Конформно плоское многообразие

Верхний коллектор плоский. Нижний нет, но он конформен первому

( Псевдо- ) риманово многообразие конформно плоское, если каждая точка имеет окрестность, которую можно отобразить в плоское пространство конформным преобразованием .

На практике метрика многообразия должна быть конформна плоской метрике , т. е. геодезические сохраняют во всех точках углы переходом от одного к другому, а также сохраняют неизменными нулевые геодезические, ^[1] что означает существует функция такая, что , где называется конформным фактором и является точкой многообразия. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle g(x)=\lambda ^{2}(x)\,\eta }$ ${\displaystyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle x}$

Более формально, пусть — псевдориманово многообразие. Тогда является конформно плоским, если для каждой точки в существует окрестность и гладкая функция, определенная на такой, которая плоская ( т.е. кривизна обращается в нуль на ). Функция не обязательно должна быть определена для всех файлов . ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (U,e^{2f}g)}$ ${\displaystyle e^{2f}g}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$

Некоторые авторы используют определение локально конформно плоского, когда речь идет только о некоторой точке на , и оставляют определение конформно плоского для случая, когда отношение справедливо для всех на . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

Примеры

• Каждое многообразие с постоянной кривизной сечения конформно плоское.
• Каждое двумерное псевдориманово многообразие конформно плоское. ^[1]
  • Линейный элемент двумерных сферических координат, подобный тому, который используется в географической системе координат ,

  ${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,}$, ^[2] имеет метрический тензор  и не является плоским, но с помощью стереографической проекции может быть отображен в плоское пространство с использованием конформного фактора , где - расстояние от начала координат плоского пространства, ^[3] получая ${\displaystyle g_{ik}={\begin{bmatrix}1&0\\0&sin^{2}\theta \end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle 2 \over (1+r^{2})}$ ${\displaystyle r}$

  ${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,={\frac {4}{(1+r^{2})^{2}}}(dx^{2}+dy^{2})}$.

• Трехмерное псевдориманово многообразие конформно плоско тогда и только тогда, когда тензор Коттона обращается в нуль.
• n -мерное псевдориманово многообразие при n ≥ 4 конформно плоское тогда и только тогда, когда тензор Вейля обращается в нуль.
• Всякое компактное односвязное конформно евклидово риманово многообразие конформно эквивалентно круглой сфере . ^[4]

• Стереографическая проекция обеспечивает систему координат для сферы, в которой явна конформная плоскость, поскольку метрика пропорциональна плоской.

• В общей теории относительности часто можно использовать конформно плоские многообразия, например, для описания метрики Фридмана – Леметра – Робертсона – Уокера . ^[5] Однако было также показано, что не существует конформно плоских срезов керровского пространства-времени . ^[6]

Например, координаты Крускала-Секереша имеют линейный элемент

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv\,du}$ с метрическим тензором и поэтому не является плоским. Но с преобразованиями и ${\displaystyle g_{ik}={\begin{bmatrix}0&1-{\frac {2GM}{r}}\\1-{\frac {2GM}{r}}&0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle t=(v+u)/2}$ ${\displaystyle x=(v-u)/2}$

становится

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)(dt^{2}-dx^{2})}$ с метрическим тензором , ${\displaystyle g_{ik}={\begin{bmatrix}1-{\frac {2GM}{r}}&0\\0&-1+{\frac {2GM}{r}}\end{bmatrix}}}$

что представляет собой произведение плоской метрики на конформный коэффициент . ^[7] ${\displaystyle 1-{\frac {2GM}{r}}}$

Смотрите также

• Теорема Вейля – Схоутена
• конформная геометрия
• Проблема Ямабе

Рекомендации

1. Рэй Д'Инверно. «6.13 Тензор Вейля». Знакомство с теорией относительности Эйнштейна . стр. 88–89.
2. Сферическая система координат - Интегрирование и дифференцирование в сферических координатах.
3. Стереографическая проекция — Свойства . Формула Римана
4. Койпер, Нью-Хэмпшир (1949). «О конформно плоских пространствах в большом». Анналы математики . 50 (4): 916–924. дои : 10.2307/1969587. JSTOR  1969587.
5. Гарецкий, Януш (2008). «Об энергии вселенных Фридмана в конформно плоских координатах». Акта Физика Полоника Б. 39 (4): 781–797. arXiv : 0708.2783 . Бибкод : 2008AcPPB..39..781G.
6. Гарат, Алкид; Прайс, Ричард Х. (18 мая 2000 г.). «Несуществование конформно плоских срезов керровского пространства-времени». Физический обзор D . 61 (12): 124011. arXiv : gr-qc/0002013 . Бибкод : 2000PhRvD..61l4011G. doi :10.1103/PhysRevD.61.124011. ISSN  0556-2821. S2CID  119452751.
7. Рэй Д'Инверно. «17.2 Решение Краскала». Знакомство с теорией относительности Эйнштейна . стр. 230–231.