Маленькая теорема Веддерберна

Результат по алгебре

В математике маленькая теорема Веддерберна утверждает, что каждое конечное тело является полем . Другими словами, для конечных колец не существует различия между доменами , телами и полями.

Теорема Артина -Цорна обобщает теорему на альтернативные кольца : каждое конечное альтернативное тело является полем. ^[1]

История

Первоначальное доказательство было дано Джозефом Веддерберном в 1905 году ^[2] , который затем доказал теорему двумя другими способами. Еще одно доказательство было предоставлено Леонардом Юджином Диксоном вскоре после первоначального доказательства Веддерберна, и Диксон признал приоритет Веддерберна. Однако, как отмечалось в (Parshall 1983), первое доказательство Веддерберна было неверным – в нем был пробел – и его последующие доказательства появились только после того, как он прочитал правильное доказательство Диксона. На этом основании Паршалл утверждает, что Диксону следует приписать первое правильное доказательство.

Упрощенную версию доказательства позже дал Эрнст Витт . ^[2] Доказательство Витта схематично представлено ниже. Альтернативно, эта теорема является следствием теоремы Скулема – Нётер по следующему аргументу. ^[3] Позвольте быть конечным телом алгебры с центром . Пусть и обозначают мощность . Каждое максимальное подполе имеет элементы; поэтому они изоморфны и, следовательно, сопряжены Сколемом–Нётер. Но конечная группа (в нашем случае мультипликативная группа ) не может быть объединением сопряженных собственной подгруппы; следовательно, . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle [D:k]=n^{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle q^{n}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle n=1}$

Более позднее « теоретико-групповое » доказательство было дано Тедом Качиньским в 1964 году. ^[4] Это доказательство, первая опубликованная часть математического сочинения Качиньского, представляло собой короткую двухстраничную заметку, в которой также признавались более ранние исторические доказательства.

Связь с группой Брауэра конечного поля

Теорема по существу эквивалентна утверждению, что группа Брауэра конечного поля тривиальна. Фактически, эта характеристика немедленно дает следующее доказательство теоремы: пусть K — конечное поле. Поскольку фактор Эрбрана обращается в нуль по конечности, совпадает с , который, в свою очередь, обращается в нуль по Гильберту 90 . ${\displaystyle \operatorname {Br} (K)=H^{2}(K^{\text{al}}/K)}$ ${\displaystyle H^{1}(K^{\text{al}}/K)}$

Тривиальность группы Брауэра также может быть получена непосредственным вычислением следующим образом. Пусть и пусть — конечное расширение степени, так что Тогда — циклическая группа порядка , и стандартный метод вычисления когомологий конечных циклических групп показывает, что где отображение нормы задано формулой. Принимая в качестве генератора циклической группы, мы находим, что имеет порядок и, следовательно, должен быть генератором . Это означает, что это сюръективно и, следовательно, тривиально. ${\displaystyle |K|=q,}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle |L|=q^{n}.}$ ${\displaystyle \mathrm {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle n,}$ $${\displaystyle H^{2}(L/K)=K^{\times }/N_{L/K}(L^{\times }),}$$ ${\displaystyle N_{L/K}:L^{\times }\to K^{\times }}$ $${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \mathrm {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{\frac {q^{n}-1}{q-1}}.}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L^{\times },}$ ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$ ${\displaystyle q-1,}$ ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle N_{L/K}}$ ${\displaystyle H^{2}(L/K)}$

