Магнитостатика

Раздел физики о магнетизме в системах с постоянными электрическими токами

Магнитостатика — это изучение магнитных полей в системах, где токи постоянны (не меняются со временем). Это магнитный аналог электростатики , где заряды неподвижны. Намагниченность не обязательно должна быть статической; уравнения магнитостатики можно использовать для прогнозирования быстрых событий магнитного переключения , которые происходят в масштабах времени наносекунд или меньше. ^[1] Магнитостатика является даже хорошим приближением, когда токи не являются статическими — до тех пор, пока токи не изменяются быстро. Магнитостатика широко используется в приложениях микромагнетизма, таких как модели магнитных запоминающих устройств, таких как компьютерная память .

Приложения

Магнитостатика как частный случай уравнений Максвелла

Исходя из уравнений Максвелла и предполагая, что заряды либо неподвижны, либо движутся как постоянный ток , уравнения разделяются на два уравнения для электрического поля (см. электростатику ) и два для магнитного поля . ^[2] Поля не зависят от времени и друг от друга. Уравнения магнитостатики, как в дифференциальной, так и в интегральной форме, показаны в таблице ниже. ${\displaystyle \mathbf {J} }$

Где ∇ с точкой обозначает дивергенцию , а B — плотность магнитного потока , первый интеграл берется по поверхности с ориентированным элементом поверхности . Где ∇ с крестом обозначает ротор , J — плотность тока , а H — напряженность магнитного поля , второй интеграл — это линейный интеграл по замкнутому контуру с линейным элементом . Ток, проходящий через контур, равен . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d\mathbf {S} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {l} }$ ${\displaystyle I_{\text{enc}}}$

Качество этого приближения можно оценить, сравнив приведенные выше уравнения с полной версией уравнений Максвелла и приняв во внимание важность удаленных членов. Особое значение имеет сравнение члена с членом. Если член существенно больше, то меньший член можно игнорировать без существенной потери точности. ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \partial \mathbf {D} /\partial t}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

Повторное введение в закон Фарадея

Распространенный метод заключается в решении ряда магнитостатических задач с постепенными временными шагами, а затем использовании этих решений для аппроксимации термина . Подстановка этого результата в закон Фарадея находит значение для (которое ранее игнорировалось). Этот метод не является истинным решением уравнений Максвелла , но может обеспечить хорошее приближение для медленно меняющихся полей. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \partial \mathbf {B} /\partial t}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

Решение для магнитного поля

Текущие источники

Сводка магнитостатических соотношений между магнитным векторным потенциалом, магнитным полем и плотностью тока. Здесь, . ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {x} -\mathbf {x'} }$

Если все токи в системе известны (т.е. если имеется полное описание плотности тока ), то магнитное поле можно определить в точке r из токов с помощью уравнения Био-Савара : ^{[3] : 174} ${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}}$$

Этот метод хорошо подходит для задач, где средой является вакуум , воздух или подобный материал с относительной проницаемостью 1. Сюда входят индукторы с воздушным сердечником и трансформаторы с воздушным сердечником . Одним из преимуществ этого метода является то, что если катушка имеет сложную геометрию, ее можно разделить на секции и оценить интеграл для каждой секции. Поскольку это уравнение в основном используется для решения линейных задач, вклады можно суммировать. Для очень сложной геометрии можно использовать численное интегрирование .

Для задач, где доминирующим магнитным материалом является высокопроницаемый магнитный сердечник с относительно небольшими воздушными зазорами, полезен подход магнитной цепи . Когда воздушные зазоры велики по сравнению с длиной магнитной цепи , окантовка становится значительной и обычно требует расчета методом конечных элементов . Расчет методом конечных элементов использует модифицированную форму уравнений магнитостатики выше для расчета магнитного потенциала . Значение можно найти из магнитного потенциала. ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Магнитное поле можно вывести из векторного потенциала . Поскольку дивергенция плотности магнитного потока всегда равна нулю, а отношение векторного потенциала к току равно: ^{[3] : 176} $${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J(\mathbf {r} ')} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}.}$$

Намагничивание

Сильномагнитные материалы (т.е. ферромагнитные , ферримагнитные или парамагнитные ) имеют намагниченность , которая в первую очередь обусловлена ​​электронным спином . В таких материалах намагниченность должна быть явно включена с использованием соотношения $${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {M} +\mathbf {H} ).}$$

За исключением случая проводников, электрические токи можно игнорировать. Тогда закон Ампера просто $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =0.}$$

Это имеет общее решение , где - скалярный потенциал . ^{[3] : 192} Подстановка этого в закон Гаусса дает $${\displaystyle \mathbf {H} =-\nabla \Phi _{M},}$$ ${\displaystyle \Phi _{M}}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi _{M}=\nabla \cdot \mathbf {M} .}$$

Таким образом, дивергенция намагниченности играет роль, аналогичную электрическому заряду в электростатике ^[4] , и часто называется эффективной плотностью заряда . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {M} ,}$ ${\displaystyle \rho _{M}}$

Метод векторного потенциала можно также использовать с эффективной плотностью тока $${\displaystyle \mathbf {J_{M}} =\nabla \times \mathbf {M} .}$$

Смотрите также

• Лагранжиан Дарвина

Ссылки

1. Хиберт, В.; Баллентайн, Г.; Фримен, М. (2002). «Сравнение экспериментальной и численной микромагнитной динамики в когерентном прецессионном переключении и модальных колебаниях». Physical Review B. 65 ( 14): 140404. Bibcode : 2002PhRvB..65n0404H. doi : 10.1103/PhysRevB.65.140404.
2. Фейнмановские лекции по физике, том II, гл. 13: Магнитостатика
3. Джексон, Джон Дэвид (1975). Классическая электродинамика (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 047143132X.
4. Ахарони, Амикам (1996). Введение в теорию ферромагнетизма. Кларендон Пресс . ISBN 0-19-851791-2.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Magnetostatics на Wikimedia Commons