Логика релевантности

Логика релевантности , также называемая релевантной логикой , является разновидностью неклассической логики, требующей, чтобы антецедент и консеквент импликаций были релевантно связаны . Их можно рассматривать как семейство субструктурных или модальных логик. Обычно, но не повсеместно, британские и, особенно, австралийские логики называют ее релевантной логикой , а американские логики — логикой релевантности .

Логика релевантности направлена ​​на то, чтобы охватить аспекты импликации, которые игнорируются оператором « материальной импликации » в классической истинностно-функциональной логике , а именно, понятие релевантности между антецедентом и условием истинной импликации. Эта идея не нова: К. И. Льюис был вынужден изобрести модальную логику, и в частности строгую импликацию , на том основании, что классическая логика допускает парадоксы материальной импликации, такие как принцип, согласно которому ложь подразумевает любое предложение . ^{[1] [2]} Следовательно, «если я осел, то дважды два — четыре» является истинным при переводе как материальная импликация, однако интуитивно кажется ложным, поскольку истинная импликация должна связывать антецедент и консеквент вместе некоторым понятием релевантности. И то, является ли говорящий ослом или нет, кажется никак не связанным с тем, является ли дважды два четырьмя.

С точки зрения синтаксического ограничения для исчисления высказываний необходимо, но недостаточно, чтобы посылки и заключение разделяли атомарные формулы (формулы, которые не содержат никаких логических связок ). В исчислении предикатов релевантность требует совместного использования переменных и констант между посылками и заключением. Это может быть обеспечено (наряду с более сильными условиями), например, путем наложения определенных ограничений на правила системы естественного вывода. В частности, естественный вывод в стиле Фитча может быть адаптирован для обеспечения релевантности путем введения тегов в конце каждой строки применения вывода, указывающих посылки, релевантные заключению вывода. Исчисления секвенций в стиле Генцена могут быть изменены путем удаления ослабляющих правил, которые позволяют вводить произвольные формулы с правой или левой стороны секвенций .

Примечательной особенностью релевантных логик является то, что они являются паранепротиворечивыми логиками : существование противоречия не обязательно вызовет « взрыв ». Это следует из того факта, что условное утверждение с противоречивым антецедентом, которое не разделяет никаких пропозициональных или предикатных букв с консеквентом, не может быть истинным (или выводимым).

История

Логика релевантности была предложена в 1928 году советским философом Иваном Е. Орловым (1886 – около 1936) в его строго математической статье «Логика совместимости предложений», опубликованной в Математическом сборнике . Основная идея релевантной импликации появляется в средневековой логике, и некоторые пионерские работы были проделаны Аккерманом ^[3] , Мо ^[4] и Чёрчем ^[5] в 1950-х годах. Опираясь на них, Нуэль Белнап и Алан Росс Андерсон (с другими) написали magnum opus предмета, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity в 1970-х годах (второй том был опубликован в девяностых). Они сосредоточились как на системах вывода, так и на системах релевантности, где импликации первых видов должны быть как релевантными, так и необходимыми.

Аксиомы

Ранние разработки в области релевантной логики были сосредоточены на более сильных системах. Развитие семантики Раутли–Майера выявило ряд более слабых логик. Самая слабая из этих логик — релевантная логика B. Она аксиоматизируется следующими аксиомами и правилами.

1. ${\displaystyle A\to A}$
2. ${\displaystyle A\land B\to A}$
3. ${\displaystyle A\land B\to B}$
4. ${\displaystyle (A\to B)\land (A\to C)\to (A\to B\land C)}$
5. ${\displaystyle A\to A\lor B}$
6. ${\displaystyle B\to A\lor B}$
7. ${\displaystyle (A\to C)\land (B\to C)\to (A\lor B\to C)}$
8. ${\displaystyle A\land (B\lor C)\to (A\land B)\lor (A\land C)}$
9. ${\displaystyle \lnot \lnot A\to A}$

Правила следующие.

