Магический квадрат Фрейденталя

Математический магический квадрат

В математике магический квадрат Фрейденталя ( или магический квадрат Фрейденталя–Титса ) — это конструкция, связывающая несколько алгебр Ли (и связанных с ними групп Ли ). Она названа в честь Ганса Фрейденталя и Жака Титса , которые независимо друг от друга разработали эту идею. Она связывает алгебру Ли с парой алгебр с делением A , B. Полученные алгебры Ли имеют диаграммы Дынкина в соответствии с таблицей справа. «Магия» магического квадрата Фрейденталя заключается в том, что построенная алгебра Ли симметрична относительно A и B , несмотря на то, что исходная конструкция не является симметричной, хотя симметричный метод Винберга даёт симметричную конструкцию.

Магический квадрат Фрейденталя включает в себя все исключительные группы Ли, _кроме G2 , и он предоставляет один из возможных подходов для обоснования утверждения, что «все исключительные группы Ли существуют из-за октонионов » : _сама G2 является группой автоморфизмов октонионов (кроме того, она во многих отношениях похожа на классическую группу Ли , поскольку является стабилизатором общей 3-формы на 7-мерном векторном пространстве – см. предоднородное векторное пространство ).

Конструкции

См. историю для контекста и мотивации. Первоначально они были созданы около 1958 года Фройденталем и Титсом, а более элегантные формулировки появились в более поздние годы. ^[1]

Подход Титса

Подход Титса, открытый около 1958 года и опубликованный в (Tits 1966), заключается в следующем.

С любой нормированной вещественной алгеброй с делением A (т.е. R, C, H или O) связана йорданова алгебра J 3 ₍ A ) , 3 × 3 A - эрмитовых матриц . Для любой пары ( A , B ) таких алгебр с делением можно определить алгебру Ли

${\displaystyle L=\left({\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(J_{3}(B))\right)\oplus \left(A_{0}\otimes J_{3}(B)_{0}\right)}$

где обозначает алгебру Ли дериваций алгебры, а нижний индекс 0 обозначает часть без следов . Алгебра Ли L имеет в качестве подалгебры, и это естественным образом действует на . Скобка Ли на (которая не является подалгеброй) неочевидна, но Титс показал, как ее можно определить, и что она дала следующую таблицу компактных алгебр Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {der}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(J_{3}(B))}$ ${\displaystyle A_{0}\otimes J_{3}(B)_{0}}$ ${\displaystyle A_{0}\otimes J_{3}(B)_{0}}$

По построению строка таблицы с A = R дает , и аналогично наоборот. ${\displaystyle {\mathfrak {der}}(J_{3}(B))}$

Симметричный метод Винберга

«Магия» магического квадрата Фрейденталя заключается в том, что построенная алгебра Ли симметрична относительно A и B . Это не очевидно из конструкции Титса. Эрнест Винберг дал конструкцию, которая явно симметрична, в (Vinberg 1966). Вместо использования йордановой алгебры он использует алгебру косоэрмитовых матриц без следов с элементами в A ⊗ B , обозначаемую . Винберг определяет структуру алгебры Ли на ${\displaystyle {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)}$

${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(B)\oplus {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B).}$

Когда A и B не имеют выводов (т.е. R или C ), это просто скобка Ли (коммутаторная) на . При наличии выводов они образуют подалгебру, действующую естественным образом на , как в конструкции Титса, а скобка коммутатора без следов на модифицируется выражением со значениями в . ${\displaystyle {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(B)}$

Триальность

Более поздняя конструкция, созданная Пьером Рамоном (Ramond 1976) и Брюсом Эллисоном (Allison 1978) и развитая Крисом Бартоном и Энтони Садбери, использует триальность в форме, разработанной Джоном Фрэнком Адамсом ; она была представлена ​​в (Barton & Sudbery 2000), а в упрощенной форме в (Barton & Sudbery 2003). В то время как конструкция Винберга основана на группах автоморфизмов алгебры с делением A (или, скорее, их алгебрах Ли дериваций), Бартон и Садбери используют группу автоморфизмов соответствующей триальности. Триальность — это трилинейное отображение

