Теорема о передаче максимальной мощности

Теорема в электротехнике

В электротехнике теорема о передаче максимальной мощности гласит, что для получения максимальной внешней мощности от источника питания с внутренним сопротивлением сопротивление нагрузки должно быть равно сопротивлению источника , если смотреть со стороны его выходных клемм. Мориц фон Якоби опубликовал теорему о передаче максимальной мощности около 1840 года; ее также называют « законом Якоби ». ^[1]

Теорема приводит к максимальной передаче мощности от источника питания к нагрузке, но не к максимальной эффективности полезной мощности из общей потребляемой мощности. Если сопротивление нагрузки сделать больше сопротивления источника, то эффективность увеличится (так как больший процент мощности источника будет передан нагрузке), но величина мощности нагрузки уменьшится (так как общее сопротивление цепи увеличится). ^[2] Если сопротивление нагрузки сделать меньше сопротивления источника, то эффективность уменьшится (так как большая часть мощности в конечном итоге будет рассеиваться в источнике). Хотя общая рассеиваемая мощность увеличится (из-за меньшего общего сопротивления), количество, рассеиваемое в нагрузке, уменьшится.

Теорема утверждает, как выбрать (чтобы максимизировать передачу мощности) сопротивление нагрузки, если задано сопротивление источника. Распространенным заблуждением является применение теоремы в противоположном сценарии. Она не говорит , как выбрать сопротивление источника для заданного сопротивления нагрузки. Фактически, сопротивление источника, которое максимизирует передачу мощности от источника напряжения, всегда равно нулю (гипотетический идеальный источник напряжения ), независимо от значения сопротивления нагрузки.

Теорему можно распространить на цепи переменного тока , включающие реактивное сопротивление , и она гласит, что максимальная передача мощности происходит, когда сопротивление нагрузки равно комплексно сопряженному сопротивлению источника.

Математика теоремы применима также к другим физическим взаимодействиям, таким как: ^{[2] [3]}

• механические столкновения между двумя объектами,
• распределение заряда между двумя конденсаторами,
• поток жидкости между двумя цилиндрами,
• пропускание и отражение света на границе двух сред.

Максимизация передачи мощности против энергоэффективности

Упрощенная модель питания нагрузки с сопротивлением R _L от источника с напряжением V _S и сопротивлением R _S .

Первоначально теорема была неправильно понята (в частности, Джоулем ^[4] ) и подразумевала, что система, состоящая из электродвигателя, приводимого в действие батареей, не может иметь КПД более 50% , поскольку мощность, рассеиваемая в виде тепла в батарее, всегда будет равна мощности, подаваемой на двигатель, когда импедансы согласованы.

В 1880 году Эдисон и его коллега Фрэнсис Роббинс Аптон доказали ложность этого предположения , поняв, что максимальная эффективность — это не то же самое, что максимальная передача мощности.

Для достижения максимальной эффективности сопротивление источника (будь то батарея или динамо-машина ) можно (или нужно) сделать максимально близким к нулю. Используя это новое понимание, они получили эффективность около 90% и доказали, что электродвигатель является практичной альтернативой тепловому двигателю .

Красная кривая показывает мощность в нагрузке, нормированную относительно максимально возможной. Синяя кривая показывает эффективность η .

Эффективность η представляет собой отношение мощности, рассеиваемой сопротивлением нагрузки R _{L , к полной мощности} , рассеиваемой цепью (которая включает сопротивление источника напряжения R _{S ,} а также R _L ):

$${\displaystyle \eta ={\frac {P_{\mathrm {L} }}{P_{\mathrm {Total} }}}={\frac {I^{2}\cdot R_{\mathrm {L} }}{I^{2}\cdot (R_{\mathrm {L} }+R_{\mathrm {S} })}}={\frac {R_{\mathrm {L} }}{R_{\mathrm {L} }+R_{\mathrm {S} }}}={\frac {1}{1+R_{\mathrm {S} }/R_{\mathrm {L} }}}\,.}$$

Рассмотрим три частных случая (обратите внимание, что источники напряжения должны иметь некоторое сопротивление):

• Если , то КПД приближается к 0%, если сопротивление нагрузки приближается к нулю ( короткое замыкание ), поскольку вся мощность потребляется в источнике, а в коротком замыкании мощность не потребляется. ${\displaystyle R_{\mathrm {L} }/R_{\mathrm {S} }\to 0}$ ${\displaystyle \eta \to 0.}$
• Если , то КПД составляет всего 50%, если сопротивление нагрузки равно сопротивлению источника (что является условием максимальной передачи мощности). ${\displaystyle R_{\mathrm {L} }/R_{\mathrm {S} }=1}$ ${\displaystyle \eta ={\tfrac {1}{2}}.}$
• Если , то КПД приближается к 100%, если сопротивление нагрузки приближается к бесконечности (хотя общий уровень мощности стремится к нулю) или если сопротивление источника приближается к нулю. Использование большого отношения называется мостовым сопротивлением . ${\displaystyle R_{\mathrm {L} }/R_{\mathrm {S} }\to \infty }$ ${\displaystyle \eta \to 1.}$

Согласование импеданса

Связанная концепция — безотражательное согласование импеданса .

