная статистика и вероятность, серия очерков Шаума, Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-005023-5, стр. 21
6. Даунинг, Дуглас (2003), Алгебра — легкий путь, Образовательная серия Баррона, Хоппауг, Нью-Йорк: Barron's, глава 17, стр. 275, ISBN 978-0-7641-1972-9
7. Вегенер, Инго (2005), Теория сложности: исследование пределов эффективных алгоритмов , Берлин, Делавэр / Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 20, ISBN 978-3-540-21045-0
8. ван дер Люббе, Ян Калифорния (1997), Теория информации, Cambridge University Press, стр. 3, ISBN 978-0-521-46760-5
9. Аллен, Элизабет; Триантафиллиду, Софи (2011), Руководство по фотографии, Тейлор и Фрэнсис, стр. 228, ISBN 978-0-240-52037-7
10. Паркхерст, Дэвид Ф. (2007), Введение в прикладную математику для наук об окружающей среде (иллюстрированное издание), Springer Science & Business Media, стр. 288, ISBN 978-0-387-34228-3
11. Гудрич, Майкл Т .; Тамассиа, Роберто (2002), Разработка алгоритмов: основы, анализ и примеры из Интернета , John Wiley & Sons, стр. 23, Одним из интересных и порой даже удивительных аспектов анализа структур данных и алгоритмов является повсеместное присутствие логарифмов... Как это принято в компьютерной литературе, мы опускаем написание основания b логарифма, когда b = 2 .
12. Рудин, Уолтер (1984), «Теорема 3.29», Принципы математического анализа (3-е изд., Международное студенческое издание), Окленд, Новая Зеландия: McGraw-Hill International, ISBN 978-0-07-085613-4
13. "Часть 2: Математика", [название не указано] , Величины и единицы (Отчет), Международная организация по стандартизации , 2019, ISO 80000-2 :2019 / EN ISO 80000-2
    См. также ISO 80000-2  .
14. Гуллберг, Ян (1997), Математика: От рождения чисел , Нью-Йорк, Нью-Йорк: WW Norton & Co, ISBN 978-0-393-04002-9
15. Чикагское руководство по стилю (25-е изд.), Издательство Чикагского университета, 2003, стр. 530.
16. Халмош, П. (1985), Я хочу быть математиком: автоматография , Берлин, Делавэр / Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96078-4
17. Стрингем, И. (1893), Унипланарная алгебра, The Berkeley Press, стр.  xiii , Часть I пропевтики к высшему математическому анализу
18. Фридман, Рой С. (2006), Введение в финансовые технологии, Амстердам: Academic Press, стр. 59, ISBN 978-0-12-370478-8
19. Нейпир, Джон (1614), Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio [ Описание чудесного канона логарифмов ] (на латыни), Эдинбург, Шотландия: Эндрю Харт
    Продолжение ... Constructio было опубликовано посмертно:
    Нейпир, Джон (1619), Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio [ Построение чудесного правила логарифмов ] (на латыни), Эдинбург: Эндрю Харт
    Ян Брюс сделал аннотированный перевод обеих книг (2012), доступный на сайте 17centurymaths.com.
