размерность Ляпунова

В математике динамических систем понятие размерности Ляпунова было предложено Капланом и Йорком ^[1] для оценки размерности Хаусдорфа аттракторов . В дальнейшем это понятие было развито и строго обосновано в ряде работ, и в настоящее время используются различные подходы к определению размерности Ляпунова. Отметим, что аттракторы с нецелой размерностью Хаусдорфа называются странными аттракторами . ^[2] Поскольку прямое численное вычисление размерности Хаусдорфа аттракторов часто является задачей высокой численной сложности, оценки через размерность Ляпунова получили широкое распространение. Размерность Ляпунова была названа ^[3] в честь русского математика Александра Ляпунова из-за тесной связи с показателями Ляпунова .

Определения

Рассмотрим динамическую систему , где — оператор сдвига вдоль решений: , ОДУ , , или разностного уравнения , , с непрерывно дифференцируемой вектор-функцией . Тогда — фундаментальная матрица решений линеаризованной системы и обозначим через , сингулярные числа относительно их алгебраической кратности , упорядоченные по убыванию для любых и . ${\displaystyle {\big (}\{\varphi ^{t}\}_{t\geq 0},(U\subseteq \mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|){\big )}}$ ${\displaystyle \varphi ^{t}}$ ${\displaystyle \varphi ^{t}(u_{0})=u(t,u_{0})}$ ${\displaystyle {\dot {u}}=f({u})}$ ${\displaystyle t\leq 0}$ ${\displaystyle {u}(t+1)=f({u}(t))}$ ${\displaystyle t=0,1,...}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D\varphi ^{t}(u)}$ ${\displaystyle \sigma _{i}(t,u)=\sigma _{i}(D\varphi ^{t}(u)),\ i=1...n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t}$

Определение через конечновременную размерность Ляпунова

Концепция конечновременной ляпуновской размерности и связанное с ней определение ляпуновской размерности, разработанные в работах Н. Кузнецова ^[4] [ ^5], удобны для численных экспериментов, где можно наблюдать только конечное время. Рассмотрим аналог формулы Каплана–Йорка для конечновременных показателей Ляпунова:

${\displaystyle d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n})=j(t,u)+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(t,u)+\cdots +{\rm {LE}}_{j(t,u)}(t,u)}{|{\rm {LE}}_{j(t,u)+1}(t,u)|}},}$

${\displaystyle j(t,u)=\max\{m:\sum _{i=1}^{m}{\rm {LE}}_{i}(t,u)\geq 0\},}$

относительно упорядоченного набора конечных показателей Ляпунова в точке . Конечная размерность Ляпунова динамической системы относительно инвариантного множества определяется следующим образом ${\displaystyle \{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}=\{{\frac {1}{t}}\ln \sigma _{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \dim _{\rm {L}}(t,K)=\sup \limits _{u\in K}d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}).}$

В этом подходе использование аналога формулы Каплана–Йорка строго обосновано теоремой Дуади–Эстерле ^[6], которая доказывает, что при любом фиксированном конечновременная размерность Ляпунова для замкнутого ограниченного инвариантного множества является верхней оценкой размерности Хаусдорфа: ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \dim _{\rm {H}}K\leq \dim _{\rm {L}}(t,K).}$

Для наилучшей оценки размерность Ляпунова определяется следующим образом: ^{[4] [5]} ${\displaystyle \inf _{t>0}\dim _{\rm {L}}(t,K)=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u)}$

${\displaystyle \dim _{\rm {L}}K=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u).}$

Возможности изменения порядка ограничения по времени и супремума по множеству обсуждаются, например, в ^{[7] [8]}

Обратите внимание, что определенная выше размерность Ляпунова инвариантна относительно диффеоморфизмов Липшица . ^{[4] [9]}

Точная размерность Ляпунова

Пусть матрица Якоби в одном из положений равновесия имеет простые действительные собственные значения: , тогда ${\displaystyle Df(u_{\text{eq}})}$ ${\displaystyle \{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n},\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\geq \lambda _{i+1}(u_{\text{eq}})}$

${\displaystyle \dim _{\rm {L}}u_{\text{eq}}=d_{\rm {KY}}(\{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n}).}$

Если супремум локальных ляпуновских размерностей на глобальном аттракторе, охватывающий все равновесия, достигается в точке равновесия, то это позволяет получить аналитическую формулу точной ляпуновской размерности глобального аттрактора (см. соответствующую гипотезу Идена ).

