Субъективная логика

Субъективная логика — это тип вероятностной логики , которая явно принимает во внимание эпистемическую неопределенность и доверие к источнику. В целом субъективная логика подходит для моделирования и анализа ситуаций, связанных с неопределенностью и относительно ненадежными источниками. ^{[1] [2] [3]} Например, его можно использовать для моделирования и анализа сетей доверия и байесовских сетей .

Аргументы в субъективной логике — это субъективные мнения о переменных состояния, которые могут принимать значения из области (так называемого пространства состояний), где значение состояния можно рассматривать как утверждение, которое может быть истинным или ложным. Биномиальное мнение применяется к бинарной переменной состояния и может быть представлено как бета-PDF (функция плотности вероятности). Полиномиальное мнение применяется к переменной состояния с несколькими возможными значениями и может быть представлено в виде PDF Дирихле (функция плотности вероятности). Благодаря соответствию между мнениями и распределениями Бета/Дирихле субъективная логика предоставляет алгебру для этих функций. Мнения также связаны с представлением убеждений в теории убеждений Демпстера-Шафера .

Фундаментальный аспект человеческого существования заключается в том, что никто никогда не может с абсолютной уверенностью определить, является ли утверждение о мире истинным или ложным. Кроме того, всякий раз, когда выражается истинность предложения, это всегда делается индивидуумом, и его никогда нельзя рассматривать как представляющее общее и объективное убеждение. Эти философские идеи непосредственно отражаются в математическом формализме субъективной логики.

Субъективные мнения

Субъективные мнения выражают субъективные убеждения об истинности государственных ценностей/предложений со степенью эпистемической неопределенности и могут явно указывать источник убеждений, когда это необходимо. Мнение обычно обозначается как источник мнения и переменная состояния, к которой применяется мнение. Переменная может принимать значения из домена (также называемого пространством состояний), например, обозначаемого как . Предполагается, что значения домена являются исчерпывающими и непересекающимися, а источники имеют общую семантическую интерпретацию домена. Источник и переменная являются атрибутами мнения. Указание источника может быть опущено, если оно не имеет значения. ${\displaystyle \omega _{X}^{A}}$ ${\displaystyle A\,\!}$ ${\displaystyle X\,\!}$ ${\displaystyle X\,\!}$ ${\displaystyle \mathbb {X} }$

Биномиальные мнения

Пусть будет значением состояния в двоичной области. Биномиальное мнение об истинности государственной ценности представляет собой упорядоченную четверку, где: ${\displaystyle x\,\!}$ ${\displaystyle x\,\!}$ ${\displaystyle \omega _{x}=(b_{x},d_{x},u_{x},a_{x})\,\!}$

Эти компоненты удовлетворяют и . Характеристики различных классов мнений перечислены ниже. ${\displaystyle b_{x}+d_{x}+u_{x}=1\,\!}$ ${\displaystyle b_{x},d_{x},u_{x},a_{x}\in [0,1]\,\!}$

Прогнозируемая вероятность биномиального мнения определяется как . ${\displaystyle \mathrm {P} _{x}=b_{x}+a_{x}u_{x}\,\!}$

Биномиальные мнения могут быть представлены в равностороннем треугольнике, как показано ниже. Точка внутри треугольника представляет собой тройку. Оси b , d , u проходят от одного края к противоположной вершине, обозначенной меткой «Вера», «Неверие» или «Неопределенность» . Например, сильное положительное мнение обозначается точкой в ​​нижней правой вершине убеждения. Базовая ставка, также называемая априорной вероятностью, отображается в виде красного указателя вдоль базовой линии, а прогнозируемая вероятность формируется путем проецирования мнения на базу параллельно линии проектора базовой ставки. Мнения о трех ценностях/предложениях X, Y и Z визуализируются на треугольнике слева, а их эквивалентные бета-PDF (функции плотности вероятности) визуализируются на графиках справа. Также показаны числовые значения и словесные качественные описания каждого мнения. ${\displaystyle (b_{x},d_{x},u_{x})\,\!}$ ${\displaystyle \mathrm {P} _{x}\,\!}$

