Доступная категория

Теория доступных категорий является частью математики , а именно теории категорий . Она пытается описать категории в терминах «размера» ( кардинального числа ) операций, необходимых для генерации их объектов.

Теория берет свое начало в работе Гротендика , завершенной к 1969 году, ^[1] и Габриэля и Ульмера (1971). ^[2] Она была дополнительно развита в 1989 году Майклом Маккаем и Робертом Паре, с мотивацией, исходящей из теории моделей , раздела математической логики . ^[3] Стандартный учебник Адамека и Росицкого появился в 1994 году. ^[4] Доступные категории также имеют приложения в теории гомотопий . ^{[5] [6]} Гротендик продолжил разработку теории для целей теории гомотопий в своей (еще частично неопубликованной) рукописи 1991 года Les dérivateurs . ^[7] Некоторые свойства доступных категорий зависят от используемого множества вселенной , в частности от кардинальных свойств и принципа Вопенки . ^[8]

к-направленные копределы ик-презентабельные объекты

Пусть будет бесконечным регулярным кардиналом , т.е. кардинальным числом , которое не является суммой меньшего числа меньших кардиналов; примерами являются ( aleph-0 ), первое бесконечное кардиналовое число, и , первый несчетный кардинал). Частично упорядоченное множество называется -направленным, если каждое подмножество из мощности меньше , имеет верхнюю границу в . В частности, обычные направленные множества являются в точности -направленными множествами. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Теперь пусть будет категорией . Прямой предел (также известный как направленный копредел) над -направленным множеством называется -направленным копределом . Объект из называется -представимым , если функтор Hom сохраняет все -направленные копределы в . Очевидно, что каждый -представимый объект также -представим, когда , поскольку каждый -направленный копредел также является -направленным копределом в этом случае. -представимый объект называется конечно представимым . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa '}$ ${\displaystyle \kappa \leq \kappa '}$ ${\displaystyle \kappa '}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Примеры

• В категории Set of all sets конечно представимые объекты совпадают с конечными множествами. -Представимые объекты — это множества мощности, меньшей . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
• В категории всех групп объект конечно представим тогда и только тогда, когда он является конечно представимой группой , т.е. если он имеет представление с конечным числом образующих и конечным числом отношений. Для несчетных регулярных -представимыми объектами являются в точности группы с мощностью, меньшей . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
• В категории левых -модулей ${\displaystyle R}$ над некоторым (унитарным, ассоциативным) кольцом конечно представимые объекты — это в точности конечно представимые модули . ${\displaystyle R}$

к-доступные и локально презентабельные категории

Категория называется -доступной при условии, что: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$

• ${\displaystyle C}$имеет все -направленные копределы ${\displaystyle \kappa }$
• ${\displaystyle C}$содержит набор -представимых объектов , такой что каждый объект из является -направленным копределом объектов из . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle P}$

-Доступная категория называется конечно доступной . Категория называется доступной, если она является -доступной для некоторого бесконечного регулярного кардинала . Когда доступная категория также является кополной , она называется локально представимой . ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Функтор между -доступными категориями называется -доступным при условии, что он сохраняет -направленные копределы. ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \kappa }$

Примеры

• Категория Set всех множеств и функций локально конечно представима, поскольку каждое множество является прямым пределом своих конечных подмножеств, а конечные множества конечно представимы.
• Категория -Mod (левых) -модулей локально конечно представима для любого кольца . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$
• Категория симплициальных множеств конечно достижима.
• Категория Mod(T) моделей некоторой теории первого порядка T со счетной сигнатурой является -доступной. -представимые объекты - это модели со счетным числом элементов. ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$
• Другими примерами локально представимых категорий являются финитные алгебраические категории (т. е. категории, соответствующие многообразиям алгебр в универсальной алгебре ) и категории Гротендика .

Теоремы

Можно показать, что каждая локально представимая категория также является полной . ^[9] Более того, категория локально представима тогда и только тогда, когда она эквивалентна категории моделей предельного наброска . ^[10]

Сопряженные функторы между локально представимыми категориями имеют особенно простую характеристику. Функтор между локально представимыми категориями: ${\displaystyle F:C\to D}$

• является левым сопряженным тогда и только тогда, когда он сохраняет малые копределы,
• является правым сопряженным тогда и только тогда, когда он сохраняет малые пределы и достижим.

Примечания

1. Гротендик, Александр; и др. (1972), Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas , Конспект лекций по математике 269, Springer
2. Габриэль, П; Ульмер, Ф. (1971), Lokal Präsentierbare Kategorien , Конспекты лекций по математике 221, Springer
3. Маккай, Майкл; Паре, Роберт (1989), Доступные категории: Основы теории категориальных моделей , Contemporary Mathematics, AMS, ISBN 0-8218-5111-X
4. Адамек, Иржи; Росицкий, Иржи (10 марта 1994 г.). Локально презентабельные и доступные категории . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511600579. ISBN 978-0-521-42261-1.
5. Дж. Росицки «О категориях комбинаторных моделей», arXiv , 16 августа 2007 г. Проверено 19 января 2008 г.
6. Росицкий, Дж. «Инъективность и доступные категории». Кубо Матем. Образование 4 (2002): 201-211.
7. Гротендик, Александр (1991), Les dérivateurs , Contemporary Mathematics, рукопись(Les Dérivateurs: Texte d'Alexandre Grothendieck. Edité par M. Künzer, J. Malgoire, G. Maltsiniotis)
8. Адамек/Росицки 1994, глава 6.
9. Адамек/Росицки 1994, примечание 1.56.
10. Адамек/Росицки 1994, следствие 1.52.

Ссылки

Адамек, Дж.; Росицкий, Дж. (10 марта 1994 г.). Локально презентабельные и доступные категории . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511600579. ISBN 978-0-521-42261-1.