Полное кольцо пересечения

В коммутативной алгебре полным кольцом пересечений называется коммутативное кольцо, подобное координатным кольцам многообразий, являющихся полными пересечениями . Неформально их можно рассматривать примерно как локальные кольца , которые можно определить с использованием «минимально возможного» числа отношений.

Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений:

Универсально цепные кольца ⊃ кольца Коэна–Маколея ⊃ кольца Горенштейна ⊃ кольца полных пересечений ⊃ регулярные локальные кольца

Определение

Локальное полное кольцо пересечений — нётерово локальное кольцо , пополнение которого есть фактор регулярного локального кольца по идеалу, порождённому регулярной последовательностью . Принятие пополнения представляет собой небольшую техническую сложность, вызванную тем, что не все локальные кольца являются частными регулярных. Для колец, являющихся факторами регулярных локальных колец, охватывающих большинство локальных колец, встречающихся в алгебраической геометрии, в определении нет необходимости брать пополнения.

Существует альтернативное внутреннее определение, не зависящее от вложения кольца в регулярное локальное кольцо. Если R — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом m , ^то размерность m / m2 называется размерностью вложения emb dim( R ) кольца R. Определим градуированную алгебру H ( R ) как гомологию комплекса Кошуля относительно минимальной системы образующих m / m2 ^; с точностью до изоморфизма это зависит только от R , а не от выбора образующих m . Размерность H ₁ ( R ) обозначается ε ₁ и называется первым отклонением R ; оно исчезает тогда и только тогда, когда R регулярно. Нётерово локальное кольцо называется полным кольцом пересечений, если его размерность вложения равна сумме размерности и первого отклонения:

вставить тусклый( р ) знак равно тусклый( р ) + ε ₁ ( р ).

Существует также рекурсивная характеристика локальных колец полных пересечений, которую можно использовать в качестве определения следующим образом. Предположим, что R — полное нётерово локальное кольцо. Если R имеет размерность больше 0 и x — элемент максимального идеала, который не является делителем нуля, то R — полное кольцо пересечений тогда и только тогда, когда таковым является R /( x ). (Если максимальный идеал полностью состоит из делителей нуля, то R не является полным кольцом пересечений.) Если R имеет размерность 0, то Вибе (1969) показал, что оно является полным кольцом пересечений тогда и только тогда, когда идеал Фиттинга его максимального идеала не равно нулю.

Примеры

Регулярные местные звонки

Регулярные локальные кольца являются кольцами полных пересечений, но обратное неверно: кольцо представляет собой 0-мерное кольцо полного пересечения, которое не является регулярным. $k[x]/(x^{2})$

Не полный перекрёсток

Пример локально полного кольца пересечений, которое не является полным кольцом пересечений, имеет длину 3, поскольку оно изоморфно как векторное пространство . ^[1] $k[x,y]/(yx^{2},x^{3})$ $k$ $k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot x^{2}$

Контрпример

Локальные кольца полного пересечения являются кольцами Горенштейна , но обратное неверно: кольцо представляет собой 0-мерное кольцо Горенштейна, которое не является кольцом полного пересечения. Как -векторное пространство это кольцо изоморфно $k[x,y,z]/(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)=R/I$ $k$

{\frac {k[x,y,z]}{(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)}}\cong R_{0} \oplus R_{1}\oplus R_{2}

, где и

R_{0}=k\cdot 1,R_{1}=k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot z

R_{2}=k\cdot z^{2}

показывая, что это Горенштейн, поскольку компонент высшей степени является размерностью и удовлетворяет свойству Пуанкаре. Это не локальное кольцо полного пересечения, поскольку идеал не является -регулярным. Например, является делителем нуля для in . $1$ $I\subset R$ $R$ $xy$ $х$ $R/(x^{2},y^{2})$

Цитаты

^ «Пример многообразий локально полных пересечений, которые не являются гладкими и неполными пересечениями». MathOverflow . Проверено 4 января 2017 г.