Магнитный момент электрона

Spin of an electron

В атомной физике магнитный момент электрона , или, более конкретно, магнитный дипольный момент электрона , является магнитным моментом электрона, возникающим из его внутренних свойств спина и электрического заряда . Значение магнитного момента электрона (обозначение μ _e ) равно-9,284 764 6917 (29) × 10 ^-24  Дж⋅Т ^-1 . ‍ [ ^1] В единицах магнетона Бора ( μ _B ) это−1,001 159 652 180 59 (13)  µ _B , ^[2] величина, измеренная с относительной точностью1,3 × 10 ^-13 .

Магнитный момент электрона

Электрон — это заряженная частица с зарядом −e , где e — единица элементарного заряда . Его угловой момент возникает в результате двух типов вращения: вращения и орбитального движения . Согласно классической электродинамике , вращающееся распределение электрического заряда создает магнитный диполь , который ведет себя как крошечный стержневой магнит . Одним из следствий является то, что внешнее магнитное поле оказывает крутящий момент на магнитный момент электрона , который зависит от ориентации этого диполя относительно поля.

Если электрон визуализировать как классическое твердое тело, в котором масса и заряд имеют одинаковое распределение и движение, которое вращается вокруг оси с угловым моментом L , его магнитный дипольный момент μ определяется по формуле: где m _e — масса покоя электрона . Угловой момент L в этом уравнении может быть спиновым угловым моментом, орбитальным угловым моментом или полным угловым моментом. Отношение между истинным спиновым магнитным моментом и моментом, предсказанным этой моделью, представляет собой _{безразмерный} фактор ge , известный как g -фактор электрона : $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {-e}{2m_{\text{e}}}}\,\mathbf {L} \,,}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=g_{\text{e}}\,{\frac {(-e)}{~2m_{\text{e}}~}}\,\mathbf {L} \,.}$$

Магнитный момент обычно выражают через приведенную постоянную Планка ħ и магнетон Бора µ _B : $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{\text{e}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {\mathbf {L} }{\hbar }}\,.}$$

Поскольку магнитный момент квантуется в единицах µ _B , соответственно угловой момент квантуется в единицах ħ .

Формальное определение

Однако классические понятия, такие как центр заряда и масса, трудно уточнить для квантовой элементарной частицы. На практике определение, используемое экспериментаторами, исходит из форм-факторов , появляющихся в матричном элементе. ${\displaystyle F_{i}(q^{2})}$ $${\displaystyle \langle p_{f}|j^{\mu }|p_{i}\rangle ={\bar {u}}(p_{f})\left[F_{1}(q^{2})\gamma ^{\mu }+{\frac {~i\sigma ^{\mu \nu }~}{~2\,m_{\text{e}}~}}q_{\nu }F_{2}(q^{2})+i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\sigma _{\rho \sigma }q_{\nu }F_{3}(q^{2})+{\frac {1}{~2\,m_{\text{e}}~}}\left(q^{\mu }-{\frac {q^{2}}{2m}}\gamma ^{\mu }\right)\gamma _{5}F_{4}(q^{2})\right]u(p_{i})}$$

оператора электромагнитного тока между двумя состояниями на оболочке. Здесь и – 4-спинорное решение уравнения Дирака, нормированное так, что , – передача импульса от тока к электрону. Форм -фактор — это заряд электрона, его статический магнитный дипольный момент и формальное определение электрического дипольного момента электрона . Оставшийся форм-фактор , если он не равен нулю, будет анапольным моментом . ${\displaystyle u(p_{i})}$ ${\displaystyle {\bar {u}}(p_{f})}$ ${\displaystyle {\bar {u}}u=2m_{\text{e}}}$ ${\displaystyle q^{\mu }=p_{f}^{\mu }-p_{i}^{\mu }}$ ${\displaystyle q^{2}=0}$ ${\displaystyle F_{1}(0)=-e}$ ${\textstyle \mu ={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}(F_{1}(0)+F_{2}(0))}$ ${\textstyle -{\frac {1}{2m_{\text{e}}}}F_{3}(0)}$ ${\displaystyle F_{4}(q^{2})}$

Спиновый магнитный дипольный момент

Спиновый магнитный момент присущ электрону. ^[3] Это $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}}=-g_{\text{s}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {S} ~}{\hbar }}\,.}$$

Здесь S — угловой момент спина электрона. Спиновый g- фактор равен примерно двум: . Коэффициент два указывает на то, что электрон, по-видимому, в два раза эффективнее создает магнитный момент, чем заряженное тело, у которого распределения массы и заряда идентичны. ${\displaystyle g_{\text{s}}\approx 2}$