20. Хобсон, Эрнест Уильям (1914), Джон Непер и изобретение логарифмов, 1614, Кембридж: Издательство университета
21. Фолкертс, Менсо; Лаунерт, Дитер; Том, Андреас (2016), «Метод Йоста Бюрги для вычисления синусов», Historia Mathematica , 43 (2): 133–147, arXiv : 1510.03180 , doi : 10.1016/j.hm.2016.03.001, MR  3489006, S2CID  119326088
22. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Йост Бюрги (1552 – 1632)», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
23. Уильям Гарднер (1742) Таблицы логарифмов
24. Пирс, Р. К. младший (январь 1977 г.), «Краткая история логарифмов», The Two-Year College Mathematics Journal , 8 (1): 22–26, doi : 10.2307/3026878, JSTOR  3026878
25. Энрике Гонсалес-Веласко (2011) Путешествие по математике – Творческие эпизоды в ее истории , §2.4 Гиперболические логарифмы, стр. 117, Springer ISBN 978-0-387-92153-2 
26. Флориан Каджори (1913) «История концепций экспоненты и логарифма», American Mathematical Monthly 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205
27. Стиллвелл, Дж. (2010), Математика и ее история (3-е изд.), Springer
28. Брайант, Уолтер В. (1907), История астрономии, Лондон: Methuen & Co., стр. 44
29. Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен А. , ред. (1972), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (10-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0, раздел 4.7., стр. 89
30. Кэмпбелл-Келли, Мартин (2003), История математических таблиц: от Шумера до электронных таблиц , Oxford scholarship online, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850841-0, раздел 2
31. Шпигель, Мюррей Р.; Мойер, Р.Э. (2006), Обзор студенческой алгебры Шаума , серия обзоров Шаума, Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-145227-4, стр. 264
32. Маор, Эли (2009), E: История одного числа , Princeton University Press , разделы 1, 13, ISBN 978-0-691-14134-3
33. Девлин, Кит (2004), Множества, функции и логика: введение в абстрактную математику, Chapman & Hall/CRC Math (3-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-449-1, или см. ссылки в функции
34. Lang, Serge (1997), Анализ бакалавриата , Тексты бакалавриата по математике (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2698-5, ISBN 978-0-387-94841-6, г-н  1476913, раздел III.3
35. Lang 1997, раздел IV.2
36. Дьедонне, Жан (1969), Основы современного анализа , т. 1, Academic Press, стр. 84пункт (4.3.1)
37. "Расчет d/dx(Log(b,x))", Wolfram Alpha , Wolfram Research , получено 15 марта 2011 г.
38. Клайн, Моррис (1998), Исчисление: интуитивный и физический подход , Dover books on mathematics, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-40453-0, стр. 386
39. "Calculation of Integrate(ln(x))", Wolfram Alpha , Wolfram Research , получено 15 марта 2011 г.
40. Абрамовиц и Стегун, ред. 1972, с. 69
41. Курант, Ричард (1988), Дифференциальное и интегральное исчисление. Том I , Wiley Classics Library, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-60842-4, МР  1009558, раздел III.6
42. Хавил, Джулиан (2003), Гамма: исследование постоянной Эйлера , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09983-5, разделы 11.5 и 13.8
43. Номидзу, Кацуми (1996), Избранные статьи по теории чисел и алгебраической геометрии, т. 172, Провиденс, Род-Айленд: AMS Bookstore, стр. 21, ISBN 978-0-8218-0445-2
44. Бейкер, Алан (1975), Трансцендентная теория чисел , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-20461-3, стр. 10
45. Мюллер, Жан-Мишель (2006), Элементарные функции (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4372-0, разделы 4.2.2 (стр. 72) и 5.5.2 (стр. 95)
46. Харт; Чейни; Лоусон; и др. (1968), Компьютерные аппроксимации , серия SIAM по прикладной математике, Нью-Йорк: John Wiley, раздел 6.3, стр. 105–11
47. Чжан, М.; Дельгадо-Фриас, Дж. Г.; Вассилиадис, С. (1994), «Схема Ньютона с табличным управлением для генерации логарифмов высокой точности», Труды IEE — Компьютеры и цифровые технологии , 141 (5): 281–92, doi :10.1049/ip-cdt:19941268, ISSN  1350-2387, раздел 1 для обзора
48. Meggitt, JE (апрель 1962), «Процессы псевдоделения и псевдоумножения», IBM Journal of Research and Development , 6 (2): 210–26, doi :10.1147/rd.62.0210, S2CID  19387286
49. Кахан, В. (20 мая 2001 г.), Алгоритмы псевдоделения для логарифмов с плавающей точкой и экспонент
50. Абрамовиц и Стегун, ред. 1972, с. 68
51. Сасаки, Т.; Канада, Й. (1982), «Практически быстрая оценка log(x) с множественной точностью», Журнал обработки информации , 5 (4): 247–50 , получено 30 марта 2011 г.
