Логарифмические неравенства Соболева

В математике логарифмические неравенства Соболева — это класс неравенств, включающий норму функции f , ее логарифм и ее градиент . Эти неравенства были открыты и названы Леонардом Гроссом , который установил их в независимой от размерности форме ^[1]^[2] в контексте конструктивной квантовой теории поля . Подобные результаты ранее были обнаружены другими математиками, и известно множество вариаций таких неравенств. $\набла е$

Гросс ^[3] доказал неравенство:

\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}f(x){\big |}^{2}\log {\big |}f(x){\big | }\,d\nu (x)\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}\nabla f(x){\big |}^{2}\,d\nu (x)+\|f\|_{2}^{2}\log \|f\|_{2},

где - норма , при этом стандартная гауссова мера на В отличие от классических неравенств Соболева , лог-неравенство Соболева Гросса не имеет константы, зависящей от размерности, что делает его применимым в бесконечномерном пределе. $\|f\|_{2}$ $L^{2}(\nu)$ $е$ $\nu$ $\mathbb {R} ^{n}.$

В частности, говорят, что вероятностная мера на удовлетворяет лог-неравенству Соболева с константой , если для любой гладкой функции f $\mu$ $\mathbb {R} ^{n}$ $C>0$

\operatorname {Ent} _{\mu }(f^{2})\leq C\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}\nabla f(x){\ большой |}^{2}\,d\mu (x),

где - функционал энтропии. $\operatorname {Ent} _ {\mu }(f^{2})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{2}\log {\frac {f^{2} }}{\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{2}\,d\mu (x)}}\,d\mu (x)$

Примечания

^ Гросс 1975а
^ Гросс 1975b
^ Гросс 1975а

Логарифмические неравенства Соболева

Примечания

Рекомендации