Спиновый магнитный дипольный момент составляет примерно один мкБ _, поскольку электрон является частицей со спином 1/2 ( S = ħ / 2 ): ${\displaystyle g_{\text{s}}\approx 2}$

z - компонента магнитного момента электрона равна где m _s — спиновое квантовое число . Обратите внимание, что µ — отрицательная константа, умноженная на спин , поэтому магнитный момент антипараллелен угловому моменту спина. $${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}})_{z}=-g_{\text{s}}\,\mu _{\text{B}}\,m_{\text{s}}\,,}$$

Спиновый g- фактор g _s = 2 исходит из уравнения Дирака , фундаментального уравнения, связывающего спин электрона с его электромагнитными свойствами. Сведение уравнения Дирака для электрона в магнитном поле к его нерелятивистскому пределу дает уравнение Шредингера с поправочным членом, которое учитывает взаимодействие собственного магнитного момента электрона с магнитным полем, дающим правильную энергию.

Для спина электрона экспериментально установлено наиболее точное значение спинового g- фактора :

−2,002 319 304 360 92 (36) . ‍ [ ^4]

Обратите внимание, что это лишь незначительно отличается от значения уравнения Дирака. Небольшая поправка известна как аномальный магнитный дипольный момент электрона; оно возникает в результате взаимодействия электрона с виртуальными фотонами в квантовой электродинамике . Триумфом теории квантовой электродинамики является точное предсказание g -фактора электрона . Значение CODATA для магнитного момента электрона равно

-9,284 764 6917 (29) × 10 ^-24  Дж⋅Т ^-1 . ‍ [ ^1]

Орбитальный магнитный дипольный момент

Вращение электрона вокруг оси через другой объект, например ядро, приводит к возникновению орбитального магнитного дипольного момента. Предположим, что угловой момент орбитального движения равен L . Тогда орбитальный магнитный дипольный момент равен $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{L}=-g_{\text{L}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {L} ~}{\hbar }}\,.}$$

Здесь g _L — орбитальный g- фактор электрона , а µ _B — магнетон Бора . Значение g _L точно равно единице по квантовомеханическому аргументу, аналогичному выводу классического гиромагнитного отношения .

Полный магнитный дипольный момент

Полный магнитный дипольный момент , возникающий как из-за спинового, так и из-за орбитального угловых моментов электрона, связан с полным угловым моментом J аналогичным уравнением: $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\text{J}}=-g_{\text{J}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {J} ~}{\hbar }}\,.}$$

g - фактор g _J известен как g -фактор Ланде , который можно связать с g _L и g _S с помощью квантовой механики. Подробности см. в g -факторе Ланде .

Пример: атом водорода

Для атома водорода , электрона , занимающего атомную орбиталь Ψ _n,ℓ,m  , магнитный дипольный момент определяется выражением $${\displaystyle \mu _{\text{L}}=-g_{\text{L}}{\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar }}\langle \Psi _{n,\ell ,m}|L|\Psi _{n,\ell ,m}\rangle =-\mu _{\text{B}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}.}$$

Здесь L — орбитальный угловой момент , n , ℓ и m — главное , азимутальное и магнитное квантовые числа соответственно. Z - компонента орбитального магнитного дипольного момента для электрона с магнитным квантовым числом m _ℓ определяется выражением $${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }}_{\text{L}})_{z}=-\mu _{\text{B}}m_{\ell }.}$$

История

Магнитный момент электрона неразрывно связан со спином электрона, и его гипотеза была впервые высказана в ранних моделях атома в начале двадцатого века. Первым, кто ввел идею спина электрона, был Артур Комптон в своей статье 1921 года об исследовании ферромагнитных веществ с помощью рентгеновских лучей. ^{[5] : 145–155  [6]} В статье Комптона он писал: «Возможно, наиболее естественная и, конечно, наиболее общепринятая точка зрения на природу элементарного магнита состоит в том, что вращение электронов на орбитах внутри атома дает атому в целом свойственны свойства крошечного постоянного магнита». ^{[5] : 146}