Бета -PDF обычно обозначается как где и — два его параметра прочности. Бета-PDF биномиального мнения — это функция , где — неинформативный априорный вес, также называемый единицей доказательства, ^[4] обычно равный . ${\displaystyle \mathrm {Beta} (p(x);\alpha ,\beta )\,\!}$ ${\displaystyle \alpha \,\!}$ ${\displaystyle \beta \,\!}$ ${\displaystyle \omega _{x}=(b_{x},d_{x},u_{x},a_{x})\,\!}$ ${\displaystyle \mathrm {Beta} (p(x);\alpha ,\beta ){\mbox{ where }}{\begin{cases}\alpha &={\frac {Wb_{x}}{u_{x}}}+Wa_{x}\\\beta &={\frac {Wd_{x}}{u_{x}}}+W(1-a_{x})\end{cases}}\,\!}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W=2}$

Полиномиальные мнения

Пусть будет переменной состояния, которая может принимать значения состояния . Полиномиальное мнение по поводу — это составной кортеж , где — распределение массы убеждений по возможным значениям состояния , — масса неопределенности, а — априорное (базовое) распределение вероятностей по возможным значениям состояния . Эти параметры удовлетворяют и и . ${\displaystyle X\,\!}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {X} \,\!}$ ${\displaystyle X\,\!}$ ${\displaystyle \omega _{X}=(b_{X},u_{X},a_{X})\,\!}$ ${\displaystyle b_{X}\,\!}$ ${\displaystyle X\,\!}$ ${\displaystyle u_{X}\,\!}$ ${\displaystyle a_{X}\,\!}$ ${\displaystyle X\,\!}$ ${\displaystyle u_{X}+\sum b_{X}(x)=1\,\!}$ ${\displaystyle \sum a_{X}(x)=1\,\!}$ ${\displaystyle b_{X}(x),u_{X},a_{X}(x)\in [0,1]\,\!}$

Трехчленные мнения можно просто визуализировать как точки внутри тетраэдра , но мнения с размерами, превышающими трехчленные, не поддаются простой визуализации.

PDF-файлы Дирихле обычно обозначаются как где – распределение вероятностей по значениям состояния и – параметры прочности. PDF Дирихле полиномиального мнения – это функция , в которой параметры силы определяются как , где – неинформативный априорный вес, также называемый единицей доказательства, ^[4] обычно равный числу классов. ${\displaystyle \mathrm {Dir} (p_{X};\alpha _{X})\,\!}$ ${\displaystyle p_{X}\,\!}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha _{X}\,\!}$ ${\displaystyle \omega _{X}=(b_{X},u_{X},a_{X})\,\!}$ ${\displaystyle \mathrm {Dir} (p_{X};\alpha _{X})}$ ${\displaystyle \alpha _{X}(x)={\frac {Wb_{X}(x)}{u_{X}}}+Wa_{X}(x)\,\!}$ ${\displaystyle W}$

Операторы

Большинство операторов в таблице ниже являются обобщениями бинарной логики и вероятностных операторов. Например, сложение — это просто обобщение сложения вероятностей. Некоторые операторы имеют смысл только для объединения биномиальных мнений, а некоторые также применимы к полиномиальному мнению. ^[5] Большинство операторов являются бинарными, но дополнение является унарным, а абдукция — троичным. Математические подробности каждого оператора см. в ссылочных публикациях.

Транзитивную исходную комбинацию можно обозначить в компактной или развернутой форме. Например, транзитивный путь доверия от аналитика/источника через источник к переменной может быть обозначен как в компактной форме, так и в расширенной форме. Здесь выражает некоторое доверие/недоверие к источнику , тогда как выражает свое мнение о состоянии переменной , которое дается в качестве совета для . Расширенная форма является наиболее общей и напрямую соответствует способу формирования субъективных логических выражений с помощью операторов. ${\displaystyle A\,\!}$ ${\displaystyle B\,\!}$ ${\displaystyle X\,\!}$ ${\displaystyle [A;B,X]\,\!}$ ${\displaystyle [A;B]:[B,X]\,\!}$ ${\displaystyle [A;B]\,\!}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [B,X]\,\!}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$

Характеристики

В случае, если мнения аргументов эквивалентны логическим значениям ИСТИНА или ЛОЖЬ, результат любого оператора субъективной логики всегда равен результату соответствующего оператора пропозициональной/бинарной логики. Точно так же, когда мнения аргументов эквивалентны традиционным вероятностям, результат любого оператора субъективной логики всегда равен результату соответствующего оператора вероятности (если он существует).