52. Арендт, Тимм (1999), «Быстрые вычисления экспоненциальной функции», Stacs 99 , Конспект лекций по информатике, т. 1564, Берлин, Нью-Йорк: Springer, стр. 302–12, doi :10.1007/3-540-49116-3_28, ISBN 978-3-540-65691-3
53. Хиллис, Дэнни (15 января 1989 г.), «Ричард Фейнман и машина связей», Physics Today , 42 (2): 78, Bibcode : 1989PhT....42b..78H, doi : 10.1063/1.881196
54. Маор 2009, стр. 135
55. Фрей, Брюс (2006), Статистика хаков, серия хаков, Севастополь, Калифорния: O'Reilly , ISBN 978-0-596-10164-0, глава 6, раздел 64
56. Риккарди, Луиджи М. (1990), Лекции по прикладной математике и информатике, Манчестер: Manchester University Press, ISBN 978-0-7190-2671-3, стр. 21, раздел 1.3.2
57. Санкаран, К. (2001), "7.5.1 децибел (дБ)", Качество электроэнергии , Тейлор и Фрэнсис, ISBN 9780849310409, Децибел используется для выражения отношения между двумя величинами. Величинами могут быть напряжение, ток или мощность.
58. Малинг, Джордж К. (2007), «Шум», в Россинг, Томас Д. (ред.), Справочник по акустике Springer , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-30446-5, раздел 23.0.2
59. Ташев, Иван Желев (2009), Захват и обработка звука: практические подходы, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , стр. 98, ISBN 978-0-470-31983-3
60. Чуй, CK (1997), Вейвлеты: математический инструмент для обработки сигналов, монографии SIAM по математическому моделированию и вычислениям, Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики , ISBN 978-0-89871-384-8
61. Краудер, Брюс; Эванс, Бенни; Ноэлл, Алан (2008), Функции и изменения: модельный подход к алгебре в колледже (4-е изд.), Бостон: Cengage Learning, ISBN 978-0-547-15669-9, раздел 4.4.
62. Bradt, Hale (2004), Методы астрономии: физический подход к астрономическим наблюдениям , Cambridge Planetary Science, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-53551-9, раздел 8.3, стр. 231
63. Норби, Йенс (2000), «Происхождение и значение маленькой буквы p в pH», Тенденции в биохимических науках , 25 (1): 36–37, doi :10.1016/S0968-0004(99)01517-0, PMID  10637613
64. IUPAC (1997), AD McNaught, A. Wilkinson (ред.), Compendium of Chemical Terminology («Золотая книга») (2-е изд.), Oxford: Blackwell Scientific Publications, doi : 10.1351/goldbook , ISBN 978-0-9678550-9-7
65. Bird, JO (2001), Newnes engineering mathematics pocket book (3-е изд.), Oxford: Newnes, ISBN 978-0-7506-4992-6, раздел 34
66. Голдштейн, Э. Брюс (2009), Энциклопедия восприятия, Thousand Oaks, CA: Sage, ISBN 978-1-4129-4081-8, стр. 355–56
67. Мэтьюз, Джеральд (2000), Человеческая деятельность: познание, стресс и индивидуальные различия, Хоув: Psychology Press, ISBN 978-0-415-04406-6, стр. 48
68. Уэлфорд, AT (1968), Основы мастерства , Лондон: Метуэн, ISBN 978-0-416-03000-6, OCLC  219156, стр. 61
69. Пол М. Фиттс (июнь 1954 г.), «Информационная емкость двигательной системы человека при управлении амплитудой движения», Журнал экспериментальной психологии , 47 (6): 381–91, doi :10.1037/h0055392, PMID  13174710, S2CID  501599, перепечатано в Paul M. Fitts (1992), "Информационная емкость двигательной системы человека при управлении амплитудой движения" (PDF) , Journal of Experimental Psychology: General , 121 (3): 262–69, doi :10.1037/0096-3445.121.3.262, PMID  1402698 , получено 30 марта 2011 г.