В линиях передачи радиочастот и других электронных устройствах часто возникает необходимость согласования сопротивления источника (передатчика) с сопротивлением нагрузки (например, антенны ) , чтобы избежать отражений в линии передачи .

Доказательство на основе исчисления для чисто резистивных цепей

В упрощенной модели питания нагрузки с сопротивлением R _L источником с напряжением V и сопротивлением источника R _S , тогда по закону Ома результирующий ток I представляет собой просто напряжение источника, деленное на общее сопротивление цепи: $${\displaystyle I={\frac {V}{R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}.}$$

Мощность P _L, рассеиваемая в нагрузке, равна квадрату тока, умноженному на сопротивление: $${\displaystyle P_{\mathrm {L} }=I^{2}R_{\mathrm {L} }=\left({\frac {V}{R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}\right)^{2}R_{\mathrm {L} }={\frac {V^{2}}{R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}.}$$

Значение R _{L ,} для которого это выражение является максимальным, можно вычислить, дифференцируя его, но проще вычислить значение R _{L ,} для которого знаменатель: является минимальным. Результат будет тем же в любом случае. Дифференцируем знаменатель по R _L : $${\displaystyle R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dR_{\mathrm {L} }}}\left(R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }\right)=-R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }^{2}+1.}$$

Для максимума или минимума первая производная равна нулю, поэтому или $${\displaystyle R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }^{2}=1}$$ $${\displaystyle R_{\mathrm {L} }=\pm R_{\mathrm {S} }.}$$

В практических резистивных цепях R _S и R _L оба положительны, поэтому положительный знак в приведенном выше примере является правильным решением.

Чтобы выяснить, является ли это решение минимумом или максимумом, выражение знаменателя снова дифференцируется:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dR_{\mathrm {L} }^{2}}}\left({R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}\right)={2R_{\mathrm {S} }^{2}}/{R_{\mathrm {L} }^{3}}.}$$

Это всегда положительно для положительных значений и , показывая, что знаменатель минимален, а мощность, следовательно, максимальна, когда: ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }}$ ${\displaystyle R_{\mathrm {L} }}$ $${\displaystyle R_{\mathrm {S} }=R_{\mathrm {L} }.}$$

Приведенное выше доказательство предполагает фиксированное сопротивление источника . Когда сопротивление источника можно изменять, мощность, передаваемую в нагрузку, можно увеличить, уменьшив . Например, источник 100 В с сопротивлением отдаст нагрузке 250 Вт мощности ; уменьшение до увеличит передаваемую мощность до 1000 Вт. ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }}$ ${\displaystyle R_{\textrm {S}}}$ ${\displaystyle R_{\textrm {S}}}$ ${\displaystyle 10\,\Omega }$ ${\displaystyle 10\,\Omega }$ ${\displaystyle R_{\textrm {S}}}$ ${\displaystyle 0\,\Omega }$

Обратите внимание, что это показывает, что максимальная передача мощности может также интерпретироваться как напряжение нагрузки, равное половине эквивалентного напряжения Тевенина источника. ^[5]

В реактивных цепях

Теорема о передаче мощности применима также в случае, когда источник и/или нагрузка не являются чисто резистивными.

Уточнение теоремы о максимальной мощности гласит, что любые реактивные компоненты источника и нагрузки должны быть одинаковой величины, но противоположного знака. ( Вывод см. ниже. )

• Это означает, что сопротивления источника и нагрузки должны быть комплексно сопряженными друг другу.
• В случае чисто резистивных цепей эти две концепции идентичны.

Физически реализуемые источники и нагрузки обычно не являются чисто резистивными, имея некоторые индуктивные или емкостные компоненты, и поэтому практические приложения этой теоремы под названием комплексно-сопряженного согласования импедансов фактически существуют.

Если источник полностью индуктивный (емкостный), то полностью емкостная (индуктивная) нагрузка при отсутствии резистивных потерь будет получать 100% энергии от источника, но отправлять ее обратно через четверть цикла.

Результирующая схема есть не что иное, как резонансный LC-контур , в котором энергия продолжает колебаться туда и сюда. Это колебание называется реактивной мощностью .

Коррекция коэффициента мощности (где индуктивное сопротивление используется для «балансировки» емкостного) по сути представляет собой ту же идею, что и комплексное сопряженное согласование импеданса, хотя и выполняется по совершенно другим причинам.

Для фиксированного реактивного источника теорема о максимальной мощности максимизирует действительную мощность (P), подаваемую на нагрузку, путем комплексного сопряжения нагрузки с источником.

При фиксированной реактивной нагрузке коррекция коэффициента мощности минимизирует кажущуюся мощность (S) (и ненужный ток), проводимую линиями электропередачи, сохраняя при этом тот же объем передаваемой активной мощности.