1. ${\displaystyle A,A\to B\vdash B}$
2. ${\displaystyle A,B\vdash A\land B}$
3. ${\displaystyle A\to B\vdash (C\to A)\to (C\to B)}$
4. ${\displaystyle A\to B\vdash (B\to C)\to (A\to C)}$
5. ${\displaystyle A\to \lnot B\vdash B\to \lnot A}$

Более сильную логику можно получить, добавив любую из следующих аксиом.

1. ${\displaystyle (A\to B)\to (\lnot B\to \lnot A)}$
2. ${\displaystyle (A\to B)\land (B\to C)\to (A\to C)}$
3. ${\displaystyle (A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))}$
4. ${\displaystyle (A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))}$
5. ${\displaystyle (A\to (A\to B))\to (A\to B)}$
6. ${\displaystyle (A\land (A\to B))\to B}$
7. ${\displaystyle (A\to \lnot A)\to \lnot A}$
8. ${\displaystyle (A\to (B\to C))\to (B\to (A\to C))}$
9. ${\displaystyle A\to ((A\to B)\to B)}$
10. ${\displaystyle ((A\to A)\to B)\to B}$
11. ${\displaystyle A\lor \lnot A}$
12. ${\displaystyle A\to (A\to A)}$

Существуют некоторые примечательные логики, более сильные, чем B, которые можно получить, добавив аксиомы к B следующим образом.

• Для DW добавьте аксиому 1.
• Для DJ добавьте аксиомы 1, 2.
• Для TW добавьте аксиомы 1, 2, 3, 4.
• Для RW добавьте аксиомы 1, 2, 3, 4, 8, 9.
• Для T добавьте аксиомы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11.
• Для R добавьте аксиомы 1-11.
• Для E добавьте аксиомы 1-7, 10, 11, и , где определяется как . ${\displaystyle ((A\to A)\land (B\to B)\to C)\to C}$ ${\displaystyle \Box A\land \Box B\to \Box (A\land B)}$ ${\displaystyle \Box A}$ ${\displaystyle (A\to A)\to A}$
• Для РМ добавьте все дополнительные аксиомы.

Модели

Модели Раутли–Мейера

Стандартная модельная теория для релевантных логик — это тернарно-реляционная семантика Раутли-Майера, разработанная Ричардом Раутли и Робертом Мейером . Фрейм Раутли-Майера F для пропозиционального языка — это четверка (W,R,*,0), где W — непустое множество, R — тернарное отношение на W, а * — функция из W в W, и . Модель Раутли-Майера M — это фрейм Раутли-Майера F вместе с оценкой, , которая присваивает значение истинности каждому атомарному предложению относительно каждой точки . На фреймы Раутли-Майера накладываются некоторые условия. Определим как . ${\displaystyle 0\in W}$ ${\displaystyle \Vdash }$ ${\displaystyle a\in W}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle R0ab}$

• ${\displaystyle a\leq a}$.
• Если и , то . ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle b\leq c}$ ${\displaystyle a\leq c}$
• Если и , то . ${\displaystyle d\leq a}$ ${\displaystyle Rabc}$ ${\displaystyle Rdbc}$
• ${\displaystyle a^{**}=a}$.
• Если , то . ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle b^{*}\leq a^{*}}$

Запишите и , чтобы указать, что формула верна или неверна соответственно в точке в . Последним условием моделей Раутли-Майера является условие наследственности. ${\displaystyle M,a\Vdash A}$ ${\displaystyle M,a\nVdash A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle M}$

• Если и , то для всех атомарных предложений . ${\displaystyle M,a\Vdash p}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle M,b\Vdash p}$ ${\displaystyle p}$

С помощью индуктивного аргумента можно показать, что наследственность распространяется на сложные формулы, используя приведенные ниже условия истинности.

• Если и , то для всех формул . ${\displaystyle M,a\Vdash A}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle M,b\Vdash A}$ ${\displaystyle A}$

Условия истинности сложных формул следующие.