70. Баннерджи, Дж. К. (1994), Энциклопедический словарь психологических терминов, Нью-Дели: MD Publications, стр. 304, ISBN 978-81-85880-28-0, OCLC  33860167
71. Надель, Линн (2005), Энциклопедия когнитивной науки , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-470-01619-0, леммы Психофизика и восприятие: Обзор
72. Siegler, Robert S.; Opfer, John E. (2003), "The Development of Numerical Estimation. Evidence for Multiple Representations of Numerical Quantity" (PDF) , Psychological Science , 14 (3): 237–43, CiteSeerX 10.1.1.727.3696 , doi :10.1111/1467-9280.02438, PMID  12741747, S2CID  9583202, заархивировано из оригинала (PDF) 17 мая 2011 г. , извлечено 7 января 2011 г. 
73. Дехане, Станислас; Изард, Вероник; Спелке, Элизабет; Пика, Пьер (2008), «Лог или линейный? Различия в интуиции числовой шкалы в западных и амазонских культурах коренных народов», Science , 320 (5880): 1217–20, Bibcode : 2008Sci...320.1217D, CiteSeerX 10.1.1.362.2390 , doi : 10.1126/science.1156540, PMC 2610411 , PMID  18511690  
74. Брейман, Лео (1992), Вероятность , Классика прикладной математики, Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики , ISBN 978-0-89871-296-4, раздел 12.9
75. Эйтчисон, Дж.; Браун, Дж. А. К. (1969), Логнормальное распределение , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-04011-2, OCLC  301100935
76. Жан Матье и Джулиан Скотт (2000), Введение в турбулентный поток, Cambridge University Press, стр. 50, ISBN 978-0-521-77538-0
77. Роуз, Колин; Смит, Мюррей Д. (2002), Математическая статистика с Mathematica , Springer тексты по статистике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95234-5, раздел 11.3
78. Табачников, Серж (2005), Геометрия и бильярд , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 36–40, ISBN 978-0-8218-3919-5, раздел 2.1
79. Дурчи, Синди; Хиллисон, Уильям; Пачини, Карл (2004), «Эффективное использование закона Бенфорда при обнаружении мошенничества в бухгалтерских данных» (PDF) , Журнал судебной бухгалтерской экспертизы , V : 17–34, архивировано из оригинала (PDF) 29 августа 2017 г. , извлечено 28 мая 2018 г.
80. Вегенер, Инго (2005), Теория сложности: исследование пределов эффективных алгоритмов , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-21045-0, стр. 1–2
81. Харель, Дэвид; Фельдман, Ишай А. (2004), Алгоритмика: дух вычислений , Нью-Йорк: Addison-Wesley , ISBN 978-0-321-11784-7, стр. 143
82. Кнут, Дональд (1998), Искусство программирования , Reading, MA: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-89685-5, раздел 6.2.1, стр. 409–26
83. Дональд Кнут 1998, раздел 5.2.4, стр. 158–68
84. Вегенер, Инго (2005), Теория сложности: исследование пределов эффективных алгоритмов , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 20, ISBN 978-3-540-21045-0
85. Мор, Ганс; Шопфер, Питер (1995), Физиология растений , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58016-4, глава 19, стр. 298
86. Эко, Умберто (1989), Открытая работа , Издательство Гарвардского университета , ISBN 978-0-674-63976-8, раздел III.I
87. Sprott, Julien Clinton (2010), "Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows", Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows. Под редакцией Sprott Julien Clinton. Опубликовано World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd , Нью-Джерси: World Scientific , Bibcode : 2010ecas.book.....S, doi : 10.1142/7183, ISBN 978-981-283-881-0, раздел 1.9
88. Хельмберг, Гилберт (2007), Знакомство с фракталами , De Gruyter Textbook, Берлин, Нью-Йорк: Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-019092-2
89. Райт, Дэвид (2009), Математика и музыка , Провиденс, Род-Айленд: AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-4873-9, глава 5
90. Бейтман, ПТ; Даймонд, Гарольд Г. (2004), Аналитическая теория чисел: вводный курс , Нью-Джерси: World Scientific , ISBN 978-981-256-080-3, OCLC  492669517, теорема 4.1
91. PT Bateman & Diamond 2004, Теорема 8.15
92. Сломсон, Алан Б. (1991), Введение в комбинаторику , Лондон: CRC Press , ISBN 978-0-412-35370-3, глава 4
93. Гангули, С. (2005), Элементы комплексного анализа , Калькутта: Academic Publishers, ISBN 978-81-87504-86-3, Определение 1.6.3
94. Неванлинна, Рольф Герман ; Паатеро, Вейкко (2007), «Введение в комплексный анализ», Лондон: Хильгер , Провиденс, Род-Айленд: Книжный магазин AMS, Bibcode : 1974aitc.book.....W, ISBN 978-0-8218-4399-4, раздел 5.9
95. Мур, Терал Орвис; Хэдлок, Эдвин Х. (1991), Комплексный анализ , Сингапур: World Scientific , ISBN 978-981-02-0246-0, раздел 1.2
96. Уайльд, Иван Фрэнсис (2006), Конспект лекций по комплексному анализу, Лондон: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-642-4, теорема 6.1.