Это делается путем добавления реактивного сопротивления к нагрузке для уравновешивания собственного реактивного сопротивления нагрузки, изменяя сопротивление реактивной нагрузки в сопротивление резистивной нагрузки.

Доказательство

Диаграмма сопротивления источника и нагрузки

На этой схеме переменный ток передается от источника с векторной величиной напряжения (положительное пиковое напряжение) и фиксированным импедансом источника (S для источника) к нагрузке с импедансом (L для нагрузки), что приводит к (положительной) величине вектора тока . Эта величина получается путем деления величины напряжения источника на величину полного импеданса цепи: ${\displaystyle |V_{\text{S}}|}$ ${\displaystyle Z_{\text{S}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{L}}}$ ${\displaystyle |I|}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle |I|}$ $${\displaystyle |I|={|V_{\text{S}}| \over |Z_{\text{S}}+Z_{\text{L}}|}.}$$

Средняя мощность, рассеиваемая в нагрузке, равна квадрату тока, умноженному на резистивную часть (действительную часть) сопротивления нагрузки : где и обозначают сопротивления, то есть действительные части, а и обозначают реактивные сопротивления, то есть мнимые части, соответственно сопротивлений источника и нагрузки и . ${\displaystyle P_{\text{L}}}$ ${\displaystyle R_{\text{L}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{L}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{L}}&=I_{\text{rms}}^{2}R_{\text{L}}={1 \over 2}|I|^{2}R_{\text{L}}\\&={1 \over 2}\left({|V_{\text{S}}| \over |Z_{\text{S}}+Z_{\text{L}}|}\right)^{2}R_{\text{L}}={1 \over 2}{|V_{\text{S}}|^{2}R_{\text{L}} \over (R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}+(X_{\text{S}}+X_{\text{L}})^{2}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle R_{\text{S}}}$ ${\displaystyle R_{\text{L}}}$ ${\displaystyle X_{\text{S}}}$ ${\displaystyle X_{\text{L}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{S}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{L}}}$

Чтобы определить для данного источника, напряжения и импеданса значение импеданса нагрузки , при котором это выражение для мощности дает максимум, сначала находим для каждого фиксированного положительного значения значение реактивного члена, при котором знаменатель: является минимальным. Поскольку реактивные сопротивления могут быть отрицательными, это достигается путем адаптации реактивного сопротивления нагрузки к: ${\displaystyle V_{\text{S}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{S}},}$ ${\displaystyle Z_{\text{L}},}$ ${\displaystyle R_{\text{L}}}$ ${\displaystyle X_{\text{L}}}$ $${\displaystyle (R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}+(X_{\text{S}}+X_{\text{L}})^{2}}$$ $${\displaystyle X_{\text{L}}=-X_{\text{S}}.}$$

Это сводит приведенное выше уравнение к: и остается найти значение , которое максимизирует это выражение. Эта задача имеет тот же вид, что и в чисто резистивном случае, и поэтому условие максимизации имеет вид $${\displaystyle P_{\text{L}}={\frac {1}{2}}{\frac {|V_{\text{S}}|^{2}R_{\text{L}}}{(R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}}}}$$ ${\displaystyle R_{\text{L}}}$ ${\displaystyle R_{\text{L}}=R_{\text{S}}.}$

Два максимизирующих условия:

• ${\displaystyle R_{\text{L}}=R_{\text{S}}}$
• ${\displaystyle X_{\text{L}}=-X_{\text{S}}}$

описывают комплексное сопряжение импеданса источника, обозначаемое как и, таким образом, могут быть кратко объединены в: ${\displaystyle ^{*},}$ $${\displaystyle Z_{\text{L}}=Z_{\text{S}}^{*}.}$$

Смотрите также

• Отслеживание точки максимальной мощности

Примечания

1. Томпсон Филлипс (2009-05-30), Динамо-электрические машины; Учебное пособие для студентов-электротехников, BiblioBazaar, LLC, ISBN 978-1-110-35104-6
2. Harrison, Mark (2013-02-22). «Физические столкновения и теорема о максимальной мощности: аналогия между механическими и электрическими ситуациями». Physics Education . 48 (2): 207–211. doi :10.1088/0031-9120/48/2/207. ISSN  0031-9120. S2CID  120330420.
3. Аткин, Кит (2013-08-22). «Передача энергии и повторяющаяся математическая функция». Physics Education . 48 (5): 616–620. doi :10.1088/0031-9120/48/5/616. ISSN  0031-9120. S2CID  122189586.
4. Magnetics, Triad. "Понимание теоремы о максимальной мощности". info.triadmagnetics.com . Получено 2022-06-08 .
5. «Основные учебные пособия по электронике и их повторение для новичков и продвинутых учащихся».

Ссылки

• HW Jackson (1959) Введение в электронные схемы, Prentice-Hall.

Внешние ссылки

• Сопряженное соответствие против безотражательного соответствия ( PDF ) взято из Electromagnetic Waves and Antennas
• Передатчик искры. 2. Максимизация мощности, часть 1.