Локальный параметр

Алгебраическая концепция

В геометрии комплексных алгебраических кривых локальный параметр для кривой C в гладкой точке P является мероморфной функцией на C, которая имеет простой ноль в точке P. Это понятие можно обобщить на кривые, определенные над полями, отличными от (или схем ), поскольку локальное кольцо в гладкой точке P алгебраической кривой C (определенной над алгебраически замкнутым полем ) всегда является дискретным кольцом нормирования . ^[1] Эта нормирование покажет способ подсчета порядка (в точке P ) рациональных функций (которые являются естественными обобщениями для мероморфных функций в некомплексной области), имеющих ноль или полюс в точке P. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Локальные параметры, как следует из названия, используются в основном для правильного подсчета кратностей локальным способом.

Введение

Если C — комплексная алгебраическая кривая, подсчитайте кратности нулей и полюсов мероморфных функций, определенных на ней. ^[2] Однако при обсуждении кривых, определенных над полями, отличными от , если нет доступа к мощности комплексного анализа, необходимо найти замену, чтобы определить кратности нулей и полюсов рациональных функций, определенных на таких кривых. В этом последнем случае скажем, что росток регулярной функции обращается в нуль, если . Это находится в полной аналогии с комплексным случаем, в котором максимальный идеал локального кольца в точке P фактически соответствует росткам голоморфных функций, обращающихся в нуль в P . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P\in C}$ ${\displaystyle f\in m_{P}\subset {\mathcal {O}}_{C,P}}$

Функция оценки определяется выражением ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}}$

${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}(f)=\max\{d=0,1,2,\ldots :f\in m_{P}^{d}\};}$

Эту оценку можно естественным образом распространить на K ( C ) (что является полем рациональных функций C), поскольку это поле дробей . Таким образом, идея наличия простого нуля в точке P теперь завершена: это будет рациональная функция, такая, что ее росток попадает в , с d не более 1. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}}$ ${\displaystyle f\in K(C)}$ ${\displaystyle m_{P}^{d}}$

Это имеет алгебраическое сходство с концепцией униформизирующего параметра (или просто униформизатора ), встречающегося в контексте дискретных колец оценки в коммутативной алгебре ; униформизирующий параметр для DVR ( R, m ) — это просто генератор максимального идеала m . Связь возникает из того факта, что локальный параметр в P будет униформизирующим параметром для DVR ( , ), откуда и название. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}}$ ${\displaystyle m_{P}}$

Определение

Пусть C — алгебраическая кривая, определенная над алгебраически замкнутым полем K , и пусть K ( C ) — поле рациональных функций C . Оценка на K ( C ), соответствующая гладкой точке, определяется как , где — обычная оценка на локальном кольце ( , ). Локальным параметром для C в P является функция такая, что . ${\displaystyle P\in C}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}(f/g)=\operatorname {ord} _{P}(f)-\operatorname {ord} _{P}(g)}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}}$ ${\displaystyle m_{P}}$ ${\displaystyle t\in K(C)}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}(t)=1}$

Ссылки

1. JH Silverman (1986). Арифметика эллиптических кривых . Springer. стр. 21
2. Р. Миранда (1995). Алгебраические кривые и римановы поверхности . Американское математическое общество. стр. 26