В геометрии луночка Гиппократа , названная в честь Гиппократа Хиосского , — это луночка , ограниченная дугами двух окружностей , меньшая из которых имеет своим диаметром хорду, охватывающую прямой угол на большей окружности. Эквивалентно, это невыпуклая плоская область, ограниченная одной дугой окружности в 180 градусов и одной дугой окружности в 90 градусов. Это была первая криволинейная фигура, точная площадь которой была рассчитана математически. [1]
Гиппократ хотел решить классическую задачу квадратуры круга , т. е. построить квадрат с помощью линейки и циркуля , имеющий ту же площадь, что и заданный круг . [2] [3] Он доказал, что луночка, ограниченная дугами, обозначенными на рисунке E и F, имеет ту же площадь, что и треугольник ABO . Это давало некоторую надежду на решение задачи квадратуры круга, поскольку луночка ограничена только дугами окружностей. Хит заключает, что, доказывая свой результат, Гиппократ также был первым, кто доказал, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. [2]
Книга Гиппократа по геометрии, в которой появляется этот результат, «Начала », была утеряна, но, возможно, послужила моделью для «Начал » Евклида . [3] Доказательство Гиппократа сохранилось благодаря «Истории геометрии», составленной Эвдемом Родосским , которая также не сохранилась, но была использована Симплицием Киликийским в его комментарии к «Физике » Аристотеля . [2] [4]
Лишь в 1882 году, когда Фердинанд фон Линдеман доказал трансцендентность числа π , было доказано, что квадратура круга невозможна. [5]
Результат Гиппократа можно доказать следующим образом: Центр окружности, на которой лежит дуга AEB , является точкой D , которая является серединой гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника ABO . Следовательно, диаметр AC большей окружности ABC равен диаметру меньшей окружности, на которой лежит дуга AEB . Следовательно, меньшая окружность имеет половину площади большей окружности, и поэтому четверть окружности AFBOA равна по площади полукругу AEBDA . Вычитание площади в форме полумесяца AFBDA из четверти окружности дает треугольник ABO , а вычитание того же полумесяца из полукруга дает луночку. Поскольку треугольник и луночка оба образованы вычитанием равных площадей из равной площади, они сами равны по площади. [2] [6]
Используя доказательство, похожее на приведенное выше, арабский математик Хасан ибн аль-Хайтам (латинизированное имя Альхазен , ок. 965 – ок. 1040) показал, что там, где на двух сторонах прямоугольного треугольника образуются две луночки , внешние границы которых являются полукругами, а внутренние границы образованы описанной окружностью треугольника, то площади этих двух луночек, сложенные вместе, равны площади треугольника. Луночки, образованные таким образом из прямоугольного треугольника, известны как луночки Альхазена . [7] [8] Квадратура луночки Гиппократа является частным случаем этого результата для равнобедренного прямоугольного треугольника . [9]
Все луночки, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, можно задать двумя углами, образованными внутренней и внешней дугами на соответствующих окружностях; в этой записи, например, луночка Гиппократа имела бы внутренний и внешний углы (90°, 180°) с отношением 1:2. Гиппократ нашел две другие квадратные вогнутые луночки с углами приблизительно (107,2°, 160,9°) с отношением 2:3 и (68,5°, 205,6°) с отношением 1:3. Еще две квадратные вогнутые луночки с углами приблизительно (46,9°, 234,4°) с отношением 1:5 и (100,8°, 168,0°) с отношением 3:5 были найдены в 1766 году Мартином Йоханом Валлениусом и снова в 1840 году Томасом Клаузеном . В середине 20-го века два русских математика, Николай Чеботарёв и его ученик Анатолий Дороднов, полностью классифицировали двуугольники, которые можно построить с помощью циркуля и линейки и которые имеют площадь, равную площади данного квадрата. Как показали Чеботарёв и Дороднов, эти пять пар углов дают единственные строимые квадрируемые двуугольники; в частности, других строимых квадрируемых двуугольников не существует. [1] [8]
