Обобщенная логистическая функция

Математическая функция

А=М=0, К=С=1, В=3, ν=0,5, Q=0,5

Влияние изменения параметра А. Все остальные параметры равны 1.

Влияние изменения параметра B. A = 0, все остальные параметры равны 1.

Влияние изменения параметра C. A = 0, все остальные параметры равны 1.

Влияние изменения параметра K. A = 0, все остальные параметры равны 1.

Влияние изменения параметра Q. A = 0, все остальные параметры равны 1.

Влияние изменения параметра . A = 0, все остальные параметры равны 1. ${\displaystyle \nu }$

Обобщенная логистическая функция или кривая является расширением логистических или сигмоидальных функций . Первоначально разработанная для моделирования роста, она допускает более гибкие S-образные кривые. Функция иногда называется кривой Ричардса в честь Ф.  Дж.  Ричардса , который предложил общую форму для семейства моделей в 1959 году.

Определение

Кривая Ричардса имеет следующий вид:

${\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-Bt})^{1/\nu }}}$

где = вес, рост, размер и т.д., и = время. Имеет шесть параметров: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle t}$

• ${\displaystyle A}$: левая горизонтальная асимптота;
• ${\displaystyle K}$: правая горизонтальная асимптота, когда . Если и то называется грузоподъемностью ; ${\displaystyle C=1}$ ${\displaystyle A=0}$ ${\displaystyle C=1}$ ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle B}$: темпы роста;
• ${\displaystyle \nu >0}$ : влияет на то, вблизи какой асимптоты происходит максимальный рост.
• ${\displaystyle Q}$: связано со значением ${\displaystyle Y(0)}$
• ${\displaystyle C}$: обычно принимает значение 1. В противном случае верхняя асимптота равна ${\displaystyle A+{K-A \over C^{\,1/\nu }}}$

Уравнение можно также записать:

${\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+e^{-B(t-M)})^{1/\nu }}}$

где можно рассматривать как начальное время, при котором . Включение и может быть удобным: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Y(M)=A+{K-A \over (C+1)^{1/\nu }}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-B(t-M)})^{1/\nu }}}$

такое представление упрощает установку как начального времени, так и значения в это время. ${\displaystyle Y}$

Логистическая функция с максимальным темпом роста в момент времени имеет место, когда . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q=\nu =1}$

Обобщенное логистическое дифференциальное уравнение

Частным случаем обобщенной логистической функции является:

${\displaystyle Y(t)={K \over (1+Qe^{-\alpha \nu (t-t_{0})})^{1/\nu }}}$

что является решением дифференциального уравнения Ричардса (RDE):

${\displaystyle Y^{\prime }(t)=\alpha \left(1-\left({\frac {Y}{K}}\right)^{\nu }\right)Y}$

с начальным условием

${\displaystyle Y(t_{0})=Y_{0}}$

где

${\displaystyle Q=-1+\left({\frac {K}{Y_{0}}}\right)^{\nu }}$

при условии, что и ${\displaystyle \nu >0}$ ${\displaystyle \alpha >0}$

Классическое логистическое дифференциальное уравнение является частным случаем приведенного выше уравнения, при этом , тогда как кривая Гомпертца может быть восстановлена ​​в пределе при условии, что: ${\displaystyle \nu =1}$ ${\displaystyle \nu \rightarrow 0^{+}}$

${\displaystyle \alpha =O\left({\frac {1}{\nu }}\right)}$

На самом деле, для малого это ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle Y^{\prime }(t)=Yr{\frac {1-\exp \left(\nu \ln \left({\frac {Y}{K}}\right)\right)}{\nu }}\approx rY\ln \left({\frac {Y}{K}}\right)}$

RDE моделирует многие явления роста, возникающие в таких областях, как онкология и эпидемиология.

Градиент обобщенной логистической функции

При оценке параметров по данным часто возникает необходимость вычисления частных производных логистической функции по параметрам в заданной точке данных (см. ^[1] ). Для случая, когда , ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\\{\frac {\partial Y}{\partial A}}&=1-(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial K}}&=(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial B}}&={\frac {(K-A)(t-M)Qe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial \nu }}&={\frac {(K-A)\ln(1+Qe^{-B(t-M)})}{\nu ^{2}(1+Qe^{-B(t-M)})^{\frac {1}{\nu }}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial Q}}&=-{\frac {(K-A)e^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial M}}&=-{\frac {(K-A)QBe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\end{aligned}}}$

Особые случаи

Следующие функции являются частными случаями кривых Ричардса:

• Логистическая функция
• кривая Гомпертца
• Функция фон Берталанфи
• Мономолекулярная кривая

Сноски

1. Fekedulegn, Desta; Mairitin P. Mac Siurtain; Jim J. Colbert (1999). "Оценка параметров нелинейных моделей роста в лесном хозяйстве" (PDF) . Silva Fennica . 33 (4): 327–336. doi :10.14214/sf.653. Архивировано из оригинала (PDF) 29-09-2011 . Получено 31-05-2011 .

Ссылки

• Ричардс, Ф. Дж. (1959). «Гибкая функция роста для эмпирического использования». Журнал экспериментальной ботаники . 10 (2): 290–300. doi :10.1093/jxb/10.2.290.
• Пелла, Дж. С.; Томлинсон, П. К. (1969). «Обобщенная модель производства запасов». Bull. Inter-Am. Trop. Tuna Comm . 13 : 421–496.
• Lei, YC; Zhang, SY (2004). "Особенности и частные производные модели роста Берталанфи–Ричардса в лесном хозяйстве". Нелинейный анализ: моделирование и управление . 9 (1): 65–73. doi :10.15388/NA.2004.9.1.15171.