В случае, если мнения аргументов содержат степени неопределенности, операторы, включающие умножение и деление (включая вычет, абдукцию и теорему Байеса), будут давать производные мнения, которые всегда имеют правильную прогнозируемую вероятность , но, возможно, с приблизительной дисперсией, если рассматривать их как PDF-файлы Бета/Дирихле. ^[1] Все остальные операторы выдают мнения, в которых прогнозируемые вероятности и дисперсия всегда аналитически верны.

Различные логические формулы, которые традиционно эквивалентны в логике высказываний, не обязательно имеют одинаковые мнения. Например , в целом, хотя дистрибутивность конъюнкции по дизъюнкции, выраженная как , сохраняется в бинарной логике высказываний. Это неудивительно, поскольку соответствующие операторы вероятности также не являются дистрибутивными. Однако умножение является распределительным по сравнению с сложением, что выражается выражением . Законы де Моргана также выполняются, например , . ${\displaystyle \omega _{x\land (y\lor z)}\neq \omega _{(x\land y)\lor (x\land z)}\,\!}$ ${\displaystyle x\land (y\lor z)\Leftrightarrow (x\land y)\lor (x\land z)\,\!}$ ${\displaystyle \omega _{x\land (y\cup z)}=\omega _{(x\land y)\cup (x\land z)}\,\!}$ ${\displaystyle \omega _{\overline {x\land y}}=\omega _{{\overline {x}}\lor {\overline {y}}}\,\!}$

Субъективная логика позволяет очень эффективно рассчитывать математически сложные модели. Это возможно путем аппроксимации аналитически правильных функций. Хотя аналитически перемножить два бета-файла PDF в форме совместного бета-файла PDF относительно просто , все, что более сложно, быстро становится неразрешимым. При объединении двух бета-PDF с каким-либо оператором/связкой аналитический результат не всегда является бета-PDF и может включать гипергеометрические ряды . В таких случаях субъективная логика всегда аппроксимирует результат как мнение, эквивалентное бета-версии PDF.

Приложения

Субъективная логика применима, когда анализируемая ситуация характеризуется значительной эпистемической неопределенностью из-за неполноты знаний. Таким образом, субъективная логика становится вероятностной логикой эпистемически-неопределенных вероятностей. Преимущество состоит в том, что неопределенность сохраняется на протяжении всего анализа и становится явной в результатах, так что можно различать определенные и неопределенные выводы.

Моделирование сетей доверия и байесовских сетей является типичным применением субъективной логики.

Сети субъективного доверия

Сети субъективного доверия можно моделировать с помощью комбинации операторов транзитивности и слияния. Пусть выражается граница доверия рефералов от до и пусть выражается граница доверия от до . Например, сеть субъективного доверия можно представить, как показано на рисунке ниже. ${\displaystyle [A;B]\,\!}$ ${\displaystyle A\,\!}$ ${\displaystyle B\,\!}$ ${\displaystyle [B,X]\,\!}$ ${\displaystyle B\,\!}$ ${\displaystyle X\,\!}$ ${\displaystyle ([A;B]:[B,X])\diamond ([A;C]:[C,X])\,\!}$

Индексы 1, 2 и 3 указывают хронологический порядок формирования ребер доверия и совета. Таким образом, учитывая набор ребер доверия с индексом 1, доверитель источника получает совет от и и, таким образом, может получить доверие к переменной . Выражая каждую границу доверия и границу убеждения как мнение, можно получить убеждение, выраженное как . ${\displaystyle A\,\!}$ ${\displaystyle B\,\!}$ ${\displaystyle C\,\!}$ ${\displaystyle X\,\!}$ ${\displaystyle A\,\!}$ ${\displaystyle X\,\!}$ ${\displaystyle \omega _{X}^{A}=\omega _{X}^{[A;B]\diamond [A;C]}=(\omega _{B}^{A}\otimes \omega _{X}^{B})\oplus (\omega _{C}^{A}\otimes \omega _{X}^{C})\,\!}$

Сети доверия могут выражать надежность источников информации и использоваться для определения субъективных мнений о переменных, о которых источники предоставляют информацию.