Определение с помощью статистического физического подхода и эргодичности

Следуя подходу статистической физики и предполагая эргодичность , размерность Ляпунова аттрактора оценивается ^[1] предельным значением локальной размерности Ляпунова типичной траектории, которая принадлежит аттрактору. В этом случае и . С практической точки зрения строгое использование эргодической теоремы Оселедеца , проверка того, что рассматриваемая траектория является типичной траекторией, и использование соответствующей формулы Каплана–Йорка является сложной задачей (см., например, обсуждения в [ ^10] ). Точные предельные значения показателей Ляпунова за конечное время, если они существуют и одинаковы для всех , называются абсолютными ^[3] и используются в формуле Каплана–Йорка . Примеры строгого использования эргодической теории для вычисления показателей Ляпунова и размерности можно найти в. ^{[11] [12] [13]} ${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }\dim _{\rm {L}}(t,u_{0})}$ ${\displaystyle \{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}}$ ${\displaystyle \dim _{\rm {L}}u_{0}=d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{i=1}^{n})=j(u_{0})+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(u_{0})+\cdots +{\rm {LE}}_{j(u_{0})}(u_{0})}{|{\rm {LE}}_{j(u_{0})+1}(u_{0})|}}}$ ${\displaystyle u(t,u_{0})}$ ${\displaystyle u_{0}\in U}$ ${\displaystyle \{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}\equiv \{{\rm {LE}}_{i}\}_{1}^{n}}$

Ссылки

1. Kaplan J., Yorke J. (1979). «Функциональные дифференциальные уравнения и приближения неподвижных точек». Хаотическое поведение многомерных разностных уравнений . Springer. стр. 204–227.
2. Ruelle D.; Takens F. (1971). «О природе турбулентности». Communications in Mathematical Physics . 20 (3): 167–192. Bibcode :1971CMaPh..20..167R. doi :10.1007/bf01646553.
3. Frederickson, F.; Kaplan, J.; Yorke, E.; Yorke, J. (1983). «Ляпуновская размерность странных аттракторов». Journal of Differential Equations . 49 (2): 185–207. Bibcode :1983JDE....49..185F. doi : 10.1016/0022-0396(83)90011-6 .
4. Кузнецов, Н. В. (2016). «Размерность Ляпунова и ее оценка методом Леонова». Physics Letters A . 380 (25–26): 2142–2149. arXiv : 1602.05410 . Bibcode :2016PhLA..380.2142K. doi :10.1016/j.physleta.2016.04.036. S2CID  118467839.
5. Кузнецов, Н.В.; Леонов Г.А.; Мокаев, Теннесси; Прасад, А.; Шримали, доктор медицинских наук (2018). «Конечная размерность Ляпунова и скрытый аттрактор системы Рабиновича». Нелинейная динамика . 92 (2): 267–285. arXiv : 1504.04723 . doi : 10.1007/s11071-018-4054-z. S2CID  254888463.
6. Дуади, А.; Остерле, Дж. (1980). «Измерение Хаусдорфа привлекательных людей». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Серия А. 290 (24): 1135–1138.
7. Constantin, P.; Foias, C.; Temam, R. (1985). «Аттракторы, представляющие турбулентные потоки». Мемуары Американского математического общества . 53 (314): 1–67. doi :10.1090/memo/0314.
8. Иден, А.; Фойас, К.; Темам, Р. (1991). «Локальные и глобальные показатели Ляпунова». Журнал динамики и дифференциальных уравнений . 3 (1): 133–177. Bibcode : 1991JDDE....3..133E. doi : 10.1007/bf01049491. S2CID  119490212.
9. Кузнецов, Н.; Алексеева, Т.; Леонов, Г. (2016). «Инвариантность показателей Ляпунова и размерности Ляпунова для регулярных и нерегулярных линеаризаций». Нелинейная динамика . 85 (1): 195–201. arXiv : 1410.2016 . doi :10.1007/s11071-016-2678-4. S2CID  254894000.
10. П. Цвитанович; Р. Артузо; Р. Майниери; Г. Таннер и Г. Ваттай (2017). Хаос: классический и квантовый (PDF) . Институт Нильса Бора.
11. Ледраппье, Ф. (1981). «Некоторые соотношения между размерностью и показателями Ляпунова». Сообщения по математической физике . 81 (2): 229–238. Bibcode :1981CMaPh..81..229L. doi :10.1007/bf01208896. S2CID  122105442.
12. Бенедикс, М.; Янг, Л.-С. (1993). «Меры Синая–Боуэна–Рюэля для некоторых отображений Хенона». Inventiones Mathematicae . 112 (1): 541–576. Bibcode :1993InMat.112..541B. doi :10.1007/bf01232446.
13. Кузнецов, Николай; Рейтманн, Фолькер (2021). Оценки размерности аттрактора для динамических систем: теория и вычисления. Cham: Springer.