• ${\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}$и ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}$или ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b,c((Rabc\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,c\Vdash B)}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash \lnot A\iff M,a^{*}\nVdash A}$

Формула выполняется в модели только в случае . Формула выполняется на фрейме тогда и только тогда, когда A выполняется в каждой модели . Формула действительна в классе фреймов тогда и только тогда, когда A выполняется на каждом фрейме в этом классе. Класс всех фреймов Раутли–Майера, удовлетворяющих вышеуказанным условиям, подтверждает эту логику релевантности B. Можно получить фреймы Раутли–Майера для других логик релевантности, наложив соответствующие ограничения на R и на *. Эти условия проще сформулировать, используя некоторые стандартные определения. Пусть будет определено как , а пусть будет определено как . Некоторые из условий фрейма и аксиомы, которые они проверяют, следующие. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M,0\Vdash A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (F,\Vdash )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Rabcd}$ ${\displaystyle \exists x(Rabx\land Rxcd)}$ ${\displaystyle Ra(bc)d}$ ${\displaystyle \exists x(Rbcx\land Raxd)}$

Последние два условия подтверждают формы ослабления, которые изначально были разработаны для избежания релевантных логик. Они включены, чтобы показать гибкость моделей Раутли–Майера.

Операционные модели

Модели Уркухарта

Операционные модели для фрагментов релевантных логик без отрицания были разработаны Аласдером Уркухартом в его докторской диссертации и в последующих работах. Интуитивная идея, лежащая в основе операциональных моделей, заключается в том, что точки в модели являются фрагментами информации, и объединение информации, поддерживающей условное предложение, с информацией, поддерживающей его антецедент, дает некоторую информацию, поддерживающую консеквент. Поскольку операциональные модели, как правило, не интерпретируют отрицание, в этом разделе будут рассматриваться только языки с условным предложением, конъюнкцией и дизъюнкцией.

Операционный фрейм — это тройка , где — непустое множество, , а — бинарная операция над . Фреймы имеют условия, некоторые из которых могут быть опущены для моделирования различных логик. Условия, предложенные Уркухартом для моделирования условности логики релевантности R, следующие. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (K,\cdot ,0)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0\in K}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle K}$

• ${\displaystyle x\cdot x=x}$
• ${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$
• ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$
• ${\displaystyle 0\cdot x=x}$

При этих условиях операционный фрейм представляет собой соединительную полурешетку .

Операционная модель представляет собой фрейм с оценкой , которая сопоставляет пары точек и атомарных предложений со значениями истинности, T или F. может быть расширена до оценки по сложным формулам следующим образом. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Vdash }$

• ${\displaystyle M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T}$, для атомарных предложений
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}$и ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}$или ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Формула верна в модели тогда и только тогда, когда она верна в классе моделей . Формула верна в классе моделей тогда и только тогда, когда она верна в каждой модели . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M,0\Vdash A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M\in C}$

Условный фрагмент R является обоснованным и полным относительно класса полурешетчатых моделей. Логика с конъюнкцией и дизъюнкцией, по сути, сильнее, чем условный, конъюнктивный, дизъюнктивный фрагмент R. В частности, формула действительна для операциональных моделей, но недействительна в R. Логика, сгенерированная операциональными моделями для R, имеет полную аксиоматическую систему доказательств, благодаря Киту Файну и Джеральду Чарлвуду. Чарлвуд также предоставил естественную систему вывода для логики, которая, как он доказал, эквивалентна аксиоматической системе. Чарлвуд показал, что его естественная система вывода эквивалентна системе, предоставленной Дагом Правицем . ${\displaystyle (A\to (B\lor C))\land (B\to C)\to (A\to C)}$

Операционная семантика может быть адаптирована для моделирования условного предложения E путем добавления непустого множества миров и отношения доступности к фреймам. Отношение доступности должно быть рефлексивным и транзитивным, чтобы уловить идею о том, что условное предложение E имеет необходимость S4. Затем оценки отображают тройки атомарных предложений, точек и миров в значения истинности. Условие истинности для условного предложения изменяется на следующее. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle W\times W}$

• ${\displaystyle M,a,w\Vdash A\to B\iff \forall b,\forall w'\geq w(M,b,w'\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b,w'\Vdash B)}$

Операционная семантика может быть адаптирована для моделирования условного оператора T путем добавления отношения к . Отношение должно подчиняться следующим условиям. ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle K\times K}$

• ${\displaystyle 0\leq x}$
• Если и , то ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y\leq z}$ ${\displaystyle x\leq z}$
• Если , то ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x\cdot z\leq y\cdot z}$

Условие истинности для условного выражения изменяется на следующее.

• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((a\leq b\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Существует два способа моделирования логик релевантности без сокращения TW и RW с помощью операциональных моделей. Первый способ — отказаться от условия . Второй способ — сохранить условия полурешетки на фреймах и добавить бинарное отношение, , непересекаемости к фрейму. Для этих моделей условия истинности для условного выражения изменяются на следующие, с добавлением упорядочения в случае TW. ${\displaystyle x\cdot x=x}$ ${\displaystyle J}$

• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((Jab\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Модели Хамберстоуна

Уркухарт показал, что логика полурешетки для R по сути сильнее, чем позитивный фрагмент R. Ллойд Хамберстоун предоставил обогащение операционных моделей, которое допускало другое условие истинности для дизъюнкции. Результирующий класс моделей генерирует в точности позитивный фрагмент R.

Операционный фрейм — это четверка , где — непустое множество, , и { , } — бинарные операции над . Пусть определяется как . Условия фрейма следующие. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (K,\cdot ,+,0)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0\in K}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle \exists x(a+x=b)}$

1. ${\displaystyle 0\cdot x=x}$
2. ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$
3. ${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$
4. ${\displaystyle x\leq x\cdot x}$
5. ${\displaystyle x+y=y+x}$
6. ${\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}$
7. ${\displaystyle x+x=x}$
8. ${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$
9. ${\displaystyle x\leq y+z\Rightarrow \exists y',z'\in K(y'\leq y}$, и ${\displaystyle z'\leq z}$ ${\displaystyle x=y'+z')}$

Операционная модель представляет собой фрейм с оценкой , которая сопоставляет пары точек и атомарных предложений со значениями истинности, T или F. может быть расширена до оценки по сложным формулам следующим образом. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Vdash }$

• ${\displaystyle M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T}$, для атомарных предложений
• ${\displaystyle M,a+b\Vdash p\iff M,a\Vdash p}$и ${\displaystyle M,b\Vdash p}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}$и ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}$или или ; и ${\displaystyle M,a\Vdash B}$ ${\displaystyle \exists b,c(a=b+c}$ ${\displaystyle M,b\Vdash A}$ ${\displaystyle M,c\Vdash B)}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Формула верна в модели тогда и только тогда, когда она верна в классе моделей . Формула верна в классе моделей тогда и только тогда, когда она верна в каждой модели . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M,0\Vdash A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M\in C}$

Положительный фрагмент R является обоснованным и полным относительно класса этих моделей. Семантика Хамберстоуна может быть адаптирована для моделирования различных логик путем удаления или добавления условий фрейма следующим образом.

Алгебраические модели

Некоторым логикам релевантности можно задать алгебраические модели, такие как логика R. Алгебраическими структурами для R являются моноиды де Моргана, которые являются шестерками, где ${\displaystyle (D,\land ,\lor ,\lnot ,\circ ,e)}$

• ${\displaystyle (D,\land ,\lor ,\lnot )}$является дистрибутивной решеткой с унарной операцией, подчиняющейся законам и если то ; ${\displaystyle \lnot }$ ${\displaystyle \lnot \lnot x=x}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle \lnot y\leq \lnot x}$
• ${\displaystyle e\in D}$, бинарная операция коммутативна ( ) и ассоциативна ( ), и , т.е. является абелевым моноидом с единицей ; ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle x\circ y=y\circ x}$ ${\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)}$ ${\displaystyle e\circ x=x}$ ${\displaystyle (D,\circ ,e)}$ ${\displaystyle e}$
• моноид является решеточно-упорядоченным и удовлетворяет условию ; ${\displaystyle x\circ (y\lor z)=(x\circ y)\lor (x\circ z)}$
• ${\displaystyle x\leq x\circ x}$; и
• если , то . ${\displaystyle x\circ y\leq z}$ ${\displaystyle x\circ \lnot z\leq \lnot y}$

Операция, интерпретирующая условное выражение R, определяется как . Моноид де Моргана — это резидуированная решетка , подчиняющаяся следующему условию резидуации. ${\displaystyle x\to y}$ ${\displaystyle \lnot (x\circ \lnot y)}$

