Магическая константа или магическая сумма магического квадрата — это сумма чисел в любой строке, столбце или диагонали магического квадрата. Например, магический квадрат, показанный ниже, имеет магическую константу 15. Для обычного магического квадрата порядка n — то есть магического квадрата, который содержит числа 1, 2, ..., n 2 — магическая константа равна .
Для обычных магических квадратов порядков n = 3, 4, 5, 6, 7 и 8 магические константы равны соответственно: 15, 34, 65, 111, 175 и 260 (последовательность A006003 в OEIS ). Например, обычный квадрат 8 × 8 всегда будет равен 260 для каждой строки, столбца или диагонали. Обычная магическая константа порядка n равна н 3 + н/2 . Наибольшая магическая константа обычного магического квадрата, которая также является:
Обратите внимание, что 0 и 1 — единственные нормальные магические константы рационального порядка, которые также являются рациональными квадратами.
Однако существует бесконечно много рациональных треугольных чисел, рациональных обобщенных пятиугольных чисел и рациональных тетраэдрических чисел, которые также являются магическими константами рационального порядка.
Термин магическая константа или магическая сумма аналогичным образом применяется к другим «магическим» фигурам, таким как магические звезды и магические кубы . Числовые фигуры на треугольной сетке, разделенные на равные области полидиамонда, содержащие равные суммы, дают магическую константу полидиамонда. [1]
Магическая константа n -конечной нормальной магической звезды равна .
В 2013 году Дирк Киннес нашел магическую серию многогранников. Число уникальных последовательностей, которые образуют магическую константу, теперь известно с точностью до . [2]
В модели массы значение в каждой ячейке определяет массу для этой ячейки. [3] Эта модель имеет два примечательных свойства. Во-первых, она демонстрирует сбалансированную природу всех магических квадратов. Если такую модель подвешивают к центральной ячейке, структура уравновешивается. (рассмотрите магические суммы строк/столбцов... одинаковая масса на равном расстоянии уравновешивает). Второе свойство, которое можно вычислить, — это момент инерции . Суммирование отдельных моментов инерции (квадрат расстояния от центра × значение ячейки) дает момент инерции для магического квадрата, который зависит исключительно от порядка квадрата. [4]
