Логическая эквивалентность

Концепция в логике

В логике и математике утверждения и считаются логически эквивалентными , если они имеют одинаковое истинностное значение в каждой модели . ^[1] Логическая эквивалентность и иногда выражается как , , , или , в зависимости от используемых обозначений. Однако эти символы также используются для материальной эквивалентности , поэтому правильная интерпретация будет зависеть от контекста. Логическая эквивалентность отличается от материальной эквивалентности, хотя эти два понятия неразрывно связаны. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\equiv q}$ ${\displaystyle p::q}$ ${\displaystyle {\textsf {E}}pq}$ ${\displaystyle p\iff q}$

Логические эквивалентности

В логике существует множество общих логических эквивалентностей, которые часто обозначаются как законы или свойства. Следующие таблицы иллюстрируют некоторые из них.

Общие логические эквивалентности

Логические эквивалентности, включающие условные операторы

1. ${\displaystyle p\implies q\equiv \neg p\vee q}$
2. ${\displaystyle p\implies q\equiv \neg q\implies \neg p}$
3. ${\displaystyle p\vee q\equiv \neg p\implies q}$
4. ${\displaystyle p\wedge q\equiv \neg (p\implies \neg q)}$
5. ${\displaystyle \neg (p\implies q)\equiv p\wedge \neg q}$
6. ${\displaystyle (p\implies q)\wedge (p\implies r)\equiv p\implies (q\wedge r)}$
7. ${\displaystyle (p\implies q)\vee (p\implies r)\equiv p\implies (q\vee r)}$
8. ${\displaystyle (p\implies r)\wedge (q\implies r)\equiv (p\vee q)\implies r}$
9. ${\displaystyle (p\implies r)\vee (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r}$

Логические эквивалентности, включающие двуусловия

1. ${\displaystyle p\iff q\equiv (p\implies q)\wedge (q\implies p)}$
2. ${\displaystyle p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q}$
3. ${\displaystyle p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)}$
4. ${\displaystyle \neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q}$

Примеры

В логике

Следующие утверждения логически эквивалентны:

1. Если Лиза находится в Дании , то она в Европе (заявление формы ). ${\displaystyle d\implies e}$
2. Если Лизы нет в Европе, то ее нет в Дании (заявление вида ). ${\displaystyle \neg e\implies \neg d}$

Синтаксически (1) и (2) выводятся друг из друга с помощью правил противопоставления и двойного отрицания . Семантически (1) и (2) верны в абсолютно одних и тех же моделях (интерпретациях, оценках); а именно, те, в которых либо Лиза находится в Дании, являются ложными, либо Лиза находится в Европе, являются истинными.

(Обратите внимание, что в этом примере предполагается классическая логика . Некоторые неклассические логики не считают (1) и (2) логически эквивалентными.)

Отношение к материальному эквиваленту

Логическая эквивалентность отличается от материальной эквивалентности. Формулы и логически эквивалентны тогда и только тогда, когда утверждение об их материальной эквивалентности ( ) является тавтологией. ^[2] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$

Материальная эквивалентность и (часто записываемая как ) сама по себе является другим утверждением на том же объектном языке , что и и . Это утверждение выражает идею «' тогда и только тогда, когда '». В частности, истинностное значение может меняться от одной модели к другой. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$

С другой стороны, утверждение о том, что две формулы логически эквивалентны, является высказыванием на метаязыке , которое выражает связь между двумя высказываниями и . Утверждения логически эквивалентны, если в каждой модели они имеют одинаковое истинностное значение. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Смотрите также

• Философский портал
• Психологический портал

• Логическое следствие
• Равновыполнимость
• Если и только если
• Логическое двуусловие
• Логическое равенство
• ≡ символ iff (U+2261 ИДЕНТИЧЕН )
• ∷ a относится к b , как c к символу d (U+2237 ПРОПОРЦИЯ )
• ⇔ двустороннее условие с двойным ударом (U + 21D4 ДВОЙНАЯ СТРЕЛКА ВЛЕВО ВПРАВО )
• ↔ двунаправленная стрелка (U + 2194 СТРЕЛКА ВЛЕВО ВПРАВО )

Рекомендации

1. Мендельсон, Эллиотт (1979). Введение в математическую логику (2-е изд.). стр. 56. ISBN 9780442253073.
2. Копи, Ирвинг ; Коэн, Карл ; МакМахон, Кеннет (2014). Введение в логику (Новое международное изд.). Пирсон. п. 348.