В том же году Отто Штерн предложил эксперимент, проведенный позже, названный экспериментом Штерна-Герлаха, в котором атомы серебра в магнитном поле отклонялись в противоположных направлениях распределения. Этот период до 1925 года ознаменовал собой старую квантовую теорию , построенную на модели атома Бора-Зоммерфельда с его классическими эллиптическими орбитами электронов. В период между 1916 и 1925 годами был достигнут большой прогресс в отношении расположения электронов в таблице Менделеева . Чтобы объяснить эффект Зеемана в атоме Бора, Зоммерфельд предположил, что электроны будут основаны на трех «квантовых числах» n, k и m, которые описывают размер орбиты, форму орбиты и направление куда указывала орбита. ^[7] Ирвинг Ленгмюр в своей статье 1919 года объяснил, что электроны в их оболочках: «Ридберг указал, что эти числа получены из ряда . Множитель два предполагает фундаментальную двукратную симметрию для всех стабильных атомов». ^[8] Эта конфигурация была принята Эдмундом Стоунером в октябре 1924 года в его статье «Распределение электронов среди атомных уровней», опубликованной в «Философском журнале». Вольфганг Паули предположил, что для этого требуется четвертое квантовое число с двузначностью. ^[9] ${\displaystyle N=2(1+2^{2}+2^{2}+3^{2}+3^{2}+4^{2})}$ ${\displaystyle 2n^{2}}$

Спин электрона в теориях Паули и Дирака

Starting from here the charge of the electron is e < 0 . The necessity of introducing half-integral spin goes back experimentally to the results of the Stern–Gerlach experiment. A beam of atoms is run through a strong non-uniform magnetic field, which then splits into N parts depending on the intrinsic angular momentum of the atoms. It was found that for silver atoms, the beam was split in two—the ground state therefore could not be integral, because even if the intrinsic angular momentum of the atoms were as small as possible, 1, the beam would be split into 3 parts, corresponding to atoms with L_z = −1, 0, and +1. The conclusion is that silver atoms have net intrinsic angular momentum of 1⁄2. Pauli set up a theory which explained this splitting by introducing a two-component wave function and a corresponding correction term in the Hamiltonian, representing a semi-classical coupling of this wave function to an applied magnetic field, as so: $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\right]^{2}+e\phi .}$$

Here A is the magnetic vector potential and ϕ the electric potential, both representing the electromagnetic field, and σ = (σ_x, σ_y, σ_z) are the Pauli matrices. On squaring out the first term, a residual interaction with the magnetic field is found, along with the usual classical Hamiltonian of a charged particle interacting with an applied field: $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} .}$$

This Hamiltonian is now a 2 × 2 matrix, so the Schrödinger equation based on it must use a two-component wave function. Pauli had introduced the 2 × 2 sigma matrices as pure phenomenology — Dirac now had a theoretical argument that implied that spin was somehow the consequence of incorporating relativity into quantum mechanics. On introducing the external electromagnetic 4-potential into the Dirac equation in a similar way, known as minimal coupling, it takes the form (in natural units ħ = c = 1) $${\displaystyle \left[-i\gamma ^{\mu }\left(\partial _{\mu }+ieA_{\mu }\right)+m\right]\psi =0}$$where ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ are the gamma matrices (known as Dirac matrices) and i is the imaginary unit. A second application of the Dirac operator will now reproduce the Pauli term exactly as before, because the spatial Dirac matrices multiplied by i, have the same squaring and commutation properties as the Pauli matrices. What is more, the value of the gyromagnetic ratio of the electron, standing in front of Pauli's new term, is explained from first principles. This was a major achievement of the Dirac equation and gave physicists great faith in its overall correctness. The Pauli theory may be seen as the low energy limit of the Dirac theory in the following manner. First the equation is written in the form of coupled equations for 2-spinors with the units restored: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}(mc^{2}-E+e\phi )&c\sigma \cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\\-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}.}$$so $${\displaystyle {\begin{aligned}(E-e\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{-}&=mc^{2}\psi _{+}\\-(E-e\phi )\psi _{-}+c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{+}&=mc^{2}\psi _{-}\end{aligned}}}$$

Assuming the field is weak and the motion of the electron non-relativistic, we have the total energy of the electron approximately equal to its rest energy, and the momentum reducing to the classical value, $${\displaystyle {\begin{aligned}E-e\phi &\approx mc^{2}\\p&\approx mv\end{aligned}}}$$and so the second equation may be written $${\displaystyle \psi _{-}\approx {\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{+}}$$

which is of order v⁄c - thus at typical energies and velocities, the bottom components of the Dirac spinor in the standard representation are much suppressed in comparison to the top components. Substituting this expression into the first equation gives after some rearrangement $${\displaystyle \left(E-mc^{2}\right)\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\right]^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}}$$

The operator on the left represents the particle energy reduced by its rest energy, which is just the classical energy, so we recover Pauli's theory if we identify his 2-spinor with the top components of the Dirac spinor in the non-relativistic approximation. A further approximation gives the Schrödinger equation as the limit of the Pauli theory. Thus the Schrödinger equation may be seen as the far non-relativistic approximation of the Dirac equation when one may neglect spin and work only at low energies and velocities. This also was a great triumph for the new equation, as it traced the mysterious i that appears in it, and the necessity of a complex wave function, back to the geometry of space-time through the Dirac algebra. It also highlights why the Schrödinger equation, although superficially in the form of a diffusion equation, actually represents the propagation of waves.