${\displaystyle x\circ y\leq z\iff x\leq y\to z}$

Интерпретация — это гомоморфизм из пропозиционального языка в моноид де Моргана, такой что ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle v(p)\in D}$для всех атомарных предложений,
• ${\displaystyle v(\lnot A)=\lnot v(A)}$
• ${\displaystyle v(A\lor B)=v(A)\lor v(B)}$
• ${\displaystyle v(A\land B)=v(A)\land v(B)}$
• ${\displaystyle v(A\to B)=v(A)\to v(B)}$

При наличии моноида де Моргана и интерпретации можно сказать, что формула выполняется только в том случае, если . Формула действительна только в том случае, если она выполняется для всех интерпретаций на всех моноидах де Моргана. Логика R является обоснованной и полной для моноидов де Моргана. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle e\leq v(A)}$ ${\displaystyle A}$

Смотрите также

• Философский портал

• Связная логика , иной подход к парадоксам материальной импликации
• Non sequitur (логика)
• Соответствующая система типов , система субструктурных типов

Ссылки

1. Льюис, CI (1912). «Импликация и алгебра логики». Mind , 21 (84):522–531.
2. Льюис, CI (1917). «Вопросы, касающиеся материального следствия». Журнал философии, психологии и научных методов , 14 :350–356.
3. Акерманн, В. (1956), "Begründung einer strengen Implikation", Журнал символической логики , 21 (2): 113–128, JSTOR  2268750
4. Moh, Shaw-kwei (1950), «Теоремы дедукции и две новые логические системы», Methodos , 2 : 56–75Мо Шоу-Квей, 1950, «Методос 2 56–75».
5. Чёрч, А. (1951), Слабая теория импликациив Kontroliertes Denken: Untersuchungen zum Logikkalkül und zur Logik der Einzelwissenschaften , Kommissions-Verlag Karl Alber, под редакцией А. Менне, А. Вильгельми и Х. Ангсила, стр. 22–37.

Библиография

• Алан Росс Андерсон и Нуэль Белнап , 1975. Вывод: логика релевантности и необходимости, т. I. Princeton University Press. ISBN 0-691-07192-6 
• ------- и Дж. М. Данн, 1992. Вывод: логика релевантности и необходимости, т. II , Princeton University Press.
• Марес, Эдвин и Мейер, Р. К., 2001, «Соответствующие логики», в книге под ред. Гобла Лу « Руководство по философской логике Блэквелла» . Блэквелл.
• Ричард Рутли, Вэл Пламвуд, Роберт К. Мейер и Росс Т. Брэди. Соответствующие логики и их соперники . Риджвью, 1982.
• Р. Брэди (ред.), Соответствующие логики и их соперники (том II) , Олдершот: Ashgate, 2003.
• Уркухарт, Аласдер (1972). «Семантика для релевантных логик» (PDF) . Журнал символической логики . 37 : 159–169. doi :10.2307/2272559.
• Аласдер Уркухарт. Семантика вывода . Кандидатская диссертация, Питтсбургский университет, 1972.
• Каталин Бимбо , Логика релевантности, в Философии логики , Д. Жакетт (ред.), (том 5 Справочника по философии науки , Д. Габбей, П. Тагард, Дж. Вудс (ред.)), Elsevier (Северная Голландия), 2006, стр. 723–789.
• J. Michael Dunn и Greg Restall. Логика релевантности. В Handbook of Philosophical Logic , том 6, F. Guenthner и D. Gabbay (ред.), Dordrecht: Kluwer, 2002, стр. 1–136.
• Стивен Рид, Соответствующая логика , Оксфорд: Блэквелл, 1988.
• Хамберстоун, Ллойд (1987). «Операционная семантика для положительного R». Notre Dame Journal of Formal Logic . 29 (1): 61–80. doi : 10.1305/ndjfl/1093637771 .

Внешние ссылки

• Стэнфордская энциклопедия философии : «Логика релевантности» – Эдвин Марес.
• Логика релевантности – Дж. Майкл Данн и Грег Рестолл
• Соответствующая логика – Стивен Рид