В логике ложь [1] или неистина — это состояние, обладающее отрицательным значением истинности , и является нулевой логической связкой . В истинностно-функциональной системе пропозициональной логики это одно из двух постулируемых значений истинности, наряду с его отрицанием , истиной . [2] Обычные обозначения ложности — (особенно в булевой логике и информатике ), O (в префиксной нотации , O pq ), и символ up tack . [3] [4]
Другой подход используется для нескольких формальных теорий (например, интуиционистского пропозиционального исчисления ), где вводится пропозициональная константа (т. е. нулевая связка), истинностное значение которой всегда ложно в указанном выше смысле. [5] [6] [7] Его можно рассматривать как абсурдное предложение, и часто называют абсурдом.
В булевой логике каждая переменная обозначает истинностное значение , которое может быть либо истинным (1), либо ложным (0).
В классическом исчислении высказываний каждому высказыванию будет присвоено значение истинности либо истинно, либо ложно. Некоторые системы классической логики включают специальные символы для ложного (0 или ), в то время как другие вместо этого полагаются на формулы, такие как p ∧ ¬ p и ¬( p → p ) .
Как в булевой логике, так и в классической логике истина и ложь противоположны по отношению к отрицанию : отрицание ложности дает истину, а отрицание истины дает ложь.
Отрицание ложности эквивалентно истине не только в классической логике и булевой логике, но и в большинстве других логических систем, как поясняется ниже.
В большинстве логических систем отрицание , материальное условное наклонение и ложь связаны следующим образом:
Фактически, это определение отрицания в некоторых системах, [8] таких как интуиционистская логика , и может быть доказано в пропозициональных исчислениях, где отрицание является фундаментальной связкой. Поскольку p → p обычно является теоремой или аксиомой, следствием является то, что отрицание ложного ( ¬ ⊥ ) является истинным.
Противоречие — это ситуация, которая возникает, когда утверждение , которое предполагается истинным, оказывается ложным (т. е. φ ⊢ ⊥ ). Используя приведенную выше эквивалентность, тот факт, что φ является противоречием, может быть выведен, например, из ⊢ ¬φ . Утверждение, которое само по себе ложно, иногда называют противоречием, а противоречия и ложь иногда не различают, особенно из-за того, что латинский термин falsum используется в английском языке для обозначения того и другого, но ложь — это одно конкретное предложение .
Логические системы могут содержать или не содержать принцип взрыва ( ex falso quodlibet на латыни ), ⊥ ⊢ φ для всех φ . Согласно этому принципу, противоречия и ложь эквивалентны, поскольку одно влечет за собой другое.
Формальная теория, использующая связку " ", определяется как непротиворечивая, если и только если ложь не входит в число ее теорем . При отсутствии пропозициональных констант некоторые заменители (например, описанные выше) могут использоваться вместо этого для определения непротиворечивости.
