Локально замкнутое подмножество

В топологии , разделе математики, подмножество топологического пространства называется локально замкнутым , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ^{[1] [2] [3] [4]} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle E}$является пересечением открытого множества и замкнутого множества в ${\displaystyle X.}$
• Для каждой точки существует окрестность такая , что замкнута в ${\displaystyle x\in E,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E\cap U}$ ${\displaystyle U.}$
• ${\displaystyle E}$открыт в своем закрытии ${\displaystyle {\overline {E}}.}$
• Набор закрыт в ${\displaystyle {\overline {E}}\setminus E}$ ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle E}$это разность двух замкнутых множеств в ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle E}$это разность двух открытых множеств в ${\displaystyle X.}$

Второе условие оправдывает термин локально замкнутый и является определением Бурбаки локально замкнутого. ^[1] Чтобы увидеть, что второе условие подразумевает третье, используйте факты, что для подмножеств замкнуто в тогда и только тогда, когда и что для подмножества и открытого подмножества ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A={\overline {A}}\cap B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle {\overline {E}}\cap U={\overline {E\cap U}}\cap U.}$

Примеры

Интервал является локально замкнутым подмножеством В качестве другого примера рассмотрим относительную внутренность замкнутого диска в Он локально замкнут, поскольку является пересечением замкнутого диска и открытого шара. ${\displaystyle (0,1]=(0,2)\cap [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

С другой стороны, не является локально замкнутым подмножеством . ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\neq 0\}\cup \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Напомним, что по определению подмногообразие -многообразия - это подмножество, такое что для каждой точки в существует карта вокруг нее, такая что Следовательно, подмногообразие локально замкнуто. ^[5] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi (E\cap U)=\mathbb {R} ^{k}\cap \varphi (U).}$

Вот пример из алгебраической геометрии. Пусть U — открытая аффинная карта на проективном многообразии X (в топологии Зарисского). Тогда каждое замкнутое подмногообразие Y из U локально замкнуто в X ; а именно, где обозначает замыкание Y в X . (См. также квазипроективное многообразие и квазиаффинное многообразие .) ${\displaystyle Y=U\cap {\overline {Y}}}$ ${\displaystyle {\overline {Y}}}$

Характеристики

Конечные пересечения и прообраз при непрерывном отображении локально замкнутых множеств локально замкнуты. ^[1] С другой стороны, объединение и дополнение локально замкнутых подмножеств не обязательно должны быть локально замкнутыми. ^[6] (Это мотивирует понятие конструктивного множества .)

Особенно в теории стратификации , для локально замкнутого подмножества дополнение называется границей ( не путать с топологической границей ). ^[2] Если — замкнутое подмногообразие с границей многообразия, то относительная внутренняя часть (то есть внутренняя часть как многообразия) локально замкнута в и граница его как многообразия совпадает с границей его как локально замкнутого подмножества. ^[2] ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle {\overline {E}}\setminus E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$

Топологическое пространство называетсясубмаксимальный , если каждое подмножество локально замкнуто.Подробнее об этом понятиив Глоссарии топологии#S

Смотрите также

• Счетно порожденное пространство  – топологическое пространство, в котором топология определяется его счетными подмножествами.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва

Примечания

1. Бурбаки 2007, Гл. 1, § 3, № 3.
2. Pflaum 2001, Пояснение 1.1.2.
3. Ганстер, М.; Рейли, И. Л. (1989). «Локально замкнутые множества и LC-непрерывные функции». Международный журнал математики и математических наук . 12 (3): 417–424. doi : 10.1155/S0161171289000505 . ISSN  0161-1712.
4. Энгелькинг 1989, Упражнение 2.7.1.
5. Mather, John (2012). «Заметки о топологической устойчивости». Бюллетень Американского математического общества . 49 (4): 475–506. doi : 10.1090/S0273-0979-2012-01383-6 .раздел 1, стр. 476
6. Бурбаки 2007, Гл. 1, § 3, Упражнение 7.

Ссылки

• Бурбаки, Николя (2007). Общая топология. Главы 1–4. Берлин: Springer. дои : 10.1007/978-3-540-33982-3. ISBN 978-3-540-33982-3.
• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4.
• Пфлаум, Маркус Й. (2001). Аналитическое и геометрическое исследование стратифицированных пространств . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1768. Berlin: Springer. ISBN 3-540-42626-4. OCLC  47892611.

Внешние ссылки

• локально закрытый набор в n Lab