Доказательство

Пусть A — конечная область. Для каждого ненулевого x в A две карты

${\displaystyle a\mapsto ax,a\mapsto xa:A\to A}$

инъективны по свойству отмены и, следовательно, сюръективны по счету. Из элементарной теории групп следует ^[5] , что ненулевые элементы при умножении образуют группу. Таким образом, является телом . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Чтобы доказать, что каждое конечное тело является полем, мы используем сильную индукцию по размеру тела. Итак, пусть – тело, и предположим, что все тела, являющиеся собственными подмножествами, являются полями. Поскольку центр — это поле, это векторное пространство с конечной размерностью . Наша цель – показать . Если порядок , то имеет порядок . Обратите внимание, что поскольку содержит отдельные элементы и , . Для каждого in , который не находится в центре, централизатор явно является телом и, следовательно, полем по предположению индукции, и поскольку его можно рассматривать как векторное пространство над и можно рассматривать как векторное пространство над , мы есть, что имеет порядок , где делится и меньше, чем . Рассматривая , , и как группы при умножении, мы можем написать уравнение класса ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Z(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Z(A)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Z(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {q}^{n}}$ ${\displaystyle Z(A)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle q>1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {Z}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {Z}_{x}}$ ${\displaystyle Z(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {Z}_{x}}$ ${\displaystyle {Z}_{x}}$ ${\displaystyle {q}^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {Z(A)}^{*}}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle {Z}_{x}^{*}}$

${\displaystyle q^{n}-1=q-1+\sum {q^{n}-1 \over q^{d}-1}}$

где сумма берется по классам сопряженности, не содержащимся в пределах , и определяются так, что для каждого класса сопряженности порядок любого в классе равен . и оба допускают полиномиальную факторизацию в терминах круговых многочленов ${\displaystyle {Z(A)}^{*}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {Z}_{x}^{*}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {q}^{d}-1}$ ${\displaystyle {q}^{n}-1}$ ${\displaystyle q^{d}-1}$

${\displaystyle \Phi _{f}(q).}$

Круговые полиномы соответствуют следующим тождествам и соблюдают их: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

${\displaystyle x^{n}-1=\prod _{m|n}\Phi _{m}(x)}$и . ${\displaystyle x^{d}-1=\prod _{m|d}\Phi _{m}(x)}$

Поскольку каждый является собственным делителем , ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$делит оба и каждый на , ${\displaystyle {x}^{n}-1}$ ${\displaystyle {x^{n}-1 \over x^{d}-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

поэтому согласно приведенному выше уравнению класса необходимо разделить и, следовательно, приняв нормы ${\displaystyle \Phi _{n}(q)}$ ${\displaystyle q-1}$

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|\leq q-1}$.

Чтобы увидеть, что с этим заставляет быть , мы покажем ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1}$

для использования факторизации комплексных чисел. В полиномиальном тождестве ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod (x-\zeta ),}$

где пробегает примитивные -ые корни из единицы, устанавливаются равными , а затем принимают абсолютные значения ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|=\prod |q-\zeta |.}$

При мы видим, что для каждого примитивного корня -й степени из единицы ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle |q-\zeta |>|q-1|}$

из-за расположения , , и в комплексной плоскости. Таким образом ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1.}$

Примечания

1. Шульт, Эрнест Э. (2011). Точки и линии. Характеристика классической геометрии . Университеттекст. Берлин: Springer-Verlag . п. 123. ИСБН 978-3-642-15626-7. Збл  1213.51001.
2. Лам (2001), с. 204
3. Теорема 4.1 в гл. IV Милна, теория полей классов, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html.
4. Качиньский, TJ (июнь – июль 1964 г.). «Еще одно доказательство теоремы Веддерберна». Американский математический ежемесячник . 71 (6): 652–653. дои : 10.2307/2312328. JSTOR  2312328.(ссылка на Jstor, требуется вход в систему)
5. например, Упражнение 1-9 в Милне, теория групп, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf.

Рекомендации

• Паршалл, К.Х. (1983). «В поисках теоремы алгебры с конечным делением и не только: Джозеф Х. М. Веддерберн, Леонард Диксон и Освальд Веблен». Архив международной истории науки . 33 : 274–99.
• Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец . Тексты для аспирантов по математике . Том. 131 (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-95183-0.

Внешние ссылки

• Доказательство теоремы Веддерберна в Planet Math
• Доказательство системы Mizar : http://mizar.org/version/current/html/weddwitt.html#T38