В топологии , разделе математики , локальная плоскостность — это условие гладкости, которое может быть наложено на топологические подмногообразия . В категории топологических многообразий локально плоские подмногообразия играют роль, аналогичную роли вложенных подмногообразий в категории гладких многообразий . Нарушения локальной плоскостности описывают сети хребтов и смятые структуры , с приложениями к обработке материалов и машиностроению .
Предположим, что d -мерное многообразие N вложено в n - мерное многообразие M (где d < n ). Если мы говорим, что N локально плоское в x, если существует окрестность x такая , что топологическая пара гомеоморфна паре , со стандартным включением То есть существует гомеоморфизм такой, что образ совпадает с . В диаграммных терминах следующий квадрат должен коммутировать :
Мы называем N локально плоским в M , если N локально плоско в каждой точке. Аналогично, отображение называется локально плоским , даже если оно не является вложением, если каждый x в N имеет окрестность U, образ которой локально плоский в M.
Приведенное выше определение предполагает, что если M имеет границу , x не является граничной точкой M . Если x является точкой на границе M , то определение модифицируется следующим образом. Мы говорим, что N является локально плоским в граничной точке x множества M , если существует окрестность x такая , что топологическая пара гомеоморфна паре , где — стандартное полупространство и включено в качестве стандартного подпространства его границы.
Локальная плоскостность вложения подразумевает сильные свойства, не разделяемые всеми вложениями. Браун (1962) доказал, что если d = n − 1, то N имеет воротник; то есть, у него есть окрестность, гомеоморфная N × [0,1], где само N соответствует N × 1/2 (если N находится внутри M ) или N × 0 (если N находится на границе M ).