It should be strongly emphasized that this separation of the Dirac spinor into large and small components depends explicitly on a low-energy approximation. The entire Dirac spinor represents an irreducible whole, and the components we have just neglected to arrive at the Pauli theory will bring in new phenomena in the relativistic regime - antimatter and the idea of creation and annihilation of particles.

In a general case (if a certain linear function of electromagnetic field does not vanish identically), three out of four components of the spinor function in the Dirac equation can be algebraically eliminated, yielding an equivalent fourth-order partial differential equation for just one component. Furthermore, this remaining component can be made real by a gauge transform.^[10]

Measurement

The existence of the anomalous magnetic moment of the electron has been detected experimentally by magnetic resonance method.^[2] This allows the determination of hyperfine splitting of electron shell energy levels in atoms of protium and deuterium using the measured resonance frequency for several transitions.^[11][12]

The magnetic moment of the electron has been measured using a one-electron quantum cyclotron and quantum nondemolition spectroscopy. The spin frequency of the electron is determined by the g-factor. $${\displaystyle \nu _{s}={\frac {g}{2}}\nu _{c}}$$ $${\displaystyle {\frac {g}{2}}={\frac {{\bar {\nu }}_{c}+{\bar {\nu }}_{a}}{{\bar {\nu }}_{c}}}}$$

See also

• Spin (physics)
• Electron precipitation
• Bohr magneton
• Nuclear magnetic moment
• Nucleon magnetic moment
• Anomalous magnetic dipole moment
• Electron electric dipole moment
• Fine structure
• Hyperfine structure

References

1. "2022 CODATA Value: electron magnetic moment". The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. NIST. May 2024. Retrieved 2024-05-18.
2. Fan, X.; Myers, T. G.; Sukra, B. A. D.; Gabrielse, G. (2023-02-13). "Measurement of the Electron Magnetic Moment". Physical Review Letters. 130 (7): 071801. arXiv:2209.13084. doi:10.1103/PhysRevLett.130.071801.
3. Mahajan, A.; Rangwala, A. (1989). Electricity and Magnetism. p. 419. ISBN 9780074602256.
4. "2022 CODATA Value: electron g factor". The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. NIST. May 2024. Retrieved 2024-05-18.
5. Compton, Arthur H. (August 1921). "The Magnetic Electron". Journal of the Franklin Institute. 192 (2). doi:10.1016/S0016-0032(21)90917-7.
6. Charles P. Enz, Heisenberg's applications of quantum mechanics (1926-33) or the settling of the new land*), Department de Physique Théorique Université de Genève, 1211 Genève 4, Switzerland (10. I. 1983)
7. Manjit Kumar, Quantum: Einstein, Bohr and the Great Debate About the Nature of Reality, 2008.
8. Langmuir, Irving (1919). "The arrangement of electrons in atoms and molecules". Journal of the Franklin Institute. 187 (3): 359–362. doi:10.1016/S0016-0032(19)91097-0.
9. Wolfgang Pauli. Exclusion principle and quantum mechanics. Online available via ⟨http://nobelprize.org⟩^{[permanent dead link]}. Nobel Lecture delivered on December 13th 1946 for the 1945 Nobel Prize in Physics.
10. Akhmeteli, Andrey (2011). "One real function instead of the Dirac spinor function". Journal of Mathematical Physics. 52 (8): 082303. arXiv:1008.4828. Bibcode:2011JMP....52h2303A. doi:10.1063/1.3624336. S2CID 119331138. Archived from the original on 18 July 2012. Retrieved 26 April 2012.
11. Foley, H.M.; Kusch, Polykarp (15 February 1948). "Intrinsic moment of the electron". Physical Review. 73 (4): 412. doi:10.1103/PhysRev.73.412. Archived from the original on 8 March 2021. Retrieved 2 April 2015.
12. Kusch, Polykarp; Foley, H.M. (1 August 1948). "The magnetic moment of the electron". Physical Review. 74 (3): 207–11. Bibcode:1948PhRv...74..250K. doi:10.1103/PhysRev.74.250. PMID 17820251. Archived from the original on 22 April 2021. Retrieved 2 April 2015.

Bibliography

• Sergei Vonsovsky (1975). Magnetism of Elementary Particles. Mir Publishers.
• Sin-Itiro Tomonaga (1997). The Story of Spin. University of Chicago Press.