Субъективная логика, основанная на доказательствах ( EBSL ) ^[4] описывает альтернативные вычисления сети доверия, где транзитивность мнений (дисконтирование) обрабатывается путем применения весов к доказательствам, лежащим в основе мнений.

Субъективные байесовские сети

В байесовской сети ниже и являются родительскими переменными, а — дочерней переменной. Аналитик должен изучить набор совместных условных мнений , чтобы применить оператор дедукции и получить предельное мнение о переменной . Условные мнения выражают условную связь между родительскими переменными и дочерней переменной. ${\displaystyle X\,\!}$ ${\displaystyle Y\,\!}$ ${\displaystyle Z\,\!}$ ${\displaystyle \omega _{Z|XY}}$ ${\displaystyle \omega _{Z\|XY}}$ ${\displaystyle Z}$

Выведенное мнение вычисляется как . Совместное мнение о доказательствах может быть рассчитано как произведение независимых мнений о доказательствах относительно и , или как совместное произведение мнений о частично зависимых доказательствах. ${\displaystyle \omega _{Z\|XY}=\omega _{Z|XY}\circledcirc \omega _{XY}}$ ${\displaystyle \omega _{XY}}$ ${\displaystyle X\,\!}$ ${\displaystyle Y\,\!}$

Субъективные сети

Комбинация сети субъективного доверия и субъективной байесовской сети представляет собой субъективную сеть. Сеть субъективного доверия может использоваться для получения из различных источников мнений, которые будут использоваться в качестве входных мнений для субъективной байесовской сети, как показано на рисунке ниже.

Традиционная байесовская сеть обычно не учитывает надежность источников. В субъективных сетях явно учитывается доверие к источникам.

Рекомендации

1. А. Йосанг. Субъективная логика: формализм рассуждений в условиях неопределенности . Спрингер Верлаг, 2016 г.
2. А. Йосанг. Искусственное рассуждение с субъективной логикой. Материалы второго австралийского семинара по здравому смыслу , Перт, 1997. PDF
3. А. Йосанг. Логика неопределенных вероятностей. Международный журнал неопределенности, нечеткости и систем, основанных на знаниях . 9(3), стр. 279–311, июнь 2001 г. PDF
4. Скорич, Б.; Занноне, Н. (2016). «Репутация, основанная на потоке, с неопределенностью: основанная на фактах субъективная логика». Международный журнал информационной безопасности . 15 (4): 381–402. arXiv : 1402.3319 . дои : 10.1007/s10207-015-0298-5.
5. А. Ёсанг. Вероятностная логика в условиях неопределенности. Proceedings of Computing: Австралийский теоретический симпозиум (CATS'07) , Балларат, январь 2007 г. PDF
6. Д. Макэналли и А. Йосанг. Сложение и вычитание убеждений. Материалы конференции по обработке информации и управлению неопределенностью в системах, основанных на знаниях (IPMU2004) , Перуджа, июль 2004 г.
7. А. Йосанг и Д. Макэналли. Умножение и умножение убеждений. Международный журнал приблизительного рассуждения , 38/1, стр. 19–51, 2004 г.
8. А. Ёсанг. Обобщение теоремы Байеса в субъективной логике. 2016 Международная конференция IEEE по мультисенсорному слиянию и интеграции для интеллектуальных систем (MFI 2016) , Баден-Баден, Германия, 2016.

Внешние ссылки

• Субъективная логика Аудуна Йосанга
• Структура субъективного логического экспериментирования, основанная на субъективных логических операторах в оценке доверия: эмпирическое исследование Ф. Черутти, Л. М. Каплана, Т. Дж. Нормана, Н. Орена и А. Тониоло