97. Хайэм, Николас (2008), Функции матриц. Теория и вычисления , Филадельфия, Пенсильвания: SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7, глава 11.
98. Нойкирх, Юрген (1999), Algebraische Zahlentheorie , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften , vol. 322, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65399-8, MR  1697859, Zbl  0956.11021, раздел II.5.
99. Хэнкок, Эдвин Р.; Мартин, Ральф Р.; Сабин, Малкольм А. (2009), Математика поверхностей XIII: 13-я Международная конференция IMA Йорк, Великобритания, 7–9 сентября 2009 г. Труды, Springer, стр. 379, ISBN 978-3-642-03595-1
100. Стинсон, Дуглас Роберт (2006), Криптография: теория и практика (3-е изд.), Лондон: CRC Press , ISBN 978-1-58488-508-5
101. Лидл, Рудольф; Нидеррайтер, Харальд (1997), Конечные поля , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-39231-0
102. Corless, R.; Gonnet, G.; Hare, D.; Jeffrey, D.; Knuth, Donald (1996), "On the Lambert W function" (PDF) , Advances in Computational Mathematics , 5 : 329–59, doi :10.1007/BF02124750, ISSN  1019-7168, S2CID  29028411, архивировано из оригинала (PDF) 14 декабря 2010 г. , извлечено 13 февраля 2011 г.
103. Черкасский, Владимир; Черкасский, Владимир С.; Мюльер, Филипп (2007), Обучение на основе данных: концепции, теория и методы , серия Wiley по адаптивным и обучающимся системам для обработки сигналов, связи и управления, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-68182-3, стр. 357
104. Бурбаки, Николас (1998), Общая топология. Главы 5–10 , Элементы математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64563-4, г-н  1726872, раздел V.4.1
105. Амбарцумян, Р.В. (1990), Факторизационная исчисление и геометрическая вероятность , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-34535-4, раздел 1.4
106. Эсно, Элен; Фивег, Эккарт (1992), Лекции по теоремам об исчезновении , Семинар DMV, том. 20, Базель, Бостон: Birkhäuser Verlag, CiteSeerX 10.1.1.178.3227 , doi : 10.1007/978-3-0348-8600-0, ISBN  978-3-7643-2822-1, г-н  1193913, раздел 2
107. Апостол, TM (2010), «Логарифм», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.

Внешние ссылки

• Медиафайлы по теме Логарифм на Wikimedia Commons
• Словарное определение логарифма в Викисловаре
• Цитаты, связанные с историей логарифмов в Викицитатнике
• Урок по логарифмам можно найти на Викиверситете
• Вайсштейн, Эрик В. , «Логарифм», MathWorld
• Khan Academy: Логарифмы, бесплатные онлайн-микролекции
• «Логарифмическая функция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Колин Байфлит, Образовательное видео о логарифмах , получено 12 октября 2010 г.
• Эдвард Райт, Перевод работы Непера о логарифмах, архивировано из оригинала 3 декабря 2002 г. , извлечено 12 октября 2010 г.
• Глейшер, Джеймс Уитбред Ли (1911), «Логарифм»  , в Чисхолм, Хью (ред.), Encyclopaedia Britannica , т. 16 (11-е изд.), Cambridge University Press, стр. 868–77