${\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\to \mathbf {R} }$

полученная путем взятия трех копий алгебры деления A и использования скалярного произведения на A для дуализации умножения. Группа автоморфизмов является подгруппой SO( A ₁ ) × SO( A ₂ ) × SO( A ₃ ), сохраняющей это трилинейное отображение. Она обозначается Tri( A ). Следующая таблица сравнивает ее алгебру Ли с алгеброй Ли дериваций.

Затем Бартон и Садбери отождествляют алгебру Ли магического квадрата, соответствующую ( A , B ), со структурой алгебры Ли на векторном пространстве

${\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)\oplus {\mathfrak {tri}}(B)\oplus (A_{1}\otimes B_{1})\oplus (A_{2}\otimes B_{2})\oplus (A_{3}\otimes B_{3}).}$

Скобка Ли совместима с градуировкой Z ₂ × Z ₂ с tri ( A ) и tri ( B ) в степени (0,0) и тремя копиями A ⊗ B в степенях (0,1), (1,0) и (1,1). Скобка сохраняет tri ( A ) и tri ( B ), и они действуют естественно на три копии A ⊗ B , как и в других конструкциях, но скобки между этими тремя копиями более ограничены.

Например, когда A и B являются октонионами, тройственность соответствует Spin(8), двойному покрытию SO(8), а описание Бартона-Садбери дает

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}\cong {\mathfrak {so}}_{8}\oplus {\widehat {\mathfrak {so}}}_{8}\oplus (V\otimes {\widehat {V}})\oplus (S_{+}\otimes {\widehat {S}}_{+})\oplus (S_{-}\otimes {\widehat {S}}_{-})}$

где V, S ₊ и S ₋ — три 8-мерных представления (фундаментальное представление и два спиновых представления ), а шляпные объекты — изоморфная копия. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{8}}$

Что касается одной из градуировок Z ₂ , то первые три слагаемых объединяются, чтобы дать , а последние два вместе образуют одно из ее спиновых представлений Δ ₊ ¹²⁸ (верхний индекс обозначает размерность). Это хорошо известное симметричное разложение E8 . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{16}}$

Конструкция Бартона–Садбери распространяет это на другие алгебры Ли в магическом квадрате. В частности, для исключительных алгебр Ли в последней строке (или столбце) симметричные разложения таковы:

${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{9}\oplus \Delta ^{16}}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}\cong ({\mathfrak {so}}_{10}\oplus {\mathfrak {u}}_{1})\oplus \Delta ^{32}}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}\cong ({\mathfrak {so}}_{12}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1})\oplus \Delta _{+}^{64}}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}\cong {\mathfrak {so}}_{16}\oplus \Delta _{+}^{128}.}$

Обобщения

Разделенные композиционные алгебры

В дополнение к нормированным алгебрам с делением существуют и другие композиционные алгебры над R , а именно расщепленные комплексные числа , расщепленные кватернионы и расщепленные октонионы . Если использовать их вместо комплексных чисел, кватернионов и октонионов, то получится следующий вариант магического квадрата (где расщепленные версии алгебр с делением обозначены штрихом).

Здесь все алгебры Ли являются расщепленной вещественной формой, за исключением so ₃ , но изменение знака в определении скобки Ли может быть использовано для получения расщепленной формы so _2,1 . В частности, для исключительных алгебр Ли максимальные компактные подалгебры следующие:

Несимметричную версию магического квадрата можно также получить, объединив расщепленные алгебры с обычными алгебрами деления. Согласно Бартону и Садбери, результирующая таблица алгебр Ли выглядит следующим образом.

Реальные исключительные алгебры Ли, появляющиеся здесь, снова могут быть описаны их максимальными компактными подалгебрами.

Произвольные поля

Расщепляемые формы композиционных алгебр и алгебр Ли могут быть определены над любым полем K. Это дает следующий магический квадрат.

Здесь есть некоторая двусмысленность, если K не является алгебраически замкнутым. В случае K = C это комплексификация магических квадратов Фрейденталя для R , обсуждавшаяся до сих пор.

Более общие йордановы алгебры

Квадраты, обсуждавшиеся до сих пор, связаны с йордановыми алгебрами J ₃ ( A ), где A — алгебра с делением. Существуют также йордановы алгебры J _n ( A ), для любого положительного целого числа n , при условии, что A ассоциативна. Они дают расщепляемые формы (над любым полем K ) и компактные формы (над R ) обобщенных магических квадратов.

При n = 2 J ₂ ( O ) также является йордановой алгеброй. В компактном случае (над R ) это дает магический квадрат ортогональных алгебр Ли.

Последняя строка и столбец здесь представляют собой часть ортогональной алгебры изотропии в симметричном разложении исключительных алгебр Ли, упомянутых ранее.

Эти конструкции тесно связаны с эрмитовыми симметрическими пространствами – ср. предоднородные векторные пространства .

Симметричные пространства

Римановы симметричные пространства , как компактные, так и некомпактные, можно классифицировать единообразно с помощью конструкции магического квадрата в (Huang & Leung 2010). Неприводимые компактные симметричные пространства являются, с точностью до конечных покрытий, либо компактной простой группой Ли, грассманианом, лагранжевым грассманианом или двойным лагранжевым грассманианом подпространств для нормированных алгебр с делением A и B. Аналогичная конструкция производит неприводимые некомпактные симметричные пространства. ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{n},}$

История

Проективные плоскости Розенфельда

После открытия Рут Муфанг в 1933 году проективной плоскости Кэли или «октонионной проективной плоскости» P ² ( O ), группа симметрии которой является исключительной группой Ли F 4 , и с учётом того, что G 2 является группой автоморфизмов октонионов, Розенфельд (1956) предположил, что оставшиеся исключительные группы Ли E 6 , E 7 и E 8 являются группами изоморфизма проективных плоскостей над некоторыми алгебрами над октонионами: ^[1]

• the биооктонионы ,C⊗O,
• the кватероктонионы ,H⊗O,
• the октооктонионы ,O⊗O.

Это предложение привлекательно, поскольку существуют определенные исключительные компактные римановы симметрические пространства с желаемыми группами симметрии, размерность которых совпадает с размерностью предполагаемых проективных плоскостей (dim( P ² ( K ⊗ K ′)) = 2 dim( K )dim( K ′)), и это дало бы единообразную конструкцию исключительных групп Ли как симметрий естественно встречающихся объектов (т. е. без априорного знания исключительных групп Ли). Римановы симметрические пространства были классифицированы Картаном в 1926 году (обозначения Картана используются в дальнейшем); см. классификацию для получения подробной информации, а соответствующие пространства следующие:

• октонионная проективная плоскость – FII, размерность 16 = 2 × 8, симметрия F ₄ , проективная плоскость Кэли P ² ( O ),
• биоктонионная проективная плоскость – EIII, размерность 32 = 2 × 2 × 8, симметрия E ₆ , комплексифицированная проективная плоскость Кэли, P ² ( C ⊗ O ),
• "кватероктонионная проективная плоскость "^[2]– EVI, размерность 64 = 2 × 4 × 8,симметрия₇P²(H⊗O),
• "октооктонионная проективная плоскость "^[3]– EVIII, размерность 128 = 2 × 8 × 8,симметрия₈P²(O⊗O).

Трудность этого предложения заключается в том, что, хотя октонионы являются алгеброй с делением, и, таким образом, над ними определена проективная плоскость, биоктонионы, кватероктонионы и октооктонионы не являются алгебрами с делением, и, таким образом, обычное определение проективной плоскости не работает. Это можно решить для биоктонионов, при этом результирующая проективная плоскость будет комплексифицированной плоскостью Кэли, но эти построения не работают для кватероктонионов и октооктонионов, и рассматриваемые пространства не подчиняются обычным аксиомам проективных плоскостей, ^[1] отсюда и кавычки на «(предполагаемой) проективной плоскости». Однако касательное пространство в каждой точке этих пространств можно отождествить с плоскостью ( H ⊗ O ) ² или ( O ⊗ O ) ² , что еще больше подтверждает интуицию о том, что они являются формой обобщенной проективной плоскости. ^{[2] [3]} Соответственно, полученные пространства иногда называют проективными плоскостями Розенфельда и обозначают так, как если бы они были проективными плоскостями. В более широком смысле, эти компактные формы являются эллиптическими проективными плоскостями Розенфельда , в то время как двойственные некомпактные формы являются гиперболическими проективными плоскостями Розенфельда . Более современное представление идей Розенфельда находится в (Rosenfeld 1997), а краткая заметка об этих «плоскостях» находится в (Besse 1987, стр. 313–316). ^[4]

Пространства могут быть построены с использованием теории построений Титса, которая позволяет построить геометрию с любой заданной алгебраической группой в качестве симметрии, но для этого требуется начать с групп Ли и построить геометрию из них, а не строить геометрию независимо от знания групп Ли. ^[1]

Магический квадрат

В то время как на уровне многообразий и групп Ли конструкция проективной плоскости P ² ( K ⊗ K ′) двух нормированных алгебр с делением не работает, соответствующая конструкция на уровне алгебр Ли работает . То есть, если разложить алгебру Ли бесконечно малых изометрий проективной плоскости P ² ( K ) и применить тот же анализ к P ² ( K ⊗ K ′), можно использовать эту разложение, которое выполняется, когда P ² ( K ⊗ K ′) фактически может быть определена как проективная плоскость, как определение «магического квадрата алгебры Ли» M ( K , K ′). Это определение является чисто алгебраическим и выполняется даже без предположения о существовании соответствующего геометрического пространства. Это было сделано независимо около 1958 года в (Tits 1966) и Фройденталем в серии из 11 статей, начиная с (Freudenthal 1954a) и заканчивая (Freudenthal 1963), хотя упрощенная конструкция, описанная здесь, принадлежит (Vinberg 1966). ^[1]

Смотрите также

Примечания

1. (Баез 2002, 4.3 Магический квадрат)
2. (Баез 2002, 4.5 E7)
3. (Баез 2002, 4.6 E8)
4. «Находки этой недели в математической физике – Неделя 106», Джон Баез 23 июля 1997 г.

Ссылки

• Адамс, Джон Фрэнк (1996). Махмуд, Зафер; Мимура, Мамора (ред.). Лекции по исключительным группам Ли . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-00527-0.
• Эллисон, Б. Н. (1978). «Структурируемые алгебры». Math. Ann . 237 (2): 133–156. doi :10.1007/bf01351677. S2CID  120322064.
• Баез, Джон К. (2002). «Октонионы». Бюллетень Американского математического общества . 39 (2): 145–205. arXiv : math/0105155 . doi :10.1090/S0273-0979-01-00934-X. ISSN  0273-0979. MR  1886087. S2CID  586512.– 4.3: Магический квадрат
• Баез, Джон К. (2005). «Опечатки для октонионов» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 42 (2): 213–214. doi : 10.1090/S0273-0979-05-01052-9 .
• Бартон, CH; Садбери, A. (2000). «Магические квадраты алгебр Ли». arXiv : math/0001083 .
• Barton, CH; Sudbery, A. (2003). «Магические квадраты и матричные модели алгебр Ли». Advances in Mathematics . 180 (2): 596–647. arXiv : math.RA/0203010 . doi : 10.1016/S0001-8708(03)00015-X . S2CID  119621987.
• Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-15279-8.
• Фрейденталь, Ганс (1954a). «Beziehungen der E ₇ и E ₈ zur Oktavenebene. I». Indagationes Mathematicae (на немецком языке). 16 : 218–230. дои : 10.1016/S1385-7258(54)50032-6. МР  0063358.
• Фрейденталь, Ганс (1954b). «Beziehungen der E ₇ и E ₈ zur Oktavenebene. II». Indagationes Mathematicae (на немецком языке). 16 : 363–368. дои : 10.1016/S1385-7258(54)50045-4. МР  0068549.
• Фрейденталь, Ганс (1955a). «Beziehungen der E ₇ и E ₈ zur Oktavenebene. III». Indagationes Mathematicae (на немецком языке). 17 : 151–157. дои : 10.1016/S1385-7258(55)50020-5. МР  0068550.
• Фрейденталь, Ганс (1955b). «Beziehungen der E ₇ и E ₈ zur Oktavenebene. IV». Indagationes Mathematicae (на немецком языке). 17 : 277–285. дои : 10.1016/S1385-7258(55)50039-4. МР  0068551.
• Фрейденталь, Ганс (1959). «Beziehungen der E ₇ и E ₈ zur Oktavenebene. V – IX». Indagationes Mathematicae (на немецком языке). 21 : 165–201, 447–474. дои : 10.1016/S1385-7258(59)50019-0.
• Фрейденталь, Ганс (1963). «Beziehungen der E7 und E8 zur Oktavenebene. X, XI». Indagationes Mathematicae (на немецком языке). 25 : 457–471, 472–487. дои : 10.1016/S1385-7258(63)50046-8 . МР  0163203.
• Фрейденталь, Ганс (1951), Октавен, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie , Математический институт Рейксуниверситета в Утрехте
• Фрейденталь, Ганс (1985), «Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie», Geometriae Dedicata , 19 : 7–63, doi : 10.1007/bf00233101, S2CID  121496094(перепечатка статьи 1951 года)
• Хуан, Йонгдонг; Леунг, Найчунг Конан (30 июля 2010 г.). «Единообразное описание компактных симметричных пространств как грассманианов с использованием магического квадрата» (PDF) . Mathematische Annalen . 350 (май 2011 г.): 79–106. doi : 10.1007/s00208-010-0549-8 . S2CID  121427210.
• Ландсберг, Дж. М.; Манивел, Л. (2001). «Проективная геометрия магического квадрата Фрейденталя». Журнал алгебры . 239 (2): 477–512. arXiv : math.AG/9908039 . doi : 10.1006/jabr.2000.8697 . S2CID  16320642.
• Постников, М. (1986), Группы Ли и алгебры Ли. Лекции по геометрии. Семестр V , Мир
• Рамон, Пьер (декабрь 1976 г.). Введение в исключительные группы и алгебры Ли (отчет). Пасадена: Калифорнийский технологический институт. CALT-68-577.
• Розенфельд, Борис А. (1956). "[Геометрическая интерпретация компактных простых групп Ли класса E ]". Докл. АН СССР . 106 : 600–603.
• Розенфельд, Борис А. (1997). Геометрия групп Ли . Математика и ее приложения. Т. 393. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group. стр. xviii+393. ISBN 978-0-7923-4390-5.
• Титс, Жак (1966). «Альтернативные алгебры, йордановые алгебры и исключительные алгебры Ли» [Альтернативные алгебры, йордановые алгебры и исключительные алгебры Ли]. Indagationes Mathematicae (на французском языке). 28 : 223–237. дои : 10.1016/S1385-7258(66)50028-2 . МР  0219578.
• Винберг, ЭБ (1966). "[Построение исключительных простых алгебр Ли]". Труды семинара векторного и тензометрического анализа . 13 : 7–9.
• Винберг, ЭБ (2005). «Построение исключительных простых алгебр Ли». Amer. Math. Soc. Transl . 213 : 241–242.
• Ёкота, Ичиро (1985). «Несимметрия магического квадрата Фрейденталя». J. Fac. Sci. Shinshu Univ